Начиная с 12.11.2013,
Лекции будут проходить на факультете математики НИУ ВШЭ (ул. Вавилова, д.7) по вторникам и средам в 17.00, в ауд. 1001.
Abstract.
Error correcting codes are at the heart of the digital world and therefore
play a central role in modern societies. In the late 70's, V.D. Goppa
constructed the first error correcting codes from algebraic geometry. The
problem of construction of "good" algebraic geometric codes reduces to the
question of finding curves of arbitrary large genus defined over finite
fields with many rational points.
After recalling basic definitions and properties concerning codes, we will
focus on algebraic geometric codes and on their relations to global fields.
We will discuss several constructions of asymptotically good families of
curves over finite fields that lead to good codes. Namely,
* explicit equations (after Garcia and Stichtenoth),
* class field theory (after Serre),
* reduction of modular curves (after Ihara and Tsfasman--Vladuts--Zink).
If time permits, we will also cover the constructions of sphere packings
(continuous analogues of codes) that use number fields. In the course we
will deal with algebraic curves, the Riemann-Roch and Riemann--Hurwitz
theorems, the ramification theory, the class field theory, Galois
cohomology. All the necessary notions and results will be recalled.
The last lecture will be devoted to the most recent advances concerning
invariants of infinite global fields.
Лекции будут проходить на факультете математики НИУ ВШЭ (ул. Вавилова, д.7) во вторник 03.09 в 17.00, в среду 04.09 в 17.00, в пятницу 06.09 в 15:30 и в понедельник 09.09 в 17.00 в аудитории 1001.
Аннотация.
Shimura varieties are algebraic varieties defined over number fields which
play a central role in modern arithmetic geometry. One reason for this is
that their geometry and cohomology is related to automorphic forms. The most
studied Shimura varieties are the ones associated to GL(2). In this case,
the set of their complex points is a finite disjoint union of quotients of
the upper half-plane by arithmetic subgroups of GL(2). In these lectures we
will introduce the axioms defining a Shimura variety and explain in some
detail why the Shimura variety associated to the symplectic group GSp(2n)
can be seen as a moduli space of abelian varieties.
Лекции состоятся 21.05 (вт., 17.00, ауд. 317), 22.05 (ср., 17.00, ауд. 311), 23.05 (чт., 15.30, ауд. 311), 27.05 (пн., 17.00, ауд. 1001), 28.05 (вт., 17.00, ауд. 317) и 29.05 (ср., 17.00, ауд. 311) на факультете математики НИУ ВШЭ (ул. Вавилова, д.7).
Abstract:
At the end of the eighties, Vladimir Berkovich introduced a new way to define p-adic analytic spaces. A surprising feature is that, although p-adic fields are totally discontinuous, the resulting spaces enjoy many nice topological properties: local compactness, local path-connectedness, etc. On the whole, those spaces are very similar to complex analytic spaces. They already have found numerous applications in several domains: arithmetic geometry, dynamics, motivic integration, etc.
In this course, we will introduce Berkovich spaces and study their basic properties. The program will cover the following topics: - non-Archimedean fields, absolute values - Tate algebras, affinoid algebras and their properties - affinoid spaces - Berkovich spaces - analytification of algebraic varieties - analytic curves (local structure, homotopy type)
The course will be understandable to those who know the definition of the field of p-adic numbers Q_p.
Лекции будут проходить с 13 по 17 мая на факультете математики НИУ ВШЭ (ул. Вавилова, д.7),
13, 14, 16 и 17 мая начало в 17.00, аудитория 209;
среда 15 мая, начало 15.30, аудитория 311.
Анонс:
Классическая формула Гиндикина - Карпелевича вычисляет некоторый интеграл по нильпотентной подгруппе полупростой группы Ли в виде произведения
гамма-функций. Согласно Хариш-Чандре, эти интегралы появляются как элементы некоторой матрицы рассеяния.
Будет рассказано как некоторые замечательные структуры, связанные с этой формулой, появляются в разных областях: теории Ленглендса рядов Эйзенштейна,
интегрируемых моделях квантовой теории поля, теории уравнения Книжника - Замолодчикова.
Миникурс будет проходить на факультете математики НИУ ВШЭ (ул. Вавилова, д.7) 02.04 и 03.04 в 17.00 в аудитории 1001, 04.04 в 15.30 и в 17.00 в аудитории 212.
02.04 в 17:00, в ауд. 1001
Lecture 1: Representations of profinite groups.
Basic definitions.
Basic properties of representations of profinite groups.
03.04 в 17:00, в ауд. 1001
Lecture 2: Galois representations.
Basic definitions (ramification, Frobenius elements, etc.).
Examples (cyclotomic character, Galois representations attached to
elliptic curves). Chebotarev's density theorem.
04.04 в 15:30, в ауд. 212
Lecture 3: Galois representations attached to modular forms.
Explanation of Galois representations attached to Hecke eigenforms.
Statement of Serre's modularity conjecture, i.e. the theorem of Khare
and Wintenberger, including level lowering and level raising.
04.04 в 17:00, в ауд. 212
Lecture 4: Applications.
Sketch of the proof of Fermat's Last Theorem via Serre's modularity
conjecture. An application of modular Galois representations to the inverse
Galois
problem.
Аннотация:
Проблема классификации дифференциальных уравнений относительно точечных
и контактных преобразований является одной из старейших и важнейших
проблем в теории дифференциальных уравнений. При этом наиболее
интересным и важным представляется изучение обыкновенных
дифференциальных уравнений, разрешённых относительно старшей
производной, т.е. уравнений вида
y^{(n)}=f(x,y,y',...,y^{(n-1)}). (1)
Первые результаты в этой области были получены Софусом Ли:
1) обыкновенное дифференциальное уравнение (1) первого порядка в окрестности неособой точки точечно эквивалентно уравнению y'=0;
2) обыкновенное дифференциальное уравнение (1) второго порядка в окрестности неособой точки контактно эквивалентно уравнению y''=0.
Таким образом, интерес представляет точечная классификация обыкновенных дифференциальных уравнений вида (1) при n>=2 и контактная - при n>=3.
Случай n=2 для уравнений вида (1) общего положения был исследован Трессе, учеником Софуса Ли. В более подробном изложении этот результат описан Кругликовым.
В докладе будет рассказано о построении контактной и точечной классификаций уравнений вида (1) общего положения при n>=3. Мы укажем наборы дифференциальных инвариантов этих уравнений, а также опишем наборы соотношений между ними, полностью определяющие классы контактной (точечной) эквивалентности заданных уравнений вида (1).
Аннотация:
In this series of lectures I will give an introduction to Wiesend's class
field theory for higher dimensional arithmetic schemes. It is more
elementary than the class field theory of Bloch-Kato-Saito and therefore
better suited for applications in some situations.
The setting is as follows: Given a regular scheme $X$, flat and of finite type over $\mathit{Spec}({\mathbb Z})$, there exists a higher idele class group $\mathcal{C}_X$ which is build out of data attached to all curves on $X$. There is a natural reciprocity homomorphism
\[\mathit{rec}:\\mathcal{C}_X \longrightarrow \pi_1^{et}(X)^{ab}\]
such that for every finite \'{e}tale Galois covering $Y\to X$ the induced homomorphism
\[\mathcal{C}_X/N_{Y|X} (\mathcal{C}_Y) \longrightarrow Gal(Y|X)^{ab}\]
is an isomorphism. The higher idele class group carries a natural topology and, as in classical (i.e. one-dimensional) class field theory, the norm groups are exactly the open subgroups. Similar results hold for smooth varieties over finite fields, however, in this case the theory describes the tamely ramified coverings only.
The central idea is to considercovering data, which are compatible systems of finite (not necessarily abelian) etale Galois coverings of all curves on X and to investigate the question whether they are induced by coverings of X.
Абстракт:
Меры на пространствах конфигураций естественно возникают в задачах эргодической теории ---
дело в том, что пространства эргодических мер некоторых естественных динамических систем
параметризуются как раз бесконечными конфигурациями, а проблема эргодического разложения и приводит,
таким образом, к мерам на пространствах конфигураций. Нас и будет интересовать задача
эргодического разложения некоторых естественных унитарно-инвариантных бесконечных мер
на пространствах бесконечных матриц. Возникающую разлагающую меру я назвал бесконечной
детерминантной мерой --- в докладе объясню, почему.
Доклад будет вводным и общедоступным.
ПОСЛЕ ДОКЛАДА --- ЧАЙ.
