Глава 6. § 1  |	Оглавление |	Глава 6. § 3

§ 2.  Четырехугольники

6.21.

Угол между сторонами AB и CD четырехугольника ABCD равен j. Докажите, что AD² = AB² + BC² + CD² – 2(AB · BCcos B + BC · CDcos C + CD · ABcos j).

6.22.

В четырехугольнике ABCD стороны AB и CD равны, причем лучи AB и DC пересекаются в точке O. Докажите, что прямая, соединяющая середины диагоналей, перпендикулярна биссектрисе угла AOD.

6.23.

На сторонах BC и AD четырехугольника ABCD взяты точки M и N так, что BM : MC = AN : ND = AB : CD. Лучи AB и DC пересекаются в точке O. Докажите, что прямая MN параллельна биссектрисе угла AOD.

6.24.

Докажите, что биссектрисы углов выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник.

6.25.

Два различных параллелограмма ABCD и A₁B₁C₁D₁ с соответственно параллельными сторонами вписаны в четырехугольник PQRS (точки A и A₁ лежат на стороне PQ,  B и B₁- на QR и т. д.). Докажите, что диагонали четырехугольника параллельны сторонам параллелограммов.

6.26.

Середины M и N диагоналей AC и BD выпуклого четырехугольника ABCD не совпадают. Прямая MN пересекает стороны AB и CD в точках M₁ и N₁. Докажите, что если MM₁ = NN₁, то AD||BC.

6.27^*.

Докажите, что два четырехугольника подобны тогда и только тогда, когда у них равны четыре соответственных угла и соответственные углы между диагоналями.

6.28^*.

Четырехугольник ABCD выпуклый; точки A₁,B₁,C₁ и D₁ таковы, что AB||C₁D₁, AC||B₁D₁ и т. д. для всех пар вершин. Докажите, что четырехугольник A₁B₁C₁D₁ тоже выпуклый, причем РA + РC₁ = 180°.

6.29^*.

Из вершин выпуклого четырехугольника опущены перпендикуляры на диагонали. Докажите, что четырехугольник, образованный основаниями перпендикуляров, подобен исходному четырехугольнику.

6.30^*.

Выпуклый четырехугольник разделен диагоналями на четыре треугольника. Докажите, что прямая, соединяющая точки пересечения медиан двух противоположных треугольников, перпендикулярна прямой, соединяющей точки пересечения высот двух других треугольников.

6.31^*.

Диагонали описанной трапеции ABCD с основаниями AD и BC пересекаются в точке O. Радиусы вписанных окружностей треугольников AOD,AOB,BOC и COD равны r₁,r₂,r₃ и r₄ соответственно. Докажите, что

1 r1

+

1 r3

=

1 r2

+

1 r4

.

6.32^*.

Окружность радиуса r₁ касается сторон DA,AB и BC выпуклого четырехугольника ABCD, окружность радиуса r₂- сторон AB,BC и CD; аналогично определяются r₃ и r₄. Докажите, что 

AB r1

+

CD r3

=

BC r2

+

AD r4

.

6.33^*.

О выпуклом четырехугольнике ABCD известно, что радиусы окружностей, вписанных в треугольники ABC,BCD,CDA и DAB, равны между собой. Докажите, что ABCD- прямоугольник.

6.34^*.

Дан выпуклый четырехугольник ABCD;  A₁,B₁,C₁ и D₁- центры описанных окружностей треугольников BCD,CDA,DAB и ABC. Аналогично для четырехугольника A₁B₁C₁D₁ определяются точки A₂,B₂,C₂ и D₂. Докажите, что четырехугольники ABCD и A₂B₂C₂D₂ подобны, причем коэффициент их подобия равен  |(ctg A + ctg C)(ctg B + ctg D)/4|.

6.35^*.

Окружности, диаметрами которых служат стороны AB и CD выпуклого четырехугольника ABCD, касаются сторон CD и AB соответственно. Докажите, что BC||AD.

6.36^*.

Четыре прямые задают четыре треугольника. Докажите, что ортоцентры этих треугольников лежат на одной прямой.

Глава 6. § 1  |	Оглавление |	Глава 6. § 3

Copyright © 2002 МЦНМО

Внимание! Данное издание содержит опечатки! Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора. Заказ книги: biblio@mccme.ru.