Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. (4-е изд. — Осторожно! В этом издании немало опечаток!)	МЦНМО, 2002


Глава 9. § 3 \|	Оглавление \|	Глава 9. § 5

§ 4. Разные задачи на неравенство треугольника

9.22.: В. треугольнике длины двух сторон равны 3,14 и 0,67. Найдите длину третьей стороны, если известно, что она является целым числом.

9.23.: Докажите, что сумма длин диагоналей выпуклого пятиугольника ABCDE больше периметра, но меньше удвоенного периметра.

9.24.: Докажите, что если длины сторон треугольника связаны неравенством a² + b² > 5c², то c- длина наименьшей стороны.

9.25.: Две высоты треугольника равны 12 и 20. Докажите, что третья высота меньше 30.

9.26^*.: Точки C₁,A₁,B₁ взяты на сторонах AB,BC,CA треугольника ABC так, что BA₁ = l · BC, CB₁ = l · CA,AC₁ = l · AB, причем 1/2 < l < 1. Докажите, что периметр P треугольника ABC и периметр P₁ треугольника A₁B₁C₁ связаны неравенствами (2l – 1) P < P₁ < lP.

* * *

9.27^*.: а) Докажите, что при переходе от невыпуклого многоугольника к его выпуклой оболочке периметр уменьшается. (Выпуклой оболочкой многоугольника называют наименьший выпуклый многоугольник, его содержащий.)

б) Внутри выпуклого многоугольника лежит другой выпуклый многоугольник. Докажите, что периметр внешнего многоугольника не меньше, чем периметр внутреннего.

9.28^*.: Внутри треугольника ABC периметра P взята точка O. Докажите, что P/2 < AO + BO + CO < P.

9.29^*.: На основании AD трапеции ABCD нашлась точка E, обладающая тем свойством, что периметры треугольников ABE, BCE и CDE равны. Докажите, что тогда BC = AD/2.

См. также задачи 13.40, 20.11.

Глава 9. § 3 \|	Оглавление \|	Глава 9. § 5

Внимание! Данное издание содержит опечатки!
Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора.
Заказ книги: biblio@mccme.ru.