Глава 9. § 2  |	Оглавление |	Глава 9. § 4

§ 3.  Сумма длин диагоналей четырехугольника

9.14.

Пусть ABCD — выпуклый четырехугольник. Докажите, что AB + CD < AC + BD.

9.15.

Пусть ABCD — выпуклый четырехугольник, причем AB + BD Ј AC + CD. Докажите, что AB < AC.

9.16^*.

Внутри выпуклого четырехугольника с суммой длин диагоналей d расположен выпуклый четырехугольник с суммой длин диагоналей dў. Докажите, что dў < 2d.

9.17^*.

Дана замкнутая ломаная, причем любая другая замкнутая ломаная с теми же вершинами имеет бóльшую длину. Докажите, что эта ломаная несамопересекающаяся.

9.18^*.

Сколько сторон может иметь выпуклый многоугольник, все диагонали которого имеют одинаковую длину?

9.19^*.

На плоскости даны n красных и n синих точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Докажите, что можно провести n отрезков с разноцветными концами, не имеющих общих точек.

9.20^*.

Докажите, что среднее арифметическое длин сторон произвольного выпуклого многоугольника меньше среднего арифметического длин всех его диагоналей.

9.21^*.

Пусть дан выпуклый  (2n + 1)-угольник  A₁A₃A₅…A_2n + 1A₂… A_2n. Докажите, что среди всех замкнутых ломаных с вершинами в его вершинах наибольшую длину имеет ломаная A₁A₂A₃… A_2n + 1A₁.

Глава 9. § 2  |	Оглавление |	Глава 9. § 4

Copyright © 2002 МЦНМО

Внимание! Данное издание содержит опечатки! Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора. Заказ книги: biblio@mccme.ru.