Глава 7. § 7  |	Оглавление |	Глава 7. § 9

§ 8.  Теорема Карно

7.40^*.

Докажите, что перпендикуляры, опущенные из точек A₁,B₁,C₁ на стороны BC,CA,AB треугольника ABC, пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда A₁B² + C₁A² + B₁C² = B₁A² + A₁C² + C₁B² (Карно).

7.41^*.

Докажите, что высоты треугольника пересекаются в одной точке.

7.42^*.

Точки A₁,B₁ и C₁ таковы, что AB₁ = AC₁,BC₁ = BA₁ и CA₁ = CB₁. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из точек A₁,B₁ и C₁ на прямые BC,CA и AB, пересекаются в одной точке.

7.43^*.

а) Перпендикуляры, опущенные из вершин треугольника ABC на соответствующие стороны треугольника A₁B₁C₁, пересекаются в одной точке. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из вершин треугольника A₁B₁C₁ на соответствующие стороны треугольника ABC, тоже пересекаются в одной точке.

7.44^*.

На прямой l взяты точки A₁,B₁ и C₁ и из вершин треугольника ABC на эту прямую опущены перпендикуляры AA₂,BB₂ и CC₂. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из точек A₁,B₁ и C₁ на прямые BC, CA и AB, пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда 

A1B1

:

B1C1

=

A2B2

:

B2C2

(отношения отрезков ориентированные).

7.45^*.

Треугольник ABC правильный,  P- произвольная точка. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из центров вписанных окружностей треугольников PAB, PBC и PCA на прямые AB,BC и CA, пересекаются в одной точке.

7.46^*.

Докажите, что если перпендикуляры, восставленные из оснований биссектрис треугольника, пересекаются в одной точке, то треугольник равнобедренный.

Глава 7. § 7  |	Оглавление |	Глава 7. § 9

Copyright © 2002 МЦНМО

Внимание! Данное издание содержит опечатки! Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора. Заказ книги: biblio@mccme.ru.