Глава 6. § 8  |	Оглавление |	Глава 6. Задачи для самостоятельного решения

§ 9.  Теорема Паскаля

6.95^*.

Докажите, что точки пересечения противоположных сторон (если эти стороны не параллельны) вписанного шестиугольника лежат на одной прямой (Паскаль).

6.96^*.

Точка M лежит на описанной окружности треугольника ABC;  R- произвольная точка. Прямые AR,BR и CR пересекают описанную окружность в точках A₁,B₁ и C₁. Докажите, что точки пересечения прямых MA₁ и BC,  MB₁ и CA,  MC₁ и AB лежат на одной прямой, проходящей через точку R.

6.97^*.

Даны треугольник ABC и некоторая точка T. Пусть P и Q - основания перпендикуляров, опущенных из точки T на прямые AB и AC соответственно, a R и S - основания перпендикуляров, опущенных из точки A на прямые TC и TB соответственно. Докажите, что точка пересечения X прямых PR и QS лежит на прямой BC.

6.98^*.

В треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и BB₁ и биссектрисы AA₂ и BB₂; вписанная окружность касается сторон BC и AC в точках A₃ и B₃. Докажите, что прямые A₁B₁,A₂B₂ и A₃B₃ пересекаются в одной точке или параллельны.

6.99^*.

Четырехугольник ABCD вписан в окружность S;  X- произвольная точка,  M и N- вторые точки пересечения прямых XA и XD с окружностью S. Прямые DC и AX,  AB и DX пересекаются в точках E и F. Докажите, что точка пересечения прямых MN и EF лежит на прямой BC.

6.100^*.

Четырехугольник ABCD вписан в окружность с центром O. Точка X такова, что РBAX = РCDX = 90°. Докажите, что точка пересечения диагоналей четырехугольника ABCD лежит на прямой XO.

6.101^*.

Точки A и A₁, лежащие внутри окружности с центром O, симметричны относительно точки O. Лучи AP и A₁P₁ сонаправлены, лучи AQ и A₁Q₁ тоже сонаправлены. Докажите, что точка пересечения прямых P₁Q и PQ₁ лежит на прямой AA₁. (Точки P,P₁,Q и Q₁ лежат на окружности.)

6.102^*.

Две окружности касаются описанной окружности треугольника ABC в точке K; кроме того, одна из этих окружностей касается стороны AB в точке M, а другая касается стороны AC в точке N. Докажите, что центр вписанной окружности треугольника ABC лежит на прямой MN.

6.103^*.

Даны пять точек некоторой окружности. С помощью одной линейки постройте шестую точку этой окружности.

6.104^*.

Точки A₁,…,A₆ лежат на одной окружности, а точки K,L,M и N- на прямых A₁A₂,A₃A₄,A₁A₆ и A₄A₅ соответственно, причем KL||A₂A₃, LM||A₃A₆ и MN||A₆A₅. Докажите, что NK||A₅A₂.

Глава 6. § 8  |	Оглавление |	Глава 6. Задачи для самостоятельного решения

Copyright © 2002 МЦНМО

Внимание! Данное издание содержит опечатки! Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора. Заказ книги: biblio@mccme.ru.