Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. (4-е изд. — Осторожно! В этом издании немало опечаток!)МЦНМО, 2002
 Глава 5. § 13  |  Оглавление |  Глава 5. Решения 
Задачи для самостоятельного решения

5.150.
Докажите, что проекция диаметра описанной окружности, перпендикулярного первой стороне треугольника, на прямую, содержащую вторую сторону, равна по длине третьей стороне.
5.151.
Докажите, что площадь треугольника с вершинами в центрах вневписанных окружностей треугольника ABC равна 2pR.
5.152.
Равнобедренный треугольник с основанием a и боковой стороной b и равнобедренный треугольник с основанием b и боковой стороной a вписаны в окружность радиуса R. Докажите, что если a № b, то ab = Ц5R2.
5.153.
Вписанная окружность прямоугольного треугольника ABC касается гипотенузы AB в точке P;  CH- высота треугольника ABC. Докажите, что центр вписанной окружности треугольника ACH лежит на перпендикуляре, опущенном из точки P на AC.
5.154.
Вписанная окружность треугольника ABC касается сторон CA и AB в точках B1 и C1, а вневписанная окружность касается продолжения сторон в точках B2 и C2. Докажите, что середина стороны BC равноудалена от прямых B1C1 и B2C2.
5.155.
В треугольнике ABC проведена биссектриса AD. Пусть O,O1 и O2- центры описанных окружностей треугольников ABC,ABD и ACD. Докажите, что OO1 = OO2.
5.156.
Треугольник, составленный: а) из медиан; б) из высот треугольника ABC, подобен треугольнику ABC. Каким соотношением связаны длины сторон треугольника ABC?
5.157.
Через центр O правильного треугольника ABC проведена прямая, пересекающая прямые BC,CA и AB в точках A1,B1 и C1. Докажите, что одно из чисел 1/OA1, 1/OB1 и 1/OC1 равно сумме двух других.
5.158.
В треугольнике ABC проведены высоты BB1 и CC1. Докажите, что если РA = 45°, то B1C1- диаметр окружности девяти точек треугольника ABC.
5.159.
Углы треугольника ABC удовлетворяют соотношению sin 2A + sin 2B + sin 2C = 1. Докажите, что его описанная окружность и окружность девяти точек пересекаются под прямым углом.
  Глава 5. § 13  |  Оглавление |  Глава 5. Решения 
Copyright © 2002 МЦНМО Внимание! Данное издание содержит опечатки!
Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора.
Заказ книги: biblio@mccme.ru. 		Rambler's Top100