| Прасолов В. В. Задачи по планиметрии.
(4-е изд. — Осторожно! В этом издании немало опечаток!) | МЦНМО, 2002 |
|---|
§ 3. Теорема Птолемея
-
6.37*.
-
Четырехугольник ABCD вписанный. Докажите, что
AB · CD + AD · BC = AC · BD (Птолемей).
-
6.38*.
-
Четырехугольник ABCD вписанный. Докажите, что
|
|
AC
BD
|
= |
AB · AD + CB · CD
BA · BC + DA · DC
|
. |
|
-
6.39*.
-
Пусть a
= p/7. Докажите, что
|
1
sin a
|
= |
1
sin 2a
|
+ |
1
sin 3a
|
|
.
-
6.40*.
-
Расстояния от центра описанной окружности остроугольного
треугольника до его сторон равны da,db и dc. Докажите,
что da + db + dc = R + r.
-
6.41*.
-
Биссектриса угла A треугольника ABC пересекает
описанную окружность в точке D. Докажите, что AB + AC Ј 2AD.
-
6.42*.
-
На дуге CD описанной окружности квадрата ABCD
взята точка P. Докажите, что PA + PC = Ц2 PB.
-
6.43*.
-
Дан параллелограмм ABCD. Окружность, проходящая
через точку A, пересекает отрезки AB,AC и AD в точках P,Q и R
соответственно. Докажите, что AP · AB = AR · AD = AQ · AC.
-
6.44*.
-
На дуге A1A2n + 1 описанной окружности S
правильного (2n + 1)-угольника A1… A2n + 1 взята точка A.
Докажите, что:
а) d1 + d3 + … + d2n + 1 = d2 + d4 + … + d2n, где di = AAi;
б) l1 + … + l2n + 1 = l2 + … + l2n, где li- длина
касательной, проведенной из точки A к окружности радиуса r,
касающейся S в точке Ai (все касания одновременно внутренние или
внешние).
-
6.45*.
-
Окружности радиуса x и y касаются окружности
радиуса R, причем расстояние между точками касания равно a.
Вычислите длину следующей общей касательной к первым двум окружностям:
а) внешней, если оба касания внешние или внутренние одновременно;
б) внутренней, если одно касание внутреннее, а другое внешнее.
-
6.46*.
-
Окружности a,b,g и d касаются данной
окружности в вершинах A,B,C и D выпуклого четырехугольника ABCD.
Пусть tab- длина общей касательной к окружностям a
и b (внешней, если оба касания внутренние или внешние одновременно,
и внутренней, если одно касание внутреннее, а другое внешнее);
tbg,tgd и т. д. определяются аналогично. Докажите,
что tabtgd + tbgtda = tagtbd (обобщенная теорема Птолемея).
См. также задачу 9.67.
Глава 6. § 2 | 
