Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. (4-е изд. — Осторожно! В этом издании немало опечаток!)	МЦНМО, 2002


Глава 9. § 6 \|	Оглавление \|	Глава 9. § 8

§ 7. Площадь. Одна фигура лежит внутри другой

9.46.: Выпуклый многоугольник, площадь которого больше 0,5, помещен в квадрат со стороной 1. Докажите, что внутри многоугольника можно поместить отрезок длины 0,5, параллельный стороне квадрата.

9.47^*.: Внутри квадрата со стороной 1 даны n точек. Докажите, что:

а) площадь одного из треугольников с вершинами в этих точках или вершинах квадрата не превосходит 1/(2(n + 1));

б) площадь одного из треугольников с вершинами в этих точках не превосходит 1/(n – 2).

9.48^*.: а) В круг площади S вписан правильный n-угольник площади S₁, а около этого круга описан правильный n-угольник площади S₂. Докажите, что S² > S₁S₂.

б) В окружность, длина которой равна L, вписан правильный n-угольник периметра P₁, а около этой окружности описан правильный n-угольник периметра P₂. Докажите, что L² < P₁P₂.

9.49^*.: Многоугольник площади B вписан в окружность площади A и описан вокруг окружности площади C. Докажите, что 2B Ј A + C.

9.50^*.: В круг радиуса 1 помещено два треугольника, площадь каждого из которых больше 1. Докажите, что эти треугольники пересекаются.

9.51^*.: а) Докажите, что в выпуклый многоугольник площади S и периметра P можно поместить круг радиуса S/P.

б) Внутри выпуклого многоугольника площади S₁ и периметра P₁ расположен выпуклый многоугольник площади S₂ и периметра P₂. Докажите, что 2S₁/P₁ > S₂/P₂.

9.52^*.: Докажите, что площадь параллелограмма, лежащего внутри треугольника, не превосходит половины площади треугольника.

9.53^*.: Докажите, что площадь треугольника, вершины которого лежат на сторонах параллелограмма, не превосходит половины площади параллелограмма.

* * *

9.54^*.: Докажите, что любой остроугольный треугольник площади 1 можно поместить в прямоугольный треугольник площади Ц3.

9.55^*.: а) Докажите, что выпуклый многоугольник площади S можно поместить в некоторый прямоугольник площади не более 2S.

б) Докажите, что в выпуклый многоугольник площади S можно вписать параллелограмм площади не менее S/2.

9.56^*.: Докажите, что в любой выпуклый многоугольник площади 1 можно поместить треугольник, площадь которого не меньше: а) 1/4; б) 3/8.

9.57^*.: Выпуклый n-угольник помещен в квадрат со стороной 1. Докажите, что найдутся три такие вершины A,B и C этого n-угольника, что площадь треугольника ABC не превосходит: а) 8/n²; б) 16p/n³.

См. также задачу 15.7.

Глава 9. § 6 \|	Оглавление \|	Глава 9. § 8

Внимание! Данное издание содержит опечатки!
Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора.
Заказ книги: biblio@mccme.ru.