Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. (4-е изд. — Осторожно! В этом издании немало опечаток!)МЦНМО, 2002
 Глава 9. § 9  |  Оглавление |  Глава 9. § 11

§ 10.  Многоугольники

9.74.
Докажите, что если углы выпуклого пятиугольника образуют арифметическую прогрессию, то каждый из них больше 36°.
9.75*.
Пусть ABCDE- выпуклый пятиугольник, вписанный в окружность радиуса 1, причем AB = a, BC = b, CD = c, DE = d, AE = 2. Докажите, что
a2 + b2 + c2 + d2 + abc + bcd < 4.
9.76*.
Внутри правильного шестиугольника со стороной 1 взята точка P. Докажите, что расстояния от точки P до некоторых трех вершин шестиугольника не меньше 1.
9.77*.
Докажите, что если стороны выпуклого шестиугольника ABCDEF равны 1, то радиус описанной окружности одного из треугольников ACE и BDF не превосходит 1.
9.78*.
Длины сторон выпуклого шестиугольника ABCDEF меньше 1. Докажите, что длина одной из диагоналей AD,BE,CF меньше 2.
9.79*.
Семиугольник A1… A7 вписан в окружность. Докажите, что если центр этой окружности лежит внутри его, то сумма углов при вершинах A1,A3,A5 меньше 450°.

*       *      *


9.80.
а) Докажите, что если длины проекций отрезка на две взаимно перпендикулярные прямые равны a и b, то его длина не меньше (a + b)/Ц2.
б) Длины проекций многоугольника на координатные оси равны a и b. Докажите, что его периметр не меньше Ц2(a + b).

9.81*.
Докажите, что из сторон выпуклого многоугольника периметра P можно составить два отрезка, длины которых отличаются не более чем на P/3.
9.82*.
Внутри выпуклого многоугольника A1… An взята точка O. Пусть ak- величина угла при вершине Ak, xk = OAk,dk- расстояние от точки O до прямой AkAk + 1. Докажите, что  
е
xksin (ak/2) і е
dk

и 
е
xkcos (ak/2) і p

, где p- полупериметр многоугольника.
9.83*.
Правильный  2n-угольник  M1 со стороной a лежит внутри правильного  2n-угольника  M2 со стороной 2a. Докажите, что многоугольник M1 содержит центр многоугольника M2.
9.84*.
Внутри правильного многоугольника A1… An взята точка O. Докажите, что по крайней мере один из углов AiOAj удовлетворяет неравенствам p(1 – 1/n) Ј РAiOAj Ј p.
9.85*.
Докажите, что при n і 7 внутри выпуклого  n-угольника найдется точка, сумма расстояний от которой до вершин больше периметра.
9.86*.
а) Выпуклые многоугольники A1… An и B1… Bn таковы, что все их соответственные стороны, кроме A1An и B1Bn, равны и  РA2 і РB2,…,РAn – 1 і РBn – 1, причем хотя бы одно из неравенств строгое. Докажите, что A1An > B1Bn.
б) Соответственные стороны неравных многоугольников A1… An и B1… Bn равны. Запишем возле каждой вершины многоугольника A1… An знак разности РAi – РBi. Докажите, что при n і 4 соседних вершин с разными знаками будет по крайней мере четыре пары. (Вершины с нулевой разностью выбрасываются из рассмотрения: две вершины, между которыми стоят только вершины с нулевой разностью, считаются соседними.)

См. также задачи 4.37, 4.53, 13.42.

  Глава 9. § 9  |  Оглавление |  Глава 9. § 11
Copyright © 2002 МЦНМО Внимание! Данное издание содержит опечатки!
Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора.
Заказ книги: biblio@mccme.ru. 		Rambler's Top100