Глава 9. § 8  |	Оглавление |	Глава 9. § 10

§ 9.  Четырехугольник

9.62.

В четырехугольнике ABCD углы A и B равны, a РD > РC. Докажите, что тогда AD < BC.

9.63.

В трапеции ABCD углы при основании AD удовлетворяют неравенствам РA < РD < 90°. Докажите, что тогда AC > BD.

9.64.

Докажите, что если два противоположных угла четырехугольника тупые, то диагональ, соединяющая вершины этих углов, короче другой диагонали.

9.65.

Докажите, что сумма расстояний от произвольной точки до трех вершин равнобедренной трапеции больше расстояния от этой точки до четвертой вершины.

9.66.

Угол A четырехугольника ABCD тупой;  F- середина стороны BC. Докажите, что 2FA < BD + CD.

9.67.

Дан четырехугольник ABCD. Докажите, что  AC · BD Ј AB · CD + BC · AD (неравенство Птолемея ).

9.68.

Пусть M и N- середины сторон BC и CD выпуклого четырехугольника ABCD. Докажите, что S_ABCD < 4S_AMN.

9.69.

Точка P лежит внутри выпуклого четырехугольника ABCD. Докажите, что сумма расстояний от точки P до вершин четырехугольника меньше суммы попарных расстояний между вершинами четырехугольника.

9.70.

Диагонали делят выпуклый четырехугольник ABCD на четыре треугольника. Пусть P- периметр четырехугольника ABCD,  Q- периметр четырехугольника, образованного центрами вписанных окружностей полученных треугольников. Докажите, что PQ > 4S_ABCD.

9.71.

Докажите, что расстояние от одной из вершин выпуклого четырехугольника до противоположной диагонали не превосходит половины этой диагонали.

9.72^*.

Отрезок KL проходит через точку пересечения диагоналей четырехугольника ABCD, а концы его лежат на сторонах AB и CD. Докажите, что длина отрезка KL не превосходит длины одной из диагоналей.

9.73^*.

В параллелограмм P₁ вписан параллелограмм P₂, а в параллелограмм P₂ вписан параллелограмм P₃, стороны которого параллельны сторонам P₁. Докажите, что длина хотя бы одной из сторон P₁ не превосходит удвоенной длины параллельной ей стороны P₃.

Глава 9. § 8  |	Оглавление |	Глава 9. § 10

Copyright © 2002 МЦНМО

Внимание! Данное издание содержит опечатки! Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора. Заказ книги: biblio@mccme.ru.