Глава 9. § 4  |	Оглавление |	Глава 9. § 6

§ 5.  Площадь треугольника не превосходит половины произведения двух сторон

9.30.

Дан треугольник площадью 1 со сторонами a Ј b Ј c. Докажите, что b і Ц2.

9.31.

Пусть E,F,G и H- середины сторон AB,BC,CD и DA четырехугольника ABCD. Докажите, что S_ABCD Ј EG · HF Ј (AB + CD)(AD + BC)/4.

9.32.

Периметр выпуклого четырехугольника равен 4. Докажите, что его площадь не превосходит 1.

9.33.

Внутри треугольника ABC взята точка M. Докажите, что 4S Ј AM · BC + BM · AC + CM · AB, где S- площадь треугольника ABC.

9.34^*.

В окружность радиуса R вписан многоугольник площади S, содержащий центр окружности, и на его сторонах выбрано по точке. Докажите, что периметр выпуклого многоугольника с вершинами в выбранных точках не меньше 2S/R.

9.35^*.

Внутри выпуклого четырехугольника ABCD площадью S взята точка O, причем AO² + BO² + CO² + DO² = 2S. Докажите, что тогда ABCD- квадрат и O- его центр.

Глава 9. § 4  |	Оглавление |	Глава 9. § 6

Copyright © 2002 МЦНМО

Внимание! Данное издание содержит опечатки! Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора. Заказ книги: biblio@mccme.ru.