На главную страницу НМУ

Алексей Викторович Пенской

Семинар по спектральной геометрии

Учебно-исследовательский семинар Независимого московского университета

В осеннем семестре 2024/2025 учебного года продолжает работу учебно-исследовательский семинар по спектральной геометрии Независимого московского университета под руководством А.В.Пенского.

15 декабря 2023 года (ПЯТНИЦА!), 19:00-20:30, онлайн (Zoom)
Докладчик: Егор Сурков (МГУ)
Тема: Первое собственное число минимально вложенных в единичную сферу гиперповерхностей.

Необходимые данные для подключения в Зум-конференцию разосланы участникам семинара.

Аннотация:
Теорема Такахаси позволяет доказать, что первое собственное число, минимальной вложенной гиперповерхности в единичную сферу, не превосходит размерности гиперповерхности. Таким образом, интересным становится вопрос о нижней оценке значения, которое может принимать первое собственное число подобных гиперповерхностей. В докладе мы обсудим статью Яника Сира, Джоэла Спрука и Джоана Дункана, в которой приводится одна из оценок для первого собственного числа.

Литература:

• Jonah A. J. Duncan, Yannick Sire, Joel Spruck An improved eigenvalue estimate for embedded minimal hypersurfaces in the sphere.Preprint arXiv:2308.12235.

7 декабря 2023 года (четверг), 19:00-20:30, онлайн (Zoom)
Докладчик: Алексей Кислицын (МГУ)
Тема: Минимальные подмногообразия и комплекснозначные собственные функции.

Необходимые данные для подключения в Зум-конференцию разосланы участникам семинара.

Аннотация:
В докладе будет обсуждаться результат Гудмундссона и Манна, который гласит, что прообраз регулярного нуля комплекснозначной собственной функции на многообразии является минимальным подмногообразием коразмерности 2. Также будут рассматриваться минимальные подмногообразия в сфере, которые можно получить с помощью этого утверждения. После чего будет обсуждаться более общая теорема, позволяющая строить минимальные подмногообразия произвольной коразмерности.

Литература:

• Sigmundur Gudmundsson, Thomas Jack Munn, Minimal Submanifolds via Complex-Valued Eigenfunctions.Preprint arXiv:2307.16274.

30 ноября 2023 года (четверг), 20:00-21:30 (НА ЧАС ПОЗЖЕ!), онлайн (Zoom)
Докладчик: Егор Морозов (ИППИ, НИУ ВШЭ, НМУ)
Тема: Индекс минимальных поверхностей Фрейзер-Сарджент.

Необходимые данные для подключения в Зум-конференцию разосланы участникам семинара.

Аннотация:
Поверхности Фрейзер-Сарджент - это семейство минимальных поверхностей в четырехмерном евклидовом пространстве. Эти поверхности пересекают границу единичного шара под прямым углом, что позволяет рассматривать их части внутри и снаружи шара как минимальные поверхности со свободной границей (МПСГ) внутри и снаружи шара (именно как МПСГ внутри шара они и появились в работах А. Фрейзер и П. Сарджент). Несмотря на то, что эти поверхности можно задать параметрически элементарными функциями, вычисление их индекса и дефекта - непростая задача. Я расскажу, как эта задача полностью решается в случае полных поверхностей Фрейзер-Сарджент, а также о сделанном прогрессе и возникающих трудностях в случае поверхностей Фрейзер-Сарджент внутри и снаружи шара. Доклад основан на совместной работе с В. Медведевым.

Литература:

• Vladimir Medvedev, Egor Morozov, On the Index of Fraser-Sargent-type minimal surfaces.Preprint arXiv:2204.07972.

23 ноября 2023 года (четверг), 19:00-20:30, онлайн (Zoom)
Докладчик: Лев Локуциевский (МИАН, МГУ)
Тема: Регулярность субримановых геодезических.

Необходимые данные для подключения в Зум-конференцию разосланы участникам семинара.

Аннотация:
Как известно, геодезические на римановом многообразии являются гладкими кривыми. С самого начала исследования субримановых многообразий был обнаружен новый класс анормальных геодезических, которые не возникают в римановой геометрии. Такие геодезические могут иметь очень нестандартные свойства. В частности, крайне сложным оказался стоящий более 30 лет вопрос об их гладкости. Этот вопрос представляет большой интерес в связи с известными приложениями субримановой геометрии к гипоэллиптическим уравнениям, к управлению квантовыми системами, к неголономным задачам, к задачам о восстановлении изображений и нейрофизиологии глаза, к вакономной механике и к кинематической робототехнике. Авторами настоящей работы получен первый результат о регулярности субримановых геодезических, не использующий никакие априорные предположения. Доказано, что скорость на всякой субримановой геодезической обязана быть интегрально гельдеровой. Этот теоретический результат имеет много важных приложений, касающихся скорости убывания коэффициентов в разложении Фурье субримановой геодезической (и, следовательно, эффективности быстрого преобразования Фурье), а также скорости аппроксимации геодезических сплайнами второго порядка.

16 ноября 2023 года (четверг), 19:00-20:30, онлайн (Zoom)
Докладчик: Sameer Kumar (Moscow Institute of Physics and Technology)
Тема: Negative mass singularities, Penrose inequality and the Conformal conjecture.

Необходимые данные для подключения в Зум-конференцию разосланы участникам семинара.

Аннотация:
In this talk we will briefly discuss the history of Riemannian Penrose Inequality (RPI). We will focus on the special case of RPI for manifolds with zero area singularities and the conformal conjecture which is used for its proof [1]. The conformal conjecture states that we can perturb the metric of a Riemannian manifold with a conformal factor such that its boundary becomes disjoint from its outermost minimal enclosure (a maximal enclosing set with global minimal area) and the two have areas differing only infinitesimally. Our central topic for the talk will be the proof of conformal conjecture assuming only finite number of minimal enclosures of the boundary of the manifold by Jauregui [2], and subsequent generalisation by me [3] that relaxes this assumption. The proof is a local analysis using techniques from geometric measure theory. Briefs of relevant concepts from geometric measure theory will be given.

Литература:

1. Hubert L. Bray, Jeffrey L. Jauregui, “A geometric theory of zero area singularities in general relativity”, Asian J. Math., Vol. 17, No. 3 (2013), pp. 525-560.
2. Jeffrey L. Jauregui, “Mass Estimates, Conformal Techniques and Singularities in General Relativity”, PhD Thesis, Duke University, 2010.
3. Sameer Kumar, “Proof of the bounded conformal conjecture”, arxiv: 2306.15322, 2023

28 сентября 2023 года (четверг), 19:00-20:30, онлайн (Zoom)
Докладчик: Равиль Габдурахманов (НИУ ВШЭ)
Тема: Задача Кальдерона для отображений многообразий.

Необходимые данные для подключения в Зум-конференцию разосланы участникам семинара.

Аннотация:
Классическая задача Кальдерона это обратная задача которая возникает например в электрической импедансной томографии. А именно, мы хотим определить (анизотропную) проводимость внутри некоторого объема в пространстве по измерениям плотности электрического тока через границу, возникающего в ответ на различные приложенные потенциалы к этой границе. Можно показать, что эта задача переформулируется на геометрическом языке как задача восстановления римановой метрики в некоторой области n-мерного пространства по оператору Дирихле-Неймана на границе этой области. Обычно же, под геометрической задачей Кальдерона понимают более общую задачу восстановления (топологии и геометрии) риманова многообразия с краем по оператору Дирихле-Неймана.

Мы определим обобщение оператора Дирихле-Неймана на отображения из риманова многообразия с краем в полное риманово многообразие неположительной секционной кривизны. Попутно мы обсудим некоторые свойства этого оператора и отличия с классическим случаем. Используя это, мы обобщим задачу Кальдерона на отображения многообразий. Далее, мы обсудим наш основной результат - единственность решения обобщенной задачи Кальдерона в случае аналитических римановых многообразий. Попутно мы поговорим про аналогичные результаты для классической задачи Кальдерона и её обобщения на эрмитовы расслоения со связностью.

Литература:

• Ravil Gabdurakhmanov, Harmonic maps, inverse problems, and related topics, PhD Thesis, University of Leeds, December 2022.
• Ravil Gabdurakhmanov, On the Dirichlet-to-Neumann operator for the connection Laplacian.Preprint arXiv:2112.13466.

21 сентября 2023 года (четверг), 19:00-20:30, онлайн (Zoom)
Докладчик: Владимир Медведев (НИУ ВШЭ, НМУ)
Тема: О минимальных подмногообразиях со свободной границей в геодезических шарах в полусфере и гиперболическом пространстве.

Необходимые данные для подключения в Зум-конференцию разосланы участникам семинара.

Аннотация:
Известно, что минимальные подмногообразия со свободной границей в шаре в евклидовом пространстве описываются в терминах критических точек функционала «k-ое нормализованное собственное число Стеклова» на множестве римановых метрик на данной компактной поверхности с краем. По аналогии с этим Лима и Менезес недавно ввели некоторый функционал, критическим метриками которого, как мы покажем, являются метрики, индуцированные с минимального погружения со свободной границей в геодезический шар в полусфере. Мы также введём родственный ему функционал и покажем, что его критическим точками являются метрики, индуцированные с минимального погружения со свободной границей в геодезический шар в гиперболическом пространстве. Это описание данных минимальных подмногообразиях со свободной границей позволяет дать оценки на индекс Морса функционала объёма и даже вычислить его точное значение в некоторых случаях. Этот результат также будет обсуждаться в докладе.

Литература:

• V.Lima, A.Menezes, Eigenvalue problems and free boundary minimal surfaces in spherical caps.Preprint arXiv:2307.13556.
• V.Medvedev. On the free boundary minimal submanifolds in geodesic balls in $\mathbb H^n$ and $\mathbb S^n_+$. In progress.

ВЕСНА 2023

22 июня 2023 года (четверг), 19:00-20:30, онлайн (Zoom)
Докладчик: Иосиф Полтерович (Université de Montréal)
Тема: Гипотеза Пойи о собственных значениях: новые продвижения.

Необходимые данные для подключения в Зум-конференцию разосланы участникам семинара.

Аннотация:
Гипотеза Пойи (1954) является одной из наиболее известных открытых задач в спектральной геометрии. Согласно этой гипотезе, считающие функции собственных значений Дирихле и Неймана на ограниченной евклидовой области оцениваются, соответственно, сверху и снизу главным членом вейлевской асимптотики. Это результат был установлен Пойей для областей, замощающих пространство, но до недавнего времени не был известен даже в казалось бы простейшем случае диска. В докладе, основанном на совместной работе с Н. Филоновым, М. Левитиным и Д. Шером, будет рассказано о недавнем доказательстве этого факта и некоторых дальнейших продвижениях.

Литература:

• Nikolay Filonov, Michael Levitin, Iosif Polterovich, David A. Sher, Pólya’s conjecture for Euclidean balls. Invent. math. (2023). https://doi.org/10.1007/s00222-023-01198-1

15 июня 2023 года (четверг), 19:00-20:30, онлайн (Zoom)
Докладчик: Александр Молокоедов (НИУ ВШЭ)
Тема: Решение задач спектральной геометрии на кольцеподобных областях.

Необходимые данные для подключения в Зум-конференцию разосланы участникам семинара.

Аннотация:
Доклад будет посвящен решению задач спектральной геометрии по поиску собственных чисел оператора Лапласа с различными граничными условиями на кольцах и оценкам на собственные числа кольцеподобных областей.

Литература:

• Nunzia Gavitone, Rossano Sannipoli, On a Steklov-Robin eigenvalue problem. Preprint arxiv:2210.02918.

25 мая 2023 года (четверг), 19:00-20:30, онлайн (Zoom)
Докладчик: Михаил Муравьёв (НИУ ВШЭ)
Тема: О скорости роста собственных чисел оператора Лапласа с граничным условием Неймана.

Необходимые данные для подключения в Зум-конференцию разосланы участникам семинара.

Аннотация:
Рассмотрим евклидово пространство и выпуклую ограниченную область M в нем. В своей свежей статье Kei Funano предлагает новую оценку темпа роста собственных чисел оператора Лапласа с граничным условием Неймана на области M.

Литература:

• Kei Funano, A universal inequality for Neumann eigenvalues of the Laplacian on a convex domain in Euclidean space. Preprint arxiv:2305.04398.

18 мая 2023 года (четверг), 19:00-20:30, онлайн (Zoom)
Докладчик: Анна Оверчук (НИУ ВШЭ)
Тема: Старые и новые примеры минимальных поверхностей бесконечной полной кривизны.

Необходимые данные для подключения в Зум-конференцию разосланы участникам семинара.

Аннотация:
На протяжении более чем 200 лет геликоид был единственным известным примером вложенной минимальной поверхности бесконечной полной кривизны и конечного рода. Ситуация изменилась в 1993 году, когда Д. Хофман, Ф. Карчер и Д. Вэй обобщили пример геликоида на более высокий топологический род. Они открыли геликоид рода один - это минимальный тор с одним топологическим концом, который асимптотичен на бесконечности геликоиду. С помощью представления Вейерштрасса я расскажу о новых примерах минимальных поверхностей бесконечной полной кривизны, которые обобщают пример геликоида на случай большего количества концов.

Литература:

• Matthias Weber, David Hoffman, Michael Wolf An embedded genus-one helicoid. Proc Natl Acad Sci U S A. 2005 Nov 15;102(46):16566-8.

13 апреля 2023 года (четверг), 19:00-20:30, онлайн (Zoom)
Докладчик: Михаил Карпухин (University College London)
Тема: Оптимизация собственных значений оператора Дирака в конформном классе

Необходимые данные для подключения в Зум-конференцию разосланы участникам семинара.

Аннотация:
Хорошо известен факт, что оптимизация собственных значений оператора Лапласа в конформном классе связана с гармоническими отображениями в сферу. Оказывается, что аналогичное соответствие верно для оператора Дирака, где комплексная проективная плоскость играет роль сферы. Я расскажу о приложениях этого факта к задаче оптимизации. Доклад основан на совместной работе с A. Métras, I. Polterovich (текст в процессе написания).

Литература:

• Ammann, Bernd, The smallest Dirac eigenvalue in a spin-conformal class and cmc immersions. Communications in Analysis and Geometry 17.3 (2009): 429-479.

30 марта 2023 года (четверг), 19:00-20:30, онлайн (Zoom)
Докладчик: Денис Винокуров (НИУ ВШЭ, НМУ, Université de Montréal)
Тема: Вторая вариация суперминимальных поверхностей в автодуальных 4-х мерных многообразиях Эйнштейна

Необходимые данные для подключения в Зум-конференцию разосланы участникам семинара.

Аннотация:
Среди множества всевозможных минимальных поверхностей иногда получается выделить класс суперминимальных. Они примечательны тем, что обладают поднятием в некоторое комплексное многообразие. Иными словами такие поверхности находятся в некотором соответствии с комплексными кривыми, геометрия которых несёт в себе информацию об индексе и дефекте поверхности. Используя эту взаимосвязь, С. Монтьель и Ф. Урбано смогли явно посчитать индекс и получить нижнюю оценку на дефект в случае суперминимальных поверхностей в S^4 или же в СP^2

Литература:

• Sebastián Montiel, Francisco Urbano, Second variation of superminimal surfaces into self-dual Einstein four-manifolds, Trans. Amer. Math. Soc. 349 (1997), 2253-2269.

23 марта 2023 года (четверг), 19:00-20:30, онлайн (Zoom)
Докладчик: Денис Селюцкий (МГУ)
Тема: Точная верхняя оценка собственных чисел Стеклова гиперповерхности вращения с границей, состоящей из двух компонент связности

Необходимые данные для подключения в Зум-конференцию разосланы участникам семинара.

Аннотация:
Доклад основан на опубликованной на arxiv.org в 2023 статье L. Tschanz “Sharp upper bounds for Steklov eigenvalues of a hypersurface of revolution with two boundary components in Euclidean space”. Рассматриваются вопросы точных верхних оценок собственных чисел Стеклова. Предъявляется точная верхняя оценка для первого ненулевого собственного числа.

Литература:

• Léonard Tschanz, Sharp upper bounds for Steklov eigenvalues of a hypersurface of revolution with two boundary components in Euclidean space Preprint arXiv:2302.11964.

16 марта 2023 года (четверг), 19:00-20:30, онлайн (Zoom)
Докладчик: Игорь Козырев (НМУ)
Тема: Критерий неустойчивости минимальных подмногообразий со свободной границей размерности 2 в евклидовом пространстве размерности 4 вне шара

Необходимые данные для подключения в Зум-конференцию разосланы участникам семинара.

Аннотация:
В докладе будут рассмотрены минимальные двумерные многообразия со свободной границей вне шара в четырехмерном Евклидовом пространстве и будет выведен критерий неустойчивости для таких классов этих многообразий, у которых дифференциал Хопфа не равен нулю.

Литература:

• V. Medvedev, On the index of the critical Möbius band in B^4. Preprint arXiv:2112.04883.
• L. Mazet, A. Mendes, Free boundary minimal hypersurfaces outside of the ball. Preprint arXiv:2206.08198.

9 марта 2023 года (четверг), 20:00-21:30, онлайн (Zoom)
Докладчик: Егор Морозов (НИУ ВШЭ, НМУ)
Тема: Минимальные подмногообразия со свободной границей в пространствах Шварцшильда и евклидовых пространствах вне шара

Видеозапись прошедшего доклада.

Аннотация:
Будет дан обзор результатов по теме, обозначенной в названии доклада. Изложение будет сконцентрировано на вопросах существования и теории индекса. Подробное изложение доказательств не планируется. В качестве бонуса, я рассказажу о недавних результатах по теме, полученных совместно В. Медведевым, И. Козыревым и мной (текст в процессе написания), а также о некоторых интригующих открытых вопросах, которых в данной области немало.

Литература:

• L. Mazet, A. Mendes, Free boundary minimal hypersurfaces outside of the ball. Preprint arXiv:2206.08198.
• E. Barbosa, J.M. Espinar, The Journal of Geometric Analysis volume 31, pages 12548–12567 (2021)
• E. Barbosa, D. Moya, Proper free-boundary minimal hypersurfaces with a rotational symmetry in the Schwarzschild space. Preprint arXiv:2108.00693.
• R. Montezuma, On free boundary minimal surfaces in the Riemannian Schwarzschild manifold. Preprint arXiv:1903.11214.
• A. Carlotto, A. Mondino, A non-existence result for minimal catenoids in asymptotically flat spaces. Preprint arXiv:1606.03944.

2 марта 2023 года (четверг), 20:00-21:30, онлайн (Zoom)
Докладчик: Михаил Муравьёв (НИУ ВШЭ)
Тема: Верхние оценки на собственные числа оператора Лапласа на подмногообразиях пространств постоянной кривизны

Необходимые данные для подключения в Зум-конференцию разосланы участникам семинара.

Аннотация:
Пусть M - это m-мерное замкнутое подмногообразие в пространстве постоянной кривизны, тогда выполняется неравенство Рейли на первое ненулевое собственное значение Лапласиана. В ходе доклада будут рассмотрены обобщения, предложенные Hang Chen, позволяющие оценить сверху среднее гармоническое первых m собственных значений.

Литература:

• Hang Chen, Extrinsic and conformal upper bounds for lower Neumman and Steklov eigenvalues. Preprint arXiv:2208.13959.

ОСЕНЬ 2022

10 декабря 2022 года (суббота), 11:00-12:30, онлайн (Zoom)
Докладчик: Tianyu Ma (Higher School of Economics, Moscow)
Тема: Geodesic rigidity of Levi-Civita connections admitting essential projective vector fields

Необходимые данные для подключения в Зум-конференцию разосланы участникам семинара.

Аннотация:
We prove that a connected 3-dimensional Riemannian manifold or a closed connected semi-Riemannian manifold M^n (n>1) admitting a projective vector field with a non-linearizable singularity is projectively flat.

3 декабря 2022 года (суббота), 11:00-12:30, онлайн (Zoom)
Докладчик: Алексей Кислицын (МГУ)
Тема: Обобщенные поверхности вращения

Необходимые данные для подключения в Зум-конференцию разосланы участникам семинара.

Аннотация:
Основная цель доклада - это классификация обобщенных поверхностей вращения имеющих "подкрутку" альфа. Оказывается, при незначительных допущениях такие поверхности будут иметь постоянную среднюю кривизну. В минимальном случае достигнута полная классификация. Однако в случае ненулевой средней кривизны известны только частные решения, а общая задача остается открытой.

Литература:

• Daniel Freese, Matthias Weber, On Surfaces that are Intrinsically Surfaces of Revolution. arXiv:1607.08503.

26 ноября 2022 года (суббота), 11:00-12:30, онлайн (Zoom)
Докладчик: Денис Селюцкий (МГУ)
Тема: Устойчивость минимальных подмногообразий в конформных сферах

Необходимые данные для подключения в Зум-конференцию разосланы участникам семинара.

Аннотация:
В докладе будет разобрана статья Giada Franz, Federico Trinca “On the stability of minimal submanifolds in conformal spheres”. Доказывается, что в римановой δ-защеплённой n-сфере, конформной сфере с круглой метрикой, не существует замкнутых минимальных подмногообразий размерности k, где 2 <= k <= n–δ^{-1}.

Литература:

• Giada Franz, Federico Trinca, On the stability of minimal submanifolds in conformal spheres. arXiv:2211.01106.

12 ноября 2022 года (суббота), 11:00-12:30, онлайн (Zoom)
Докладчик: Анна Оверчук (НИУ ВШЭ)
Тема: О классификации минимальных подмногообразий в Е^3 с помощью спинорного представления (продолжение доклада)

Необходимые данные для подключения в Зум-конференцию разосланы участникам семинара.

5 ноября 2022 года (суббота), 11:00-12:30, онлайн (Zoom)
Докладчик: Анна Оверчук (НИУ ВШЭ)
Тема: О классификации минимальных подмногообразий в Е^3 с помощью спинорного представления (продолжение доклада)

Необходимые данные для подключения в Зум-конференцию разосланы участникам семинара.

22 октября 2022 года (суббота), 11:00-12:30, онлайн (Zoom)
Докладчик: Анна Оверчук (НИУ ВШЭ)
Тема: О классификации минимальных подмногообразий в Е^3 с помощью спинорного представления

Необходимые данные для подключения в Зум-конференцию разосланы участникам семинара.

Аннотация:
К классификации минимальных подмногообразий в E^3 можно подходить с разных сторон. Например, можно оценить полную кривизну или индекс. Основной инструмент в моем докладе это классификация минимальных поверхностей по их концам (т.е. по их поведению на бесконечности). Данный подход позволяет охватить все без исключения минимальные поверхности в E^3, в том числе бесконечного индекса и с бесконечной полной кривизной. Изучение таких, исключительных, минимальных поверхностей и будет путеводной звездой доклада.

Известно, что все минимальные поверхности в E^3 описываются локально с помощью параметризации Вейерштрасса-Эннепера. Однако, для доказательства классификационных теорем минимальных поверхностей с заданными типами концов потребуется их инвариантное представление. Р. Кушнер и Н.Шмитт показали, что в качестве такого инвариантного преставления можно взять спинорное представление. В первой части доклада мы обсудим переход от параметризации Вейерштрасса - Эннепера к спинорному представлению. А во второй части перейдем непосредственно к вопросам классификации.

Литература:

• Rob Kusner, Nick Schmitt, The Spinor Representation of Surfaces in Space. arxiv:dg-ga/9610005.
• Alexander I. Bobenko, Helicoids with handles and Baker-Akhiezer spinors.Math. Z. 229 (1998), no. 1, 9-29.

15 октября 2022 года (суббота), 11:00-12:30, онлайн (Zoom)
Докладчик: Егор Морозов (НИУ ВШЭ, НМУ)
Тема: Сравнение индекса Морса и индекса энергии минимальной поверхности (окончание доклада)

Необходимые данные для подключения в Зум-конференцию разосланы участникам семинара.

8 октября 2022 года (суббота), 11:00-12:30, онлайн (Zoom)
Докладчик: Егор Морозов (НИУ ВШЭ, НМУ)
Тема: Сравнение индекса Морса и индекса энергии минимальной поверхности (продолжение доклада)

Необходимые данные для подключения в Зум-конференцию разосланы участникам семинара.

1 октября 2022 года (суббота), 11:00-12:30, онлайн (Zoom)
Докладчик: Егор Морозов (НИУ ВШЭ, НМУ)
Тема: Сравнение индекса Морса и индекса энергии минимальной поверхности

Необходимые данные для подключения в Зум-конференцию разосланы участникам семинара.

Аннотация:
Рассмотрим гладкое (возможно, с точками ветвления) погружение замкнутой ориентируемой римановой поверхности N в замкнутое риманово многообразие M. С таким погружением связаны два функционала - функционал площади и функционал энергии. Критические точки этих функционалов называются минимальными погружениями и гармоническими отображениями соответственно. Нетрудно показать, что всякое минимальное погружение является гармоническим отображением при условии, что поверхность N снабжена метрикой, индуцированной этим погружением.

Индекс Морса минимального погружения - это количество отрицательных собственных чисел оператора второй вариации функционала площади. Похожим образом, индекс энергии гармонического отображения - это количество отрицательных собственных чисел оператора второй вариации функционала энергии. Так как всякое минимальное погружение является гармоническим, то естественно попытаться понять, а как связаны между собой эти два индекса. Удовлетворительный ответ на этот вопрос получен Н. Эдзири и М. Микалевым в 2008 году. Оказывается, что индекс Морса всегда не меньше индекса энергии, но также не больше индекса энергии плюс добавка, которая зависит только от рода поверхности N и суммы кратностей точек ветвления погружения. В докладе я приведу точную формулировку этого важного результата, а также подробно разберу его доказательство, использующее идеи алгебраической геометрии.

Литература:

• Norio Ejiri, Mario Micallef, Comparison between Second Variation of Area and Second Variation of Energy of a Minimal Surface. Advances in Calculus of Variations, vol. 1, is. 3 (2008), pp. 223-239. arXiv:0708.2188.

24 сентября 2022 года (суббота), 11:00-12:30, онлайн (Zoom)
Докладчик: Игорь Козырев (НМУ)
Тема: Минимальные гиперповерхности со свободной границей вне шара в евклидовом пространстве (продолжение доклада)

Необходимые данные для подключения в Зум-конференцию разосланы участникам семинара.

17 сентября 2022 года (суббота), 11:00-12:30, онлайн (Zoom)
Докладчик: Игорь Козырев (НМУ)
Тема: Минимальные гиперповерхности со свободной границей вне шара в евклидовом пространстве

Необходимые данные для подключения в Зум-конференцию разосланы участникам семинара.

Аннотация:
В докладе будет рассмотрены классификационные теоремы для минимальных гиперповерхностей со свободной границей вне шара в евклидовом пространстве. Первая теорема гласит, что стабильные минимальные гиперповерхности со свободной границей вне шара c вложенными регулярными параллельными концами являются катеноидальными. Вторая теорема гласит, что минимальные гиперповерхности со свободной границей вне шара c одним регулярным концом являются катеноидальными. Также будет дано описание катеноидальных гиперповерхностей и вычислены их индексы. Все необходимые определения будут даны.

Литература:

• Laurent Mazet, Abraão Mendes, Free boundary minimal hypersurfaces outside of the ball. Preprint arXiv:2206.08198.

ВЕСНА 2022

4 июня 2022 года (суббота), 17:00-18:00, онлайн (Zoom)
Докладчик: Иосиф Полтерович (Université de Montréal)
Тема: Нодальная геометрия и топологический анализ данных

Необходимые данные для подключения в Зум-конференцию разосланы участникам семинара.

Аннотация:
Как следует из знаменитой теоремы Куранта, число нодальных областей собственной функции оператора Лапласа можно оценить в терминах соответствующего собственного значения. За почти столетнюю историю этого результата было совершено множество попыток его обобщить в разных направлениях: на линейные комбинации и произведения собственных функций, на другие операторы, на старшие топологические инварианты нодальных множеств. Мы покажем, что эти и другие обобщения теоремы Куранта можно получить, если ограничиться грубым подсчетом нодальных областей, не принимающим в расчёт малые осцилляции. Доказательство использует многомасштабную полиномиальную аппроксимацию в пространствах Соболева, а также методы теории устойчивых гомологий, получившие развитие в топологическом анализе данных. Доклад основан на незаконченной совместной работе с Л. Буховским, Ж. Пайеттом, Л. Полтеровичем, Е. Шелухиным и В. Стоисавлевичем.

23 апреля 2022 года (суббота), 11:00-12:30, онлайн (Zoom)
Докладчик: Владимир Медведев (НИУ ВШЭ)
Тема: Верхняя оценка на индекс минимальных неоринтируемых поверхностей в n-мерном евклидовом пространстве

Необходимые данные для подключения в Зум-конференцию разосланы участникам семинара.

Аннотация:
В докладе будет рассмотрена оценка на индекс минимальных неоринтируемых поверхностей в n-мерном евклидовом пространстве, аналогичная оценке Эдзири-Микаллефа для ориентируемых поверхностей. Данная оценка позволяет вычислить индекс листа Мёбиуса Аларсона-Форстнерика-Лопеза. Эта поверхность интересна тем, что представляет собой первый пример полной вложенной неориентируемой поверхности в 4-мерном евклидовом пространстве. Согласно нашему вычислению, индекс этого листа Мёбиуса равен 1. Это примечательно тем, что неориентируемые минимальные поверхности в 3-мерном евклидовом пространстве не могут иметь индекс равный 1. Также обсудим оценки на индекс неориентируемых минимальынх поверхностей в произвольном римановом многообразии.

Литература:

• Vladimir Medvedev, An index upper bound for non-orientable minimal surfaces in the n−dimensional Euclidean space. Preprint arXiv:2204.07972.

16 апреля 2022 года (суббота), 11:00-12:30, онлайн (Zoom)
Докладчик: Егор Морозов (НИУ ВШЭ, НМУ)
Тема: Обобщение теоремы Штурма об осцилляции (продолжение доклада)

Необходимые данные для подключения в Зум-конференцию разосланы участникам семинара.

9 апреля 2022 года (суббота), 11:00-12:30, онлайн (Zoom)
Докладчик: Егор Морозов (НИУ ВШЭ, НМУ)
Тема: Обобщение теоремы Штурма об осцилляции

Необходимые данные для подключения в Зум-конференцию разосланы участникам семинара.

Аннотация:
Знаменитая теорема Штурма об осцилляции утверждает, что k-ая собственная функция задачи Дирихле для уравнения Штурма-Лиувилля на отрезке имеет ровно k-1 нуль внутри этого отрезка. На докладе будет разобрано далеко идущее многомерное обобщение этого результата, предложенное Р. Боттом и переосмысленное Х. Эдвардсом. Акцент в докладе будет сделан не на доказательствах основных результатов первоисточников, а на конкретных примерах применения этих результатов.

Литература:

• Bott, R., “On the iteration of closed geodesics and the Sturm intersection theory.”Comm. Pure Appl. Math., 70 (1959), 313-337.
• Edwards, H. M., “A Generalized Sturm Theorem.” Annals of Mathematics, vol. 80, no. 1, 1964, pp. 22–57.

2 апреля 2022 года (суббота), 11:00-12:30, онлайн (Zoom)
Докладчик: Евгений Степанов (ПОМИ РАН)
Тема: Восстановление скрытых многообразий в данных спектральным и вариационным методами

Необходимые данные для подключения в Зум-конференцию разосланы участникам семинара.

Аннотация:
Мы обсудим классическую задачу о том, как по данным о расстояниях между точками на гладком римановом многообразии (множество точек очень большое и в пределе покрывает плотно все многообразие) восстановить это многообразие и его вложение в Евклидово или гильбертово пространство.. Будут рассмотрены 2 метода решения этой задачи - спектральный и вариационный. Оказывается, что вариационный метод задачу решает, но очень сложен в реализации, а намного более простой (и кажущийся более естественным) спектральный метод, чаще всего и применяющийся на практике, вообще говоря, задачу совсем не решает, но все равно интересен, т.к. дает любопытные и неожиданные эффекты.

19 марта 2022 года (суббота), 17:00-18:30, онлайн (Zoom)
Докладчик: Михаил Карпухин (CalTech)
Тема: От Стеклова к Лапласу

Необходимые данные для подключения в Зум-конференцию разосланы участникам семинара.

Аннотация:
Задача оптимизации собственных значений Лапласа на замкнутых поверхностях тесно связана с минимальными поверхностями в сферах. Для поверхностей с границей имеет место аналогичное соответствие: оптимизация собственных значений Стеклова связана с минимальными поверхностями в сферах со свободной границей. В данном докладе мы обсудим как задача Лапласа может быть реализована как предельный случай задачи Стеклова на поверхностях с большим количеством компонент границы, а также получим соответствующее утверждение в теории минимальных поверхностей.

Литература:

• M .Karpukhin, D. Stern, From Steklov to Laplace: free boundary minimal surfaces with many boundary components. Preprint arXiv:2109.11029.
• A. Girouard, M. Karpukhin, J. Lagacé, Continuity of eigenvalues and shape optimisation for Laplace and Steklov problems. Preprint arXiv:2004.10784.

5 марта 2022 года (суббота), 11:00-12:30, онлайн (Zoom)
Докладчик: Михаил Муравьёв (НИУ ВШЭ)
Тема: Изменение спектра Неймана оператора Лапласа при уменьшении области

Необходимые данные для подключения в Зум-конференцию разосланы участникам семинара.

Аннотация:
Будет сделан обзор статьи Kei Funano "A note on domain monotonicity for the Neumann eigenvalues of the Laplacian". В статье проводится оценка изменения чисел Неймана при сужении области, задающей граничное условие.

Литература:

• Kei Funano, A note on domain monotonicity for the Neumann eigenvalues of the Laplacian. Preprint arXiv:2202.03598.

19 февраля 2022 года (суббота), 11:00-12:30, онлайн (Zoom)
Докладчик: Георгий Ерёмин (МГУ)
Тема: Стабильность и гауссово отображение

Необходимые данные для подключения в Зум-конференцию разосланы участникам семинара.

Аннотация:
Известен результат до Кармо: если площадь образа гауссова отображения минимальной поверхности в R^3 меньше 2\pi, то поверхность стабильна. В докладе будет разобрана статья Ari Aiolfi, Marc Soret and Marina Ville "On the size of minimal surfaces in R^4", где результат до Кармо обобщен на случай поверхностей в R^4.

Литература:

• Ari Aiolfi, Marc Soret, Marina Ville, On the Size of Minimal Surfaces in ℝ4. Preprint arXiv:2106.06318

ОСЕНЬ 2021

18 декабря 2021 года (суббота), 11:00-12:30, онлайн (Zoom)
Докладчик: Денис Винокуров (ВШЭ и НМУ)
Тема: Граница пространства полных гармонических отображений двумерной сферы в многомерные сферы и дополнительные собственные функции

Необходимые данные для подключения в Зум-конференцию разосланы участникам семинара.

Аннотация:
По теореме Такахаси минимальные отображения в сферу задаются собственными функциями оператора Лапласа-Бельтрами, имеющими одно и тоже собственное значение. Остаётся вопрос, а есть ли другие линейно независимые функции из того же собственного пространства? В данном докладе я планирую осветить эту проблему в случае минимальных поверхностей в сферах. Мы получим оценки на размерность пространства дополнительных собственных функций. Случай отображений из S^2 в S^n будет наиболее результативен и полезен в приложениях.

Литература:

• Norio Ejiri, The boundary of the space of full harmonic maps of S2 into S2m (1) and extra eigenfunctions. Japan. J. Math. (N.S.) 24 (1998), no. 1, 83–121.

11 декабря 2021 года (суббота), 11:00-12:30, онлайн (Zoom)
Докладчик: Александр Молокоедов (ВШЭ)
Тема: Оценки сверху собственных чисел Стеклова подмногообразий евклидова пространства через индекс пересечений.

Необходимые данные для подключения в Зум-конференцию разосланы участникам семинара.

Аннотация:
В докладе будут разобраны результаты статьи Bruno Colbois, Katie Gittins о верхних оценках собственных чисел Стеклова подмногообразий в евклидовом пространстве через индекс пересечения. Будет выведена явная оценка в терминах индекса пересечения, объемов подмногообразия и его границы, а также констант, зависящий только от размерности. Кроме того, будет разобрана оценка с оптимальной асимптотикой, зависящая также от радиуса инъективности.

Литература:

• Bruno Colbois, Katie Gittins, Upper Bounds of Steklov Eigenvalues of Submanifolds in Euclidian Space via Intersection Index

4 декабря 2021 года (суббота), 11:00-12:30, онлайн (Zoom)
Докладчик: Григорий Поздняков (МГУ)
Тема: Собственные функции с заранее заданной нодальной областью.

Необходимые данные для подключения в Зум-конференцию разосланы участникам семинара

Аннотация:
На докладе планируется рассказать о результатах статьи Alberto Enciso, Daniel Peralta-Salas, Eigenfunctions with prescribed nodal sets о существовании метрики на многообразии, для которой заданная гиперповерхность является связной компонентой нодальной области первой собственной функции оператора Лапласа.

Литература:

• Alberto Enciso, Daniel Peralta-Salas, Eigenfunctions with prescribed nodal sets

27 ноября 2021 года (суббота), 11:00-12:30, онлайн (Zoom)
Докладчик: Мария Маркова (МГУ, НМУ)
Тема: Минимальные гиперповерхности со свободной границей в пространстве Шварцшильда

Необходимые данные для подключения в Зум-конференцию разосланы участникам семинара

Аннотация:
Планируется рассказать о результатах поиска минимальных гиперповерхностей со свободной границей в пространстве Шварцшильда из статьи "On Free Boundary Minimal Hypersurfaces in the Riemannian Schwarzschild Space" Ezequiel Barbosa и José M. Espinar. Будет найден индекс Морса некоторых гиперповерхностей.

Литература:

• Ezequiel Barbosa, José M. Espinar, On Free Boundary Minimal Hypersurfaces in the Riemannian Schwarzschild Space, The Journal of Geometric Analysis volume 31, pages 12548–12567 (2021)

20 ноября 2021 года (суббота), 11:00-12:30, онлайн (Zoom)
Докладчик: Егор Морозов (НИУ ВШЭ)
Тема: «Пузырение» гармонических отображений

Необходимые данные для подключения в Зум-конференцию разосланы участникам семинара

Аннотация:
Пусть дана последовательность гармонических отображений из римановой поверхности в произвольное компактное риманово многообразие. Всегда ли из неё можно выбрать подпоследовательность, равномерно сходящуюся к гармоническому отображению? Оказывается, что не всегда, однако утверждение можно спасти, разрешив предельному отображению «взрываться» в конечном множестве точек. Это явление называется «пузырением» (bubbling). Впервые оно было обнаружено Саксом и Уленбек, став в дальнейшем часто используемой техникой в геометрическом анализе. На докладе я приведу точные формулировки и наброски доказательств, следуя классической статье Паркера.

Литература:

• Thomas H. Parker Bubble Tree Convergence for Harmonic Maps, Journal of Differential Geometry, vol. 44 (1996), pp. 595-633.

13 ноября 2021 года (суббота), 11:00-12:30, онлайн (Zoom)
Докладчик: Михаил Муравьёв (НИУ ВШЭ)
Тема: Метрические оценки собственных чисел Стеклова

Необходимые данные для подключения в Зум-конференцию разосланы участникам семинара

Аннотация:
В докладе будут разобраны результаты статьи Bruno Colbois и Alexandre Girouard "Metric upper bounds for Steklov and Laplace eigenvalues". В статье приводится и разбирается оценка собственных чисел задачи Стеклова, основанная на метрических константах.

Литература:

• Bruno Colbois, Alexandre Girouard, Metric upper bounds for Steklov and Laplace eigenvalues. arXiv:2108.03101.

6 ноября 2021 года (суббота), 11:00-12:30, онлайн (Zoom)
Докладчик: Денис Селюцкий (МГУ)
Тема: Собственные минимальные гиперповерхности со свободной границей и вращательной симметрией в пространстве Шварцшильда

Необходимые данные для подключения в Зум-конференцию разосланы участникам семинара

Аннотация:
Доклад основан на опубликованной на сайте arxiv.org в 2021 году статье E.Barbosa, D.Moya “Proper free-boundary minimal hypersurfaces with a rotational symmetry in the Schwarzchild space”. Рассматриваются вопросы существования собственных минимальных подмногообразий со свободной границей и вращательной симметрией в пространствах Шварцшильда. Показывается существование нового семейства минимальных гиперповерхностей вращения со свободной границей в пространствах Шварцшильда, при n ≥ 3.

Литература:

• Ezequiel Barbosa, David Moya, Proper free-boundary minimal hypersurfaces with a rotational symmetry in the Schwarzschild space. arXiv:2108.00693.

23 октября 2021 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Иван Салтыков (МГУ)
Тема: Об изопериметрическом неравенстве для магнитного лапласиана Робена с отрицательным параметром на границе

Аннотация:
В своем докладе я представлю результаты, изложенные в статье A. Kachmar и V. Lotoreichik, On the isoperimetric inequality for the magnetic Robin laplacian with negative boundary parameter. Точнее, мы докажем, что среди двумерных областей определенного класса диск максимизирует первое собственное число магнитного лапласиана Робена при фиксированном периметре. Отмечу, что в данном классе областей лежат центрально-симметричные области и области, которые можно сдвигом перенести внутрь диска.

9 октября 2021 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Владимир Медведев (НИУ ВШЭ)
Тема: Об индексе Морса критического листа Мёбиуса в 4-шаре II

Аннотация:
Продолжение доклада прошлой недели.

2 октября 2021 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Владимир Медведев (НИУ ВШЭ)
Тема: Об индексе Морса критического листа Мёбиуса в 4-шаре

Аннотация:
В своём докладе я докажу, что индекс Морса критического листа Мёбиуса в 4-х мерном евклидовом шаре равен 5. Результат опирается на технику четвертичных дифференциалов Хопфа и теорему сравнения между спектральным индексом и индексом энергии минимальной поверхности со свободной границей в евклидовом шаре. Последнее также помогает передоказать известный результат о том, что индекс Морса критического катеноида в 3-шаре равен 4. Эти результаты получены в моей неопубликованной статье, находящейся на стадии разработки.

11 сентября 2021 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Родион Деев
Тема: Энергия Вилмора и твисторы Лебрюна

Аннотация:
Энергией Вилмора поверхности в R^3 называется интеграл по ней квадрата её средней кривизны. Эта величина сохраняется конформными преобразованиями R^3, даже несмотря на то что сама средняя кривизна относительно конформных преобразований не инвариантна. У классиков вроде Брайанта этот феномен проверяется непосредственным вычислением, а я кажется придумал, как это можно воспринимать с точки зрения комплексной геометрии, и заодно обобщить на поверхности в произвольном трёхмерном многообразии с конформной структурой. По духу это будет продолжение доклада Вани Солоненко в прошлую среду, только проще и короче.

4 сентября 2021 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.303
Докладчик: Иван Солоненко (London School of Geometry and Number Theory, НМУ)
Тема: Конформные иммерсии римановых поверхностей в Евклидово пространство и их спинорные представления

Аннотация:
Я расскажу, как переговорить теорию минимальных (и не только) поверхностей в R^3 и их представлений Вейерштрасса на инвариантном языке, и как это позволяет эквивалентно описывать представления Вейерштрасса через спиноры на этих поверхностях. В конце я сформулирую возможные пути обобщения этой теории, например на минимальные иммерсии Кэлеровых многообразий в R^n. Доклад будет предельно элементарным, все необходимые определения я напомню.

Литература:

• Ivan Solonenko, Conformal immersions and spinor representations.

ВЕСНА 2021

29 мая 2021 года (суббота), 11:00-12:30, онлайн (Zoom)
Докладчик: Игорь Козырев (НМУ)
Тема: Стабильные геодезические шары в минимальных гиперповерхностях

Необходимые данные для подключения в Зум-конференцию разосланы участникам семинара

Аннотация:
В докладе я приведу доказательство существования стабильных геодезических шаров в минимальных гиперповерхностях с помощью оператора Якоби. Также я дам оценку сверху на радиус такого шара для минимальных поверхностей с помощью теоремы Ченга и приведу пример расчета такого радиуса для катеноида и геликоида.

22 мая 2021 года (суббота)
Семинар не состоялся.

15 мая 2021 года (суббота), 11:00-12:30, онлайн (Zoom)
Докладчик: Никита Клемятин (Сколтех, НМУ)
Тема: Стабильность римановых многообразий, допускающих параллельные спиноры-II

Необходимые данные для подключения в Зум-конференцию разосланы участникам семинара

Аннотация:
В эту субботу будет продолжение предыдущего доклада. Я расскажу про локальную стабильность метрик с параллельными спинорами и про то, почему такие метрики максимизируют инвариант Ямабе.

30 апреля 2021 года (суббота)
Семинар не состоялся.

24 апреля 2021 года (суббота), 11:00-12:30, онлайн (Zoom)
Докладчик: Никита Клемятин (Сколтех, НМУ)
Тема: Стабильность римановых многообразий, допускающих параллельные спиноры

Необходимые данные для подключения в Зум-конференцию разосланы участникам семинара

Аннотация:
Рассмотрим первое собственное число конформного лапласиана. Это число есть гладкий функционал римановой метрики, поэтому естественно начать искать метрики, экстремальные (и минимальные) для этого функционала. В общем случае задача выглядит весьма трудным образом, но можно показать, что римановы многообразия с параллельными спинорами минимизируют данный функционал. Более того, можно показать, что вблизи таким метрик (они всегда риччи-плоские) нет метрик с положительной скалярной кривизной. Я постараюсь изложить эти результаты, попутно сообщив все необходимые сведения.

10 апреля 2021 года (суббота), 11:00-12:30, онлайн (Zoom)
Докладчик: Егор Морозов (НИУ ВШЭ)
Тема: Не существует гладкой максимальной метрики для первого собственного числа на поверхности рода 2

Необходимые данные для подключения в Зум-конференцию разосланы участникам семинара

Аннотация:
Известно, что в случае сферы и тора максимальная метрика для первого нормализованного собственного числа оператора Лапласа-Бельтрами единственна и является гладкой. Оказывается, что в случае поверхности рода 2 все не так: максимальных метрик несколько, однако гладкой ни одна из них не является. В докладе я приведу несложное доказательство того, что любая максимальная метрика на поверхности рода 2 имеет конические особенности, т.е. не является гладкой. Попутно я напомню несколько фактов, полезных для работы с такими метриками.

3 апреля 2021 года (суббота), 18:30-20:00, онлайн (Zoom)
Докладчик: Михаил Карпухин (California Institute of Technology (CalTech))
Тема: Экстремальные метрики и n-гармонические отображения

Необходимые данные для подключения в Зум-конференцию разосланы участникам семинара

Аннотация:
Согласно результатам Надирашвили и Фрейзер-Шейна, экстремальные метрики для задач Лапласа и Стеклова на поверхностях описываются с помощью минимальных погружений и гармонических отображений. В настоящем докладе мы обсудим аналогичное утверждение для многообразий размерности n. В этом случае экстремальные метрики можно описать с помощью минимальных погружений и n-гармонических отображений. Этот факт был ранее известен для задачи Лапласа, но его обобщение на задачу Стеклова оказывается крайне нетривиальным и раскрывает новые неожиданные свойства этой задачи в старших размерностях. Основано на совместной работе с Антуаном Метра (Antoine Métras).

Литература:

• M. Karpukhin, A. Métras, Laplace and Steklov extremal metrics via n-harmonic maps. arXiv:2103.15204.

27 марта 2021 года (суббота)
Семинар не состоялся.

20 марта 2021 года (суббота), 11:00-12:30, онлайн (Zoom)
Докладчик: Игорь Козырев (НМУ)
Тема: Теорема Лихнеровича-Обаты

Необходимые данные для подключения в Зум-конференцию разосланы участникам семинара

Аннотация:
В докладе я приведу доказательство Теоремы Лихнеровича – Обаты, которая говорит о том, что на компактном римановом многообразии, с кривизной Риччи, не меньшей, чем метрика умноженная на константу, первое собственное число оператора Лапласа не меньше чем эта константа умноженная на частное размерности многообразия и размерности уменьшенной на единицу, при этом, если достигается равенство, то данное многообразие изометрично сфере со стандартной метрикой. Все необходимые определения будут даны.

Литература:

• M.Berger, P.Gauduchon, E.Mazet. Le spectre d'une variété riemanienne.

13 марта 2021 года (суббота), 11:00-12:30, онлайн (Zoom)
Докладчик: Владимир Медведев (РУДН, НИУ ВШЭ)
Тема: Фантазии о доказательстве гипотезы жёсткости сфер

Необходимые данные для подключения в Зум-конференцию разосланы участникам семинара

Аннотация:
«То, как звучит круглая сфера, нельзя спутать ни с чем». Это утверждение, известное как «гипотеза жёсткости сфер», было сформулировано в 1971 году Берже, Годюшоном и Мазе. Строгая формулировка такова: всякое замкнутое многообразие изоспектральное круглой n-мерной сфере изометрично ей. В этом году этой гипотезе исполняется 50 лет. Полное её решение было дано лишь для многообразий размерности не старше 6, случай старшей размерности кажется неприступным. В своём докладе я расскажу об этой гипотезе и существующих стратегиях её доказательства в младших размерностях, а также пофантазирую на тему того, как бы её можно было доказать, используя методы геометрической оптимизации собственных чисел оператора Лапласа и инвариантов Надирашвили-Фридлендера. Все необходимые определения будут даны.

Литература:

• M.Berger, P.Gauduchon, E.Mazet. Le spectre d'une variété riemanienne.
• S.Tanno. Eigenvalues of the Laplacian of Riemannian manifolds.
• A.El Soufi, S.Ilias. Immersions minimales, première valeur propre du laplacien et volume conforme.
• N.Nadirashvili, L.Friedlander. A differential invariant related to the first eigenvalue of the Laplacian.
• M.Karpukhin, V.Medvedev. The Friedlander-Nadirashvili invariant of surfaces.

6 марта 2021 года (суббота), 11:00-12:30, онлайн (Zoom)
Докладчик: Никита Клемятин (Сколтех, НМУ)
Тема: Голоморфные векторные поля на многообразиях Фано и связь со спектром оператора Лапласа

Необходимые данные для подключения в Зум-конференцию разосланы участникам семинара

Аннотация:
Я расскажу несколько базовых вещей про спектр оператора Лапласа на кэлеровых многообразиях, которые допускают кэлерову метрику с положительно определенным тензором Риччи. На таких многообразиях существует оценка снизу для первого собственного числа. В случае же, когда наше многообразие допускает метрику Кэлера-Эйнштейна и данная оценка достигается, то существует взаимно однозначное соответствие между пространством голоморфных векторных полей и собственных функций, отвечающих первому собственному числу. Доклад будет совершенно элементарным, а все необходимые определения и факты я напомню.

27 февраля 2021 года (суббота), 11:00-12:30, онлайн (Zoom)
Докладчик: Денис Винокуров (НИУ ВШЭ, НМУ)
Тема: Первое собственное число оператора Лапласа на поверхностях рода 3

Необходимые данные для подключения в Зум-конференцию разосланы участникам семинара

Аннотация:
В 80-х годах Янг и Яу получили оценку на первое собственное число лапласиана для поверхности произвольного рода, однако она является строгой далеко не для всех родов. В частности, это неверно и для поверхности рода 3. Данный доклад планируется посвятить получению более точной оценки. Также стоит упомянуть, что в асимптотическом плане ничего лучше, чем оценка Янга и Яу, пока что не придумано, но методы, изложенные в докладе , могут внести значительный вклад в продвижение в этом направлении.

Литература:

• Antonio Ros, On the first eigenvalue of the laplacian on compact surfaces of genus three. Preprint arXiv:2010.14857

ОСЕНЬ 2020

19 декабря 2020 года (суббота), 11:00-12:30, онлайн (Zoom)
Докладчик: Александр Молокоедов (НИУ ВШЭ)
Тема: Максимизация второго собственного числа оператора Лапласа на сфере

Необходимые данные для подключения в Зум-конференцию разосланы участникам семинара

Аннотация:
Надирашвили доказал, что второе ненулевое собственное число на сфере максимизируется на последовательности метрик, сходящихся к объединению двух сфер. Для сфер всех размерностей, ограничение сверху на первое собственное число было получено Петредисом (четный случай был доказан Жируаром, Надирашвили и Полтеровичем). Дрюэ показал, что неравенство не строгое на сферах больших размерностей. На этом докладе мы разберем более простое доказательство этих неравенств во всех размерностях путем адаптации конструкции тестовых функциий Фрейташа и Лаугесена.

Литература:

• Hanna N. Kim, Maximization of the second Laplacian Eigenvalue on the Sphere Preprint arXiv:2011.11494.

12 декабря 2020 года (суббота)
Семинар не состоялся.

5 декабря 2020 года (суббота), 17:30-19:00, онлайн (Zoom)
Докладчик: Егор Морозов (НИУ ВШЭ)
Тема: Точная верхняя оценка для первого собственного числа оператора Лапласа-Бельтрами на поверхности рода 2

Необходимые данные для подключения в Зум-конференцию разосланы участникам семинара

Аннотация:
Следуя работе Якобсона и др., мы покажем, что нормализованное первое собственное число оператора Лапласа-Бельтрами на поверхности рода 2 не превосходит 16pi, причём максимум достигается на некоторой метрике с особенностями на поверхности Больцы.

Литература:

• D. Jakobson, M. Levitin, N. Nadirashvili, N. Nigam, I. Polterovich, How large can the first eigenvalue be on a surface of genus two? IMRN 2005, 3967-3985. Preprint.

28 ноября 2020 года (суббота)
Семинар не состоялся.

28 ноября 2020 года (суббота)
Семинар не состоялся.

21 ноября 2020 года (суббота)
Семинар не состоялся.

14 ноября 2020 года (суббота), 11:00-12:30, онлайн (Zoom)
Докладчик: Егор Морозов (НИУ ВШЭ)
Тема: Экстремальные метрики в конформном классе

Необходимые данные для подключения в Зум-конференцию разосланы участникам семинара

Аннотация:
Доклад будет посвящён метрикам, отвечающим критическим точкам функционала k-го собственного числа оператора Лапласа-Бельтрами, ограниченного на конформный класс метрик. Планируется доказать, что метрика является критической в своём конформном классе тогда и только тогда, когда многообразие допускает гармоническое отображение в единичную сферу с плотностью энергии равной половине значения соответствующего собственного числа. Мы также обсудим несколько простых следствий из этого утверждения.

Литература:

• Ahmad El Soufi, Saïd Ilias, Laplacian eigenvalue functionals and metric deformations on compact manifolds. J. Geom. Phys. 58 (2008) 89-104.

7 ноября 2020 года (суббота), 14:00-15:30, онлайн (Zoom)
Докладчик: Денис Винокуров (НИУ ВШЭ, НМУ)
Тема: О первом собственном числе лапласиана на торе

Необходимые данные для подключения в Зум-конференцию разосланы участникам семинара

Аннотация:
Как известно, любой тор с римановой метрикой конформно эквивалентен некоторому плоскому тору. Поэтому можно поинтересоваться, а на каких торах с единичной площадью достигается максимум k-го собственного числа в соответствующем конформном классе метрик. В данном докладе будет дан частичный ответ на этот вопрос для первого собственного числа.

Литература:

• Ahmad El Soufi, Saïd Ilias, Antonio Ros, Sur la première valeur propre des tores. Séminaire de théorie spectrale et géométrie, Volume 15 (1996-1997), p. 17-23.

31 октября 2020 года (суббота)
Семинар не состоялся.

24 октября 2020 года (суббота), 18:30-20:00, онлайн (Zoom)
Докладчик: Денис Винокуров (НИУ ВШЭ, НМУ)
Тема: Собственные значения лапласиана в конформном классе метрик

Необходимые данные для подключения в Зум-конференцию разосланы участникам семинара

Аннотация:
В данном докладе планируется рассмотреть супремумы нормализованных собственных значений оператора Лапласа в конформном классе метрик, т.е. конформный спектр. Также мы найдём строгие (среди всех многообразий) нижние границы для этих супремумов и покажем, что конформный спектр образует строго возрастающую последовательность. Если наше многообразие — поверхность, имеет смысл также рассмотреть супремум по всем метрикам. Для этого спектра мы докажем монотоный рост с увеличением рода поверхности.

Литература:

• Bruno Colbois, Ahmad El Soufi, Extremal eigenvalues of the Laplacian in a conformal class of metrics : the "conformal spectrum". Annals of Global Analysis and Geometry 24-4 (2003) 337-349. Preprint arXiv:math/0409316

17 октября 2020 года (суббота)
Семинар не состоялся.

10 октября 2020 года (суббота)
Семинар не состоялся.

10 октября 2020 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.310
Докладчик: Владимир Медведев (РУДН, НИУ ВШЭ)
Тема: О теоремах жёсткости в спектральной геометрии-4 (продолжение доклада).

3 октября 2020 года (суббота)
Семинар не состоялся.

26 сентября 2020 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.310
Докладчик: Владимир Медведев (РУДН, НИУ ВШЭ)
Тема: О теоремах жёсткости в спектральной геометрии-3 (продолжение доклада).

19 сентября 2020 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.310
Докладчик: Владимир Медведев (РУДН, НИУ ВШЭ)
Тема: О теоремах жёсткости в спектральной геометрии-2 (продолжение доклада).

12 сентября 2020 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.310
Докладчик: Владимир Медведев (РУДН, НИУ ВШЭ)
Тема: О теоремах жёсткости в спектральной геометрии-1.

Аннотация:
Конформный класс канонической метрики n-мерной сферы обладает многими замечательными свойствами. В частности выполняется так называемая теорема жёсткости Петрида: k-ое конформное собственное число всякого конформного класса на произвольном n-мерном замкнутом многообразии не меньше k-ого конформного собственного числа конформного класса канонической метрики на n-мерной сфере, причём равенство возможно если и только если данное многообразие с конформным классом конформно эквивалентно сфере с конформным классом канонической метрики. В данном докладе мы докажем эту теорему и обсудим её аналог для конформного спектра Стеклова конформного класса на поверхности с краем.

Литература:

• R. Petrides. Existence and regularity of maximal metrics for the first Laplace eigenvalue on surfaces. Preprint arXiv:1310.4697.
• R. Petrides. On a rigidity result for the first conformal eigenvalue of the Laplacian. Preprint arXiv:1310.4698.
• H. Mattiesen, R. Petrides. A remark on the rigidity of the first conformal Steklov eigenvalue. Preprint arXiv:2006.04364.

Весна 2020:

23 мая 2020 года (суббота), 19:00-20:30, онлайн (Zoom)
Докладчик: Михаил Карпухин (University of California, Irvine)
Тема: Минимакс для функционала энергии: приложения к геометрической оптимизации собственных значений

Аннотация:
В последние годы теория минимакса получила значительное развитие в геометрическом анализе и позволила решить несколько известных задач в теории минимальных поверхностей, в том числе, гипотезу Уилмора и гипотезу Яу о бесконечном количестве минимальных гиперповерхностей. В то же время, как известно из работ Надирашвили и Эль Суфи-Илиаса, метрики, максимизирующие собственные значения оператора Лапласа, тесно связаны с минимальными и гармоническими отображениями в евклидовы сферы. В настоящем докладе мы применим теорию минимакса к задаче оптимизации собственных значений и обсудим множество приложений, среди которых точные оценки на собственные значения Стеклова и теорема регулярности для максимизирующих мер. Доклад основан на совместной работе с Д. Штерном (D. Stern).

Для лучшего понимания доклада рекомендуется (но не обязательно) освежить в памяти понятие конформного объема Ли-Яу или доказательство Херша максимальности круглой метрики на сфере.

Литература:

• Mikhail Karpukhin, Daniel L. Stern, Min-max harmonic maps and a new characterization of conformal eigenvalues. Preprint arXiv:2004.04086
• P. Li , S. T. Yau, A new conformal invariant and its applications to the Willmore conjecture and the first eigenvalue of compact surfaces. Invent. Math. 69, 269-291 (1982).

15 мая 2020 года (пятница), 17:30-19:00, онлайн (Zoom)
Докладчик: Артём Галкин (НИУ ВШЭ)
Тема: Унимодальность распределения собственных функций оператора Лапласа-Бельтрами и формула монотонности

Аннотация:
Гипотеза о случайных волнах утверждает, что при некоторых условиях (таких как эргодичность геодезического потока) функция распределения значений собственных функций оператора Лапласа-Бельтрами относительно меры объема в некотором смысле стремится к функции плотности гауссовского распределения. Оказывается, если рассмотреть распределение значений собственных функций относительно меры с плотностью |\nabla f|^2, то верно, что такое распределение является унимодальным с максимумом в нуле. В докладе предлагается обсудить, каким образом данное утверждение связано с нодальными областями и минимальными поверхностями с весовой функцией. Если останется время, мы также обсудим обобщения основного результата на случай оператора Лапласа-Бельтрами с весовой функцией, а также формулу монотонности для сферических гармоник.

Литература:

• Bo'az Klartag, Unimodal value distribution of Laplace eigenfunctions and a monotonicity formula

8 мая 2020 года (пятница), 17:30-19:00, онлайн (Zoom)
Докладчик: Владимир Медведев (Université de Montréal, НМУ)
Тема: Конформные спектры, пространства модулей и кобордизмы.

Видеозапись прошедшего доклада.

Аннотация:
Пусть М - компактная поверхность и с - конформный класс на ней. Если поверхность замкнута, то конформный спектр определяется как набор чисел sup_{g\in c}\lambda_k(M,g), где \lambda_k(M,g) - k-ое собственное значение оператора Лапласа метрики g единичного объёма. Аналогично, конформный спектр Стеклова компактной поверхности M с краем определяется как \sup_{g\in c}\sigma_k(M,g), где \sigma_k(M,g) - k-ое собственное число Стеклова метрики g единичной длины границы. Конформный спектр замкнутой поверхности и конформный спектр Стеклова поверхности с краем - новые инварианты конформной геометрии поверхностей. Интересно исследовать их поведение на пространстве модулей конформных классов на данной поверхности. Особенный интерес представляет собой случай, когда последовательность конформных классов выходит на границу пространства модулей. В таком случае говорят, что последовательность конформных классов вырождается. В статьях [1] и [2] были получены явные формулы для предела конформного спектра замкнутой поверхности и конформного спектра Стеклова поверхности с краем, когда последовательность конформных классов вырождается. Эти формулы находят любопытные приложения в исследованиях задач о максимальных метриках в данном конформном классе, что тесно связано с теорией гармонических отображений. Другое любопытное приложение связано с исследованием инвариантов Надирашвили-Фридляндера и его аналогов для задачи Стеклова. Они определяются как inf_{c}sup_{g\in c}\lambda_k(M,g) и \inf_{c}\sup_{g\in c}\sigma_k(M,g) соответственно (инфимум берётся по всем конформным классам c на M). Оказывается, что эти инварианты тесно связаны с теорией кобордизмов. Доклад будет иметь обзорный характер: все необходимые определения будут даны и все нужные факты из различных областей математики будут сообщены.

Литература:

• M.Karpukhin and V. Medvdedev. On the Friedlander-Nadirashvili invariants of surfaces. arXiv:1901.09443.
• V. Medvedev. Degenerating sequences of conformal classes and the conformal Steklov spectrum arXiv:2004.13776.

21 марта 2020 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Семинар не состоится, так как временно прекращает свою работу ввиду карантинных мер в здании МЦНМО.

14 марта 2020 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Никита Клемятин (НМУ, Сколтех)
Тема: Кручение Рэя-Зингера и кручение Рейдемастера

Аннотация:
Я расскажу, следуя Рэю и Зингеру, что такое аналитическое кручение, которое строится по плоскому векторному расслоению и метрике на нем. Также я докажу основные свойства этого аналитического кручения и расскажу, почему кручение Рэя-Зингера равно кручению Рейдемайстера. Если останется время, я расскажу обобщения этой конструкции (высшие кручение Бисмю и Лотта) и приложения этой науки к другим разделам математики и, может быть, теорфизики. От слушателей требуется знать базовые свойства про спектр оператора Лапласа и базовые сведения по алгебраической топологии.

7 марта 2020 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Денис Винокуров (НМУ, НИУ ВШЭ)
Тема: Площадь выпуклых дисков

Аннотация:
Испокон веков дифференциальные геометры со всего мира пытались доказать, что площадь геодезического шара, чей радиус R не превышает половины радиуса инъективности, не может быть меньше, чем 8/pi*R^2. Наконец, этот момент настал! Правда, ради счастья нам придётся уменьшить радиус шаров ещё сильнее и потребовать, чтобы он не превышал половины радиуса выпуклости. Также мы обсудим, как эта нижняя оценка на площадь даёт верхнюю оценку на первое ненулевое собственное число в задаче Неймана.

Литература:

• Gregory R. Chambers, Christopher Croke, Yevgeny Liokumovich, Haomin Wen, Area of convex disks. Preprint arXiv:1701.06594.

29 февраля 2020 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Денис Винокуров (НМУ, НИУ ВШЭ)
Тема: Площадь "маленьких" дисков (продолжение доклада)

Аннотация:
Одним из стандартных фактов римановой геометрии является то, что при выборе достаточно малой окрестности многообразия любая геодезическая из этой окрестности продолжается до её границы и минимизирует дистанцию между граничными точками. Будем называть диск "маленьким", если он обладает этим свойством. Далее можно рассмотреть пространство геодезических на таком диске вместе с естественной мерой, возникающей из кинематической плотности. Благодаря "малости" диска это пространство обладает довольно удобным описанием, что позволяет получить нижнюю оптимальную оценку на площадь такого диска, а следовательно, и верхнуюю оценку на первое ненулевое число собственное значение задачи Неймана в терминах радиуса диска.

Литература:

• C. Croke, Area of small disks, Bull. of London Math. Soc., 41(4) (2009), 701-708.

22 февраля 2020 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Семинар не состоится

15 февраля 2020 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Денис Винокуров (НМУ, НИУ ВШЭ)
Тема: Площадь "маленьких" дисков

Аннотация:
Одним из стандартных фактов римановой геометрии является то, что при выборе достаточно малой окрестности многообразия любая геодезическая из этой окрестности продолжается до её границы и минимизирует дистанцию между граничными точками. Будем называть диск "маленьким", если он обладает этим свойством. Далее можно рассмотреть пространство геодезических на таком диске вместе с естественной мерой, возникающей из кинематической плотности. Благодаря "малости" диска это пространство обладает довольно удобным описанием, что позволяет получить нижнюю оптимальную оценку на площадь такого диска, а следовательно, и верхнуюю оценку на первое ненулевое число собственное значение задачи Неймана в терминах радиуса диска.

Литература:

• C. Croke, Area of small disks, Bull. of London Math. Soc., 41(4) (2009), 701-708.

Осень 2019:

28 декабря 2019 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Равиль Габдурахманов (НМУ, НИУ ВШЭ, University of Leeds)
Тема: Разложения Ходжа-Морри и Фридрихса.

Аннотация:
Мы обсудим аналог разложения Ходжа для римановых многообразий с границей, построенный Морри (Morrey). В этом разложении одна из ортогональных компонент, гармонические поля, может быть ортогонально разложена двумя способами на пару подпространств. В одном случае конечномерная компонента этих разложений является гармоническими полями Дирихле, а в другом - гармоническими полями Неймана. Этот результат был получен Фридрихсом (Friedrichs). Далее мы получим изоморфизмы пространств гармонических полей Неймана и Дирихле с абсолютными и относительными когомологиями де Рама. После этого мы обсудим как разложение Ходжа-Морри-Фридрихса может быть использовано при решении некоторых краевых задач. Если останется время мы также обсудим аналог теорем де Рама для многообразий с границей, следуя статье Дафа (Duff).

Литература:

• G. Schwarz, "Hodge Decomposition - A Method for Solving Boundary Value Problems", Springer, 1995
• G. F. D. Duff, "Differential forms in manifolds with boundary", Annals of Mathematics, Second Series, Vol. 56, No. 1 (Jul., 1952), pp. 115-127

21 декабря 2019 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Семинар не состоится

14 декабря 2019 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Денис Винокуров (НИУ ВШЭ, НМУ)
Тема: Минимальные поверхности в трёхмерной сфере.

Аннотация:
В грядущем докладе планируется разобрать один из результатов, касающийся оценки на индекс минимальных поверхностей в сферах. А именно, если в трёхмерной сфере находится произвольная минимальная поверхность, которая не лежит ни в каком собственном подпространстве, то её индекс не может быть меньше 5, причем равенство достигается исключительно на торах Клиффорда

Литература:

• Urbano, Francisco, Minimal surfaces with low index in the three-dimensional sphere, Proc. A.M.S. Vol 4 (1990), 989-992.

7 декабря 2019 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Семинар не состоится

30 ноября 2019 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Артём Галкин (НИУ ВШЭ)
Тема: Нижние оценки объема нодальных областей

Аннотация:
Предлагается обсудить статью Колдинга, Миникоцци, в которой доказывается оценка снизу на объем нодальных областей собственных функций оператора Лапласа-Бельтрами в терминах собственных значений. Более подробно, известно, что объем нодальной области не превосходит \lambda ^ {(3-n) /4} с точностью до константы, где n - размерность риманового многообразия. Данный результат в некотором смысле дополняет известные оценки Яу, Брюнинга.

Литература:

• T. Colding, W. Minicozzi II, Lower bounds for nodal sets of eigenfunctions

25 ноября 2018 года (понедельник), 17:30-19:00, ауд.303
Докладчик: Алексей Обломков (Университет Массачусетса, Амхерст)
Тема: Особенности плоских кривых и инварианты узлов

Аннотация:
The link of a singularity at (0,0) of a plane curve {P(x,y)=0} \subset \mathbb{C}^2 is an intersection of a small three-sphere around (0,0) with the curve. These links are easy to classify and will explain the classification. In my talk I will explain how one can reconstruct knot invariants of the link of the curve singularity from the ring of functions on the curve. Talk is based on the joint results with Shende, Rasmussen and Yun.

23 ноября 2018 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Никита Клемятин (НМУ, Сколтех, ВШЭ)
Тема: Оценка старших собственных чисел оператора Лапласа на кэлеровых многообразиях

Аннотация:
Я расскажу результат Герасима Кокарева, который обобщает теорему Бургиньона, Ли и Яу, о которой шла речь в прошлом докладе. Кокарев показал, как можно оценивать все собственные числа лапласиана на кэлеровых многообразиях, если данное многообразие допускает нетривиальное отображение в проективное пространство.

16 ноября 2019 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Семинар не состоится

9 ноября 2018 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Никита Клемятин (НМУ, Сколтех, ВШЭ)
Тема: Первое собственное число проективных многообразий

Аннотация:
В своем докладе, следуя работе Бургиньона, Ли и Яу, я расскажу, как можно оценить первое собственное число для проективных многообразий , т.е. для компактных комплексных кэлеровых многообразий, допускающих вложение в проективное пространство. Данная оценка является, в некотором смысле, обобщением теоремы Херша для сферы и теоремы Янга и Яу для римановых поверхностей.

2 ноября 2019 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Семинар не состоится

26 октября 2019 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Семинар не состоится

19 октября 2019 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Артём Галкин (НИУ ВШЭ)
Тема: Минимизация собственных значений оператора Лапласа для задачи Дирихле среди областей с ограниченным диаметром

Аннотация:
Предлагается обсудить работу B. Bogosel, A. Henrot, I. Lucardesi, в которой доказывается существование решения задачи минимизации n-го собственного числа оператора Лапласа для задачи Дирихле среди всех евклидовых областей с ограниченным диаметром. Более подробно, известно, что минимум достигается на некоторой выпуклой области с постоянной шириной. Мы обсудим возникающие из геометрической теории меры пререквизиты и докажем теорему существования. Если позволит время, также предлагается обзорно обсудить плоский случай, в котором удается установить, что для некоторого набора 17-ти собственных значений диск является решением.

Литература:

• B. Bogosel, A. Henrot, I. Lucardesi, Minimization of the eigenvalues of the Dirichlet-Laplacian with a diameter constraint

12 октября 2019 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Денис Винокуров (НИУ ВШЭ, НМУ)
Тема: Основное эллиптическое уравнение минимального многообразия. Индекс минимальных торов в четырёхмерной сфере (продолжение доклада).

Аннотация:
Минимальность подмногообразия накладывает условия на его вторую фундаментальную форму, а именно она удовлетворяет двум системам дифференциальных уравнений первого и второго порядков. Если объёмлющее пространство имеет специальный вид, например является сферой, это позволяет делать некоторые выводы о геометрии погружённого подмногообразия. В оставшуюся часть времени планируется обсудить оценки на индекс минимальных торов в сферах.

Литература:

• Джеймс Саймонс, "Минимальные поверхности в римановых многообразиях", Математика, 16:6 (1972), 60-104; Ann. of Math., 88 (1968), 62-105.
• Rob Kusner, Peng Wang, On the index of minimal 2-tori in the 4-sphere, Preprint arXiv:1803.01615.

5 октября 2019 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Семинар не состоится

28 сентября 2019 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Денис Винокуров (НИУ ВШЭ, НМУ)
Тема: Основное эллиптическое уравнение минимального многообразия. Индекс минимальных торов в четырёхмерной сфере.

Аннотация:
Минимальность подмногообразия накладывает условия на его вторую фундаментальную форму, а именно она удовлетворяет двум системам дифференциальных уравнений первого и второго порядков. Если объёмлющее пространство имеет специальный вид, например является сферой, это позволяет делать некоторые выводы о геометрии погружённого подмногообразия. В оставшуюся часть времени планируется обсудить оценки на индекс минимальных торов в сферах.

Литература:

• Джеймс Саймонс, "Минимальные поверхности в римановых многообразиях", Математика, 16:6 (1972), 60-104; Ann. of Math., 88 (1968), 62-105.
• Rob Kusner, Peng Wang, On the index of minimal 2-tori in the 4-sphere, Preprint arXiv:1803.01615.

21 сентября 2019 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Денис Винокуров (НИУ ВШЭ, НМУ)
Тема: Минимальные поверхности в римановых многообразиях.

Аннотация:
Будет изложена ставшая уже классической работа Джеймса Саймонса о минимальных поверхностях в римановых многообразиях.

Литература:

• Джеймс Саймонс, "Минимальные поверхности в римановых многообразиях", Математика, 16:6 (1972), 60-104; Ann. of Math., 88 (1968), 62-105.

14 сентября 2019 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Родион Деев (New York University)
Тема: Теорема Шейна-Яу.

Аннотация:
Теорема Гаусса-Бонне даёт условие на топологию поверхностей, допускающих метрику с гауссовой кривизной того или иного знака. Для многообразий большей размерности кривизна уже даётся не числом, а 'маленьким чудовищем полилинейной алгебры' -- римановым тензором кривизны, о знаке которого говорить затруднительно. Тем не менее, имеет смысл говорить о положительности или отрицательности тех или иных его компонент -- секционной кривизны, скалярной кривизны, кривизны Риччи. Я собираюсь набросать доказательство теоремы Шейна-Яу, утверждающей, что многомерные торы и их разветвлённые накрытия не допускают метрик положительной скалярной кривизны. Оно опирается на красивые формулы, полезные при изучении минимальных поверхностей. Этому будет посвящена вторая часть доклада, а в первой я напомню, как понимать компоненты кривизны в геометрических терминах, и какие классические ограничения на топологию даёт их положительный или отрицательный знак.

7 сентября 2019 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Михаил Карпухин (University of California, Irvine)
Тема: Геометрическая оптимизация собственных значений оператора Лапласа-Бельтрами и индекс минимальных поверхностей.

Аннотация:
Оператор Лапласа-Бельтрами - канонический эллиптический оператор второго порядка, определенный на любом римановом многообразии. Задача нахождения оптимальных оценок для его собственных значений является классической задачей спектральной геометрии, восходящей к Хершу, Ли и Яу. Оказывается, что эта задача тесно связана с минимальными поверхностями в сферах. В настоящем докладе мы обсудим взаимосвязь собственных значений оператора Лапласа-Бельтрами с фундаментальным инвариантом минимальной поверхности, его индексом нестабильности как критической точки функционала площади. Будут описаны приложения, среди которых полученные докладчиком оценки на индекс минимальных сфер, а также решение задачи геометрической оптимизации для всех собственных значений на проективной плоскости.

Литература:

• Mikhail Karpukhin, Index of minimal spheres and isoperimetric eigenvalue inequalities. Preprint arXiv:1905.03174.

Весна 2019:

8 июня 2019 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Владимир Медведев (НМУ, Université de Montréal)
Тема: Об инвариантах Надирашвили-Фридляндера поверхностей-II.

Аннотация:
Мы продолжим обсуждение инвариантов Надирашвили-Фридлендера поверхностей, в частности, мы обсудим поведение конформного спектра на пространстве модулей конформных структур поверхности. Для этих целей мы изучим основные факты из теории пространств модулей конформных структур, такие как компактификация Делиня-Мамфорда и лемма Маргулиса.

Литература:

• Mikhail Karpukhin, Vladimir Medvedev On the Friedlander-Nadirashvili invariants of surfaces. Preprint arXiv:1901.09443.

25 мая 2019 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Владимир Медведев (НМУ, Université de Montréal)
Тема: Об инвариантах Надирашвили-Фридляндера поверхностей.

Аннотация:
Пусть M - замкнутое гладкое многообразие. В 1999г Л.Фридляндер и Н.Надирашвили ввели новый дифференциальный инвариант I_1(M) используя первое нормализованное собственное значение оператора Лапласа-Бельтрами Δ_g римановой метрики g, беря супремум этого выражения в каждом конформном классе и затем беря инфимум по всем конформным классам. Аналогичным образом можно определить k-ый инвариант Надирашвили-Фридляндера используя k-ое собственное число оператора Δ_g. Совсем недавно в совместной статье М.Карпухина с докладчиком было показано, что для всякой ориентируемой поверхности, а также для неориентируемой поверхности M чётного рода I_k(M)=I_k(S^2). Этот результат обобщает результат Петридеса, рассмотревшего случай ориентируемых поверхностей и k=1. Ранее Надирашвили и Фридляндер предположили, что I_1(M)=I_1(S^2) для любой поверхности М, отличной от RP^2. Однако Карпухиным и докладчиком было показано, что I_k(M)>I_k(S^2) для всякой неориентируемой поверхности М нечётного рода. В своём докладе я попытаюсь объяснить основные шаги в доказательстве этой теоремы, а также дать возможное объяснение феномена различия инвариантов Надирашвили-Фридляндера между ориентируемыми и неориентируемы поверхностями, которое, по нашему предположению, находится в тесной связи с теорией кобордизмов.

Литература:

• Mikhail Karpukhin, Vladimir Medvedev On the Friedlander-Nadirashvili invariants of surfaces. Preprint arXiv:1901.09443.

18 мая 2019 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Денис Винокуров (НМУ, НИУ ВШЭ)
Тема: Оценки оптимальных собственных чисел для задачи Робена на римановых многообразиях.

Аннотация:
Мы будем рассматривать первое собственное число задачи Робена с постоянным параметром для оператора Лапласа на многообразиях с гладкой границей. В случае положительного параметра будет получена точная нижняя оценка в терминах одномерной задачи, параметры которой будут определяться геометрией исходного многообразия, а именно: нижними оценками на кривизну Риччи самого многообразия и среднюю кривизну его границы, а также значением инрадиуса. В случаем отрицательного параметра полученная нижняя оценка станет верхней. Также планируется доказать монотонность первого собственного значения задачи Робена для класса так называемых революционных многообразий, который включает в себя, например, все многообразия постоянной секционной кривизны. Если останется время - обсудим асимптотику первого собственного значения для гиперболических шаров достаточно большого радиуса и, как следствие монотонности, неравенство типа МакКина для ограниченных областей в гиперболическом пространстве.

Литература:

• Alessandro Savo, Optimal eigenvalue estimates for the Robin Laplacian on Riemannian manifolds.

27 апреля 2019 года (суббота), 10:00-11:30, ауд.304
Докладчик: Равиль Габдурахманов (НМУ, НИУ ВШЭ, University of Leeds)
Тема: Определение анизотропной вещественно-аналитической проводимости по измерениям на границе.

Аннотация:
Доклад основан на одноименнной статье Ли и Ульмана 1989 года. Я начну с обзора основных результатов статьи. Расскажу про то, как анизотропная задача Кальдерона (задача определения проводимости по измерению тока на границе) эквивалентна задаче определения метрики на римановом многообразии по оператору Дирихле-Неймана на границе (в размерности 3 и выше). Объясню, почему это не работает в случае многообразий размерности 2. Далее я постараюсь дать более-менее подробное доказательство основной теоремы о восстановлении вещественно-аналитической метрики на многообразии размерности 3 и выше. Это доказательство делится на две части. В первой, при помощи специального разложения оператора Лапласа в произведение псевдодифференциальных операторов порядка 1, находится полный символ оператора Дирихле-Неймана. Это позволяет восстановить метрику и все её нормальные производные в каждой точке границы. Во второй части показывается, что для любых двух вещественно-аналитических метрик на многообразии, дающих один и тот же оператор Дирихле-Неймана, существует изометрический диффеоморфизм многообразия, тождественный на границе. В конце я приведу примеры, показывающие необходимость некоторых топологических ограничений на многообразие.

Литература:

• Lee J., Uhlmann G., Determining anisotropic real-analytic conductivities by boundary measurements, Comm. Pure Appl. Math. 42 (1989) 1097-1112..

20 апреля 2019 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Артём Галкин (НИУ ВШЭ)
Тема: Неравенство Фабера-Крана и вариационные задачи с свободной границей-II (семинар был отменён)

Аннотация:
(Продолжение доклада) Предлагается обсудить доказательство неравенства Фабера-Крана для задачи Дирихле, сводя задачу минимизации первого собственного значения оператора Лапласа среди всех ограниченных областей фиксированного объема к некоторой вариационной задаче с свободной границей. Данный аргумент не опирается на технику, используемую в классическом доказательстве неравенства Фабера-Крана (сферические перекладывания и т.д.), и может быть обобщен для доказательства обобщенных изопериметрических неравенств Фабера-Крана/Сен-Венана для задачи Робена. По работе Букура и Фрейташа.

13 апреля 2019 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Артём Галкин (НИУ ВШЭ)
Тема: Неравенство Фабера-Крана и вариационные задачи с свободной границей-I

Аннотация:
Предлагается обсудить доказательство неравенства Фабера-Крана для задачи Дирихле, сводя задачу минимизации первого собственного значения оператора Лапласа среди всех ограниченных областей фиксированного объема к некоторой вариационной задаче с свободной границей. Данный аргумент не опирается на технику, используемую в классическом доказательстве неравенства Фабера-Крана (сферические перекладывания и т.д.), и может быть обобщен для доказательства обобщенных изопериметрических неравенств Фабера-Крана/Сен-Венана для задачи Робена. По работе Букура и Фрейташа.

6 апреля 2019 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Иван Солоненко (НИУ ВШЭ)
Тема: О неравенстве Янга-Яу на первое собственное число-II

Аннотация:
В прошлый раз мы кратко обсудили базовую теорию дивизоров на римановых поверхностях, определили оператор Шрёдингера и индекс голоморфного отображения римановой поверхности в сферу, сформулировали ключевую теорему про индекс и вывели из неё главный результат: неравенство Янга-Яу строго в родах выше 2. В этот раз мы обсудим доказательство ключевой теоремы. Для этого мы определим так называемые "многозначные разветвлённые минимальные погружения" римановых поверхностей в R^3, что даст нам альтернативное описание индекса. Затем мы сведём нашу теорему к утверждению про специальные дивизоры и докажем его с помощью теории Брилля-Нётера. Никаких дополнительных знаний не потребуется. Основные положения теории Брилля-Нётер я напомню.

Литература:

• Mikhail Karpukhin, On the Yang-Yau inequality for the first Laplace eigenvalue. Preprint arXiv:1902.03473.

23 марта 2019 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Иван Солоненко (НИУ ВШЭ)
Тема: О неравенстве Янга-Яу на первое собственное число

Аннотация:
В 1980 году P. C. Yang и S. T. Yau доказали неравенство, ограничивающее первое собственное число оператора Лапласа-Бельтрами на замкнутой римановой поверхности в терминах рода и площади этой поверхности. Известно, что для родов 0 и 2 имеет место равенство, а для рода 1 неравенство строгое. В своей недавней статье М. Карпухин доказал, что для всех родов выше 2 неравенство тоже строгое. Докательство опирается на методы алгебраической геометрии (геометрия специальных дивизоров на римановых поверхностях) и теории минимальных поверхностей (оценки на индексы разветвлённых минимальных погружений). На этом докладе мы постараемся разобрать данное доказательство. Базовые вещи из теории дивизоров и линейных систем я напомню.

Литература:

• Mikhail Karpukhin, On the Yang-Yau inequality for the first Laplace eigenvalue. Preprint arXiv:1902.03473.

16 марта 2019 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Арсений Райко (мехмат МГУ)
Тема: Обзор результатов по оценкам собственных значений для сферических областей

Аннотация:
Я перечислю результаты, известные об оценках собственных значений задачи Неймана и Дирихле на сферических областях со ссылками на авторов. Углубляться в детали доказательств не планируется. Список используемой литературы прилагается.

Литература:

• D. Daners, A Faber-Krahn inequality for Robin problems in any space dimension. Mathematische Annalen. 335. 767-785. 10.1007/s00208-006-0753-8.
• D. Bucur; A. Giacomini, A Variational Approach to the Isoperimetric Inequality for the Robin Eigenvalue Problem
• Mark S. Ashbaugh; Howard A. Levine, Inequalities for Dirichlet and Neumann eingenvalues of the laplacian for domains on spheres.
• Mark S. Ashbaugh; Rafael D. Benguria, A Sharp Bound for the Ratio of the First Two Dirichlet Eigenvalues of a Domain in a Hemisphere of S^n
• Yi-Jung Hsu; Tai-Ho Wang, Inequalities between Dirichlet and Neumann eigenvalues for domains in spheres.
• A. Girouard; N. Nadirashvili; I. Polterovich, Maximization of the second positive Neumann eigenvalue for planar domains.
• Mark S. Ashbaugh; Rafael D. Benguria, A Sharp Bound for the Ratio of the First Two Dirichlet Eigenvalues of a Domain in a Hemisphere of Sn.

2 марта 2019 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Артём Галкин (ВШЭ)
Тема: Изопериметрические/изодиаметрические оценки на k-ое собственное число задачи Робена с отрицательным спектральным параметром

Аннотация:
Предлагается обсудить недавний препринт Dorin Bucur, Simone Cito, в котором доказывается существование решения задачи максимизации k-го собственного числа задачи Робена с отрицательным спектральным параметром в классе всех ограниченных измеримых областей конечного периметра. В частности, отдельный интерес представляют собой изопериметрические и изодиаметрические оценки, включающие в себя неравенства в терминах объема/периметра и диаметра области соответственно. Мы обсудим возникающие из геометрической теории меры пререквизиты и докажем теорему существования.

Литература:

• D. Bucur, S. Cito, Geometric control of the Robin Laplacian eigenvalues: the case of negative boundary parameter

16 февраля 2019 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Арсений Райко (мехмат МГУ)
Тема: Точная оценка для первого ненулевого собственного числа на звездной области на сфере для задачи Стеклова

Аннотация:
Я расскажу про результат Шилы Вермы, который обобщает оценку Кутлера и Сигилито для собственных значений задачи Стеклова на плоских звездных областях. Результат заключается в сравнении собственного значения задачи Стеклова на сферической области и на геодезическом шаре определенного радиуса. Неравенство будет строгим для всех областей, отличных от геодезических шаров на сфере.

Литература:

• Sheela Verma, Bounds for the first non-zero Steklov eigenvalue.

Осень 2018:

26 декабря 2018 года (среда), 17:30-19:00, ауд.303
Докладчик: Иосиф Полтерович (Université de Montréal)
Тема: Спектральные асимптотики для задачи Стеклова на криволинейных многоугольниках / Spectral asymptotics for the Steklov problem on curvilinear polygons

Аннотация:
Асимптотическое поведение собственных значений и собственных функций задачи Стеклова на областях с негладкой границей значительно сложнее и интереснее, чем в случае гладких областей. В докладе будет объяснено, как вычислять точные спектральные асимптотики дла задачи Стеклова на криволинейных многоугольниках. В числе прочего, оказывается, что арифметические свойства углов неожиданным образом влияют на поведение собственных значений и собственных функций. Доклад основан на текущей совместной работе М. Левитиным, Л. Парновским и Д. Шером.

Abstract:
The asymptotic behavior of the Steklov eigenvalues and eigenfunctions on non-smooth domains is significantly more complex and more intriguing than on domains with smooth boundaries. In the talk we will explain how to compute precise spectral asymptotics for the Steklov problem on curvilinear polygons. In particular, it turns out that the behavior of the Steklov eigenvalues and eigenfunctions depends in a surprising way on the arithmetic properties of the angles at the corner points. The talk is based on a joint work in progress with M. Levitin, L. Parnovski and D. Sher.

15 декабря 2018 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Арсений Райко (мехмат МГУ)
Тема: Оценка для второго собственного числа Робена с отрицательным параметром. Связь с собственными числами Неймана и Стеклова.

Аннотация:
Мы обсудим работу Лагесена и Фрейташа в которой доказывается, что шар является единственным максимизатором для второго собственного числа Робена с отрицательным параметром на отрезке [-(n+1)/(nR); 0] среди областей с фиксированным объемом. Из этой оценки, в частности, будут следовать классические результаты Сёго и Вайнбергера о максимизации первого ненулевого собственного числа Неймана и первого собственного числа Стеклова среди областей с фиксированным объемом.

Литература:

• Pedro Freitas, Richard Laugesen, From Neumann to Steklov and beyond, via Robin: the Weinberger way

8 декабря 2018 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Артём Галкин (ВШЭ)
Тема: Оценки для первого собственного числа оператора Робена-Лапласа с отрицательным параметром

Аннотация:
Предлагается обсудить оценки для первого собственного числа оператора Лапласа для задачи Робена, полученные в недавнем препринте D. Bucur, V. Ferone, C. Nitsch, C. Trombetti. А именно, среди всех выпуклых областей с фиксированным периметром, шар максимизирует первое собственное значение оператора Лапласа-Робена. Ключевое наблюдение основано на построении пробной функции путем "трансплантации" первой собственной функции для задачи Робена на шаре на линии уровня функции расстояния до границы области. Если позволит время, мы посмотрим, каким образом можно расширить имеющиеся оценки на более широкий класс областей и обсудим формулировки некоторых открытых вопросов.

Литература:

• D. Bucur, V. Ferone, C. Nitsch, C. Trombetti, A Sharp Estimate for the first Robin-Laplace eigenvalue with negative boundary parameter.
• P. R. S. Antunes, P. Freitas, D. Krejcirik, Bounds and extremal domains for Robin eigenvalues with negative boundary parameter

1 декабря 2018 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Артём Галкин (ВШЭ)
Тема: Ядро теплопроводности, интегральный принцип максимума и оценки Ченга-Яу-Григоряна на k-ое собственное число оператора Лапласа-Бельтрами

Аннотация:
Ядро теплопроводности естественным образом возникает в качестве фундаментального решения задачи Коши для уравнения теплопроводности в плоском случае. Также известно, что прямое уравнение Колмогорова для броуновского движения удовлетворяет уравнению теплопроводности. Подобного рода связь открывает простор для различного рода обобщений: например, используя оператор Лапласа-Бельтрами в качестве генератора полугруппы теплопроводности, можно переносить диффузионные процессы на произвольные римановы многообразия. С геометрической точки зрения, ядро теплопроводности на римановом многообразии, будучи построенным в качестве некоторого объекта по спектру оператора Лапласа-Бельтрами, сохраняет в себе достаточно тонкую информацию о внутренней геометрии многообразия. В докладе мы обсудим метод построения ядра теплопроводности на произвольном компактном римановом многообразии, интегральный принцип максимума, неравенство Дэвиса и получим оценки Ченга-Яу-Григоряна на k-ое собственное число оператора Лапласа-Бельтрами.

Литература:

• Alexander Grigor'yan, "Estimates of heat kernels on Riemannian manifolds"

24 ноября 2018 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Иван Салтыков (МГУ)
Тема: О разветвленных минимальных погружениях поверхностей в сферы-III

Аннотация:
На этом докладе мы применим доказанную на предыдущих семинарах теорему о разветвленных изометрических минимальных погружениях поверхностей в сферы к случаю двумерного тора и бутылки Клейна. Будет показано, что максимум нормированного первого ненулевого собственного числа оператора Лапласа-Бельтрами достигается на гладкой римановой метрике для обеих поверхностей, а также рассмотрим эти максимальные метрики.

Литература:

• Donato Cianci, Mikhail Karpukhin, Vladimir Medvedev, On branched minimal immersions of surfaces by first eigenfunctions, arXiv:1711.05916

17 ноября 2018 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Иван Солоненко (НИУ ВШЭ).
Тема: Минимальные диски со свободной границей в шарах постоянной кривизны-II

Аннотация:
В прошлый раз мы, следуя статье R. Schoen и A. Fraser, доказали, что минимальный диск со свободной границей в евклидовом шаре является вполне геодезическим, а следовательно, это обычный экваториальный диск. Более того, мы начали разбирать более общую ситуацию: как выглядят диски со свободной границей и параллельной средней кривизной в шарах постоянной кривизны (и разобрались с самой мучительной частью доказательства). В этот раз мы завершим этот разбор и покажем, что такой диск пусть и не обязательно вполне геодезичен, но вполне омбиличен и содержится в некотором трёхмерном вполне геодезическом подмногообразии. Как следствие, мы получим простые достаточные условия на вполне геодезичность минимальной 2-сферы в n-сфере.

Литература:

• Ailana Fraser, Richard Schoen, Uniqueness theorems for free boundary minimal disks in space forms, arXiv:1409.1632

10 ноября 2018 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Иван Салтыков (МГУ)
Тема: О разветвленных минимальных погружениях поверхностей в сферы-II

Аннотация:
Мы продолжим доказательство утверждения, обобщающего теорему Montiel'a и Ros'а (которая гласит, что для любой конформной структуры на компактной поверхности существует не более одной метрики, допускающей изометрическое погружение в некоторую единичную сферу первыми собственными функциями оператора Лапласа) на случай метрик с коническими особенностями, индуцированных разветвленными минимальными погружениями. Если останется время, будет рассмотрено применение обобщенной теоремы к случаям двумерного тора и бутылки Клейна.

Литература:

• Donato Cianci, Mikhail Karpukhin, Vladimir Medvedev, On branched minimal immersions of surfaces by first eigenfunctions, arXiv:1711.05916

3 ноября 2018 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Иван Солоненко (НИУ ВШЭ).
Тема: Минимальные диски со свободной границей в шарах постоянной кривизны

Аннотация:
Мы разберём статью Schoen и Fraser о минимальных дисках со свободной границей в шарах постоянной кривизны. В первую очередь, мы покажем, что такие диски с неизбежностью являются вполне геодезическими - это обобщение результата Nitsche (в нём это утверждение доказывается для трёхмерного евклидового шара). На самом деле, мы докажем более общий результат: если ослабить условие минимальности до параллельности средней кривизны, то диск будет вполне омбилическим и будет содержаться во вполне геодезическом трёхмерном подмногообразии. Как следствие, мы получим простые достаточные условия на вполне геодезичность минимальных 2-сфер в n-сфере.

Литература:

• Ailana Fraser, Richard Schoen, Uniqueness theorems for free boundary minimal disks in space forms, arXiv:1409.1632

27 октября 2018 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Иван Салтыков (МГУ)
Тема: О разветвленных минимальных погружениях поверхностей в сферы

Аннотация:
В докладе мы обсудим обобщение теоремы Montiel'a и Ros'а (которая гласит, что для любой конформной структуры на компактной поверхности существует не более одной метрики, допускающей изометрическое погружение в некоторую единичную сферу первыми собственными функциями оператора Лапласа) на случай метрик с коническими особенностями, индуцированных разветвленными минимальными погружениями. Если останется время, будет рассмотрено применение обобщенной теоремы к случаям двумерного тора и бутылки Клейна.

Литература:

• Donato Cianci, Mikhail Karpukhin, Vladimir Medvedev, On branched minimal immersions of surfaces by first eigenfunctions, arXiv:1711.05916

6 октября 2018 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: А.В.Пенской (МГУ, НИУ ВШЭ, НМУ, Центр Понселе).
Тема: минимальные поверхности со свободной границей и переопределенные граничные проблемы

Аннотация:
в докладе мы обсудим, что диффеоморфная кольцу минимальная поверхность со свободной границей в трехмерном шаре является катеноидом. Заодно мы обсудим связть между минимальными поверхностями со свободной границей и конусами со свободной границей, возникающими в однофазной проблеме. Основано на совместной работе с Н.Надирашвили.

29 сентября 2018 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Иван Солоненко (НИУ ВШЭ).
Тема: Геометрия тотального пространства к касательному расслоению II

Аннотация:
На прошлом докладе были описаны геометрические структуры, возникающие на тотальном пространстве касательного расслоения к риманову многообразию (M, g), и было сформулировано, как они друг с другом связаны. В этот раз я собираюсь доказать большую часть сформулированных фактов (разумеется, напомнив их перед этим), явно описать локальные инварианты метрики Сасаки в терминах метрики базы, а также обсудить связь между спектрами операторов Лапласса на М и ТМ. Я в двух словах напомню определения прошлого доклада, поэтому для понимания будет достаточно знать, что такое горизонтальное распределение связности и геодезическое векторное поле.

22 сентября 2018 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Иван Солоненко (НИУ ВШЭ).
Тема: Геометрия тотального пространства касательного расслоения к риманову многообразию

Аннотация:
Пусть (M, g) -- риманово многообразие. Риманова метрика g даёт сразу несколько геометрических структур на тотальном пространстве TM касательного расслоения к M. Во-первых, это метрика Сасаки -- риманова метрика на TM как на многообразии. Во-вторых, это геодезическое векторное поле и его поток \theta (локальный, вообще говоря; он называется геодезическим потоком). Помимо этого, музыкальный диффеоморфизм TM \to T*M позволяет взять обратный образ у канонических 1-формы и симплектической формы на T*M (тем самым, TM наделяется симплектической структурой). Наконец, не так сложно показать, что обратный образ указанной 1-формы даёт контактную структуру на единичном касательном расслоении SM. Поскольку все эти структуры построены с помощью одной и той же римановой метрики g, можно предположить, что они довольно тесно связаны. О том, как они связаны, и будет доклад. Например, мы покажем, что геодезическое векторное поле гамильтоново относительно указанной симплектической структуры, а его гамильтониан -- просто функция на TM, выдающая половину квадрата длины вектора. Также среди прочего мы покажем, что риманова и симплектическая структуры на TM согласованы, поэтому оно является почти кэлеровым. Не забудем мы обсудить и необходимые/достаточные условия интегрируемости соответствующей почти комплексной структуры (то есть когда TM кэлерово). Для понимания доклада желательно знание основ римановой и симплектической геометрии. Все необходимые определения (метрика Сасаки, каноническая симплектическая форма на кокасательном расслоении) я напомню. Если останется время, мы определим меру Лиувилля \mu на TM и SM, докажем её инвариантность относительно геодезического потока и обсудим условия эргодичности динамической системы (SM, \theta, \mu)

8 сентября 2018 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Александр Петрович Веселов (МГУ и Loughborough University)
Тема: Теория Эрхарта: обзор и примеры

Аннотация:
Рассмотрим многогранник с вершинами в целочисленной решетке и посчитаем число точек решетки внутри его. Само по себе это число мало что говорит о многограннике, даже о его объеме. В начале 1960-х годов французский математик Эрхарт предложил считать точки во всех многогранниках, получающихся растяжением исходного в целое число k раз. Результат оказался многочленом от k (называемом теперь многочленом Эрхарта), обладающим целым рядом замечательных свойств.

Я расскажу об основных результатах теории Эрхарта (вместе с набросками доказательств) и продемонстрирую их на примерах.

Литература:

• M. Beck, S. Robins, Computing the Continuous Discretely, Springer, 2007.

28 августа 2018 года (вторник), 13:00-14:30, ауд.304
Докладчик: Владимир Медведев (НМУ, Université de Montréal)
Тема: Об инварианте Надирашвили-Фридляндера поверхностей

Аннотация:
Пусть (M,g) компактное n-мерное Риманово многообразие без края. k-ый инвариант Надирашвили-Фридляндера I_k(M) является родным братом инварианта \Lambda_k(M) и определяется как ИНФИМУМ по всем конформным классам супремума в данном конформном классе от \lambda_k(g)Vol^{n/2}(M,g), где \lambda_k(g) - k-ое собственное значение оператора Лапласа-Бельтрами метрики g и Vol(M,g) - объём метрики g на M. Метрики, на которых значение инвариантов Надирашвили-Фридляндера достигаются, таким образом, являются экстремальными. В докладе мы рассмотрим как устроен первый инвариант Надирашвили-Фридляндера I_1 на замкнутых поверхностях. Оказывается, что значение I_1 зависит от ориентируемости поверхности и её рода. Так, если поверхность \Sigma ореинтируема или не ориентируема, но нечётного рода, то I_1(\Sigma)=8\pi, причём значение инварианта не достигается никогда, за ислючением канонической метрики на двумерной сфере. Если же поверхность \Sigma не ориентируема четного рода, то 8\pi<I_1(\Sigma) \leq 12\pi. Доклад основан на совместной статье (готовится к печати) с М. Карпухиным.

Весна 2018:

23 июня 2018 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Георгий Шуклин (НМУ)
Тема: Суперминимальные погружения римановых поверхностей в четырехмерную сферу

Аннотация:
Пусть f - минимальное погружение поверхности рода g в четырехмерную сферу. Если потребовать от f некоторого дополнительного условия (суперминимальности) минимальное погружение можно поднять до голоморфного вложениям в тотальное пространство твистерного расслоения. Суперминимальным поверхностям в точности будут соответствовать интегральные (комплексные) кривые горизонтального распределения на CP^3. Я расскажу работу Лоо, где строится контактное отображение из раздутия CP^3 в PT((CP^1)x(CP^1)), позволяющее описывать минимальные погружения ("общего положения") как пару рациональных функций одинаковой степени. В случае g=0 условие суперминимальности выполнено для любого минимального погружения и данная техника позволяет доказать, что неприводимые компоненты пространства гармонических отображений имеют комплексную размерности 2d+4, где d соответствующая степень.

13 июня 2018 года (среда), 17:30-19:00, ауд.303
Докладчик: Алексей Рухович (МГУ)
Тема: О кратчайших геодезических на плоских поверхностях с коническими особенностями-II

Аннотация:
На сфере с плоской метрикой с коническими особенностями можно рассмотреть кратчайшую геодезическую между двумя особыми точками. Длину этой геодезической рассмотрим как функцию на пространстве модулей плоских метрик с коническими особенностями. При заданном наборе дефектов углов в конических особенностях это пространство модулей, согласно результату W.P. Thurston'a, обладает естественной комплексной гиперболической метрикой. Форма объема этой метрики превращает пространство модулей в пространство с мерой. Доклад будет посвящен распределению введенной выше функции длины кратчайшей геодезической относительно этой меры на пространстве модулей. Я сформулирую основной результат --- рекуррентное соотношение на это распределение --- и расскажу идею его доказательства. Доклад основан на совместной работе с В. Черепановым и Н. Клемятиным.

9 июня 2018 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Алексей Рухович (МГУ)
Тема: О кратчайших геодезических на плоских поверхностях с коническими особенностями-I

Аннотация:
На сфере с плоской метрикой с коническими особенностями можно рассмотреть кратчайшую геодезическую между двумя особыми точками. Длину этой геодезической рассмотрим как функцию на пространстве модулей плоских метрик с коническими особенностями. При заданном наборе дефектов углов в конических особенностях это пространство модулей, согласно результату W.P. Thurston'a, обладает естественной комплексной гиперболической метрикой. Форма объема этой метрики превращает пространство модулей в пространство с мерой. Доклад будет посвящен распределению введенной выше функции длины кратчайшей геодезической относительно этой меры на пространстве модулей. Я сформулирую основной результат --- рекуррентное соотношение на это распределение --- и расскажу идею его доказательства. Доклад основан на совместной работе с В. Черепановым и Н. Клемятиным.

2 июня 2018 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Никита Клемятин (МГУ, ВШЭ)
Тема: Кручение Рейдемейстера и аналитическое кручение

Аннотация:
В 1935 году Рейдемейстер ввел новый топологический инвариант, который был назван им кручением и который позволил расклассифицировать трехмерные (а затем и произвольные) линзовые пространства. В частности этот инвариант позволил различать гомотопически эквивалентные, но не гомеоморфные линзовые пространства. В начале 70-х Рей и Зингер ввели новый инвариант римановых многообразий -- аналитическое кручение (называемое также кручением Рея-Зингера), которое строится по спектру оператора Лапласа с коэффициентами в плоском расслоении. Рей и Зингер показали, что этот инвариант не зависит от метрики и предположили, что для римановых многообразий эти инварианты совпадают. Эта гипотеза была доказана через несколько лет Мюллером (который опирался на более ранние работы Патоди) и Чигером. Я расскажу, как определяются оба этих инварианта, а также расскажу основные этапы доказательств инвариантности аналитического кручения и теоремы Чигера-Мюллера. Если останется время, то я кратко расскажу про линзовые пространства или про то, какие обобщения существуют у понятия аналитического кручения..

19 мая 2018 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Родион Деев (NYU)
Тема: Изопериметрическое неравенство в пространствах Карно

Аннотация:
На многообразиях имеется класс метрик, называемых субримановыми. Они во всём подобны римановым, кроме того, что их метрический тензор обращается в бесконечность вне некоторого поля плоскостей. Они существенно отличаются от римановых, в частности, если субриманово многообразие билипшицево эквивалентно риманову, если только оно само риманово. Тем не менее, они бигёльдерово эквивалентны римановым, и некоторые факты классической геометрии имеют субримановы аналоги. Следуя обзору Пансю, я попытаюсь рассказать про изопериметрическое неравенство и неравенство Соболева в группах Карно -- субримановых аналогах евклидовых пространств.

12 мая 2018 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Артём Галкин (ВШЭ)
Тема: Неравенство Бляшке-Сантало и гипотеза Малера для первого собственного числа-II

Аннотация:
Продолжение доклада. Объем Малера симметричного выпуклого тела - безразмерная величина, инвариантная относительно линейных преобразований и определяемая как произведение объемов исходного тела и объема его поляры. Классическое неравенство Бляшке-Сантало дает точную оценку сверху - объем Малера симметричного выпуклого тела не превосходит объема Малера евклидового шара единичного радиуса. Напротив, точная оценка снизу доказана лишь в очень ограниченном числе случаев для определенного класса выпуклых тел. Некоторой вариацией данного сюжета является задача о минимизации функционала \lambda_{1}(K)\lambda_{1}(\circ{K}) для первого собственного значения оператора Лапласа для задачи Дирихле. Используя классическое неравенство Бляшке-Сантало, можно доказать, что минимум данного функционала достигается на евклидовом шаре. Я планирую рассказать доказательство неравенства Бляшке-Сантало для первого собственного значения и осветить доказательство обратного неравенства Фабера-Крана для константы Чигера.

Литература:

• D. Bucur, I. Fragala, Blaschke-Santalo and Mahler inequalities for the first eigenvalue of the Dirichlet laplacian.
• D. Bucur, I. Fragala, Reverse Faber-Krahn and Mahler inequalities for the Cheeger constant.

28 апреля 2018 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Артём Галкин (ВШЭ)
Тема: Неравенство Бляшке-Сантало и гипотеза Малера для первого собственного числа

Аннотация:
Объем Малера симметричного выпуклого тела - безразмерная величина, инвариантная относительно линейных преобразований и определяемая как произведение объемов исходного тела и объема его поляры. Классическое неравенство Бляшке-Сантало дает точную оценку сверху - объем Малера симметричного выпуклого тела не превосходит объема Малера евклидового шара единичного радиуса. Напротив, точная оценка снизу доказана лишь в очень ограниченном числе случаев для определенного класса выпуклых тел. Некоторой вариацией данного сюжета является задача о минимизации функционала \lambda_{1}(K)\lambda_{1}(\circ{K}) для первого собственного значения оператора Лапласа для задачи Дирихле. Используя классическое неравенство Бляшке-Сантало, можно доказать, что минимум данного функционала достигается на евклидовом шаре. Я планирую рассказать доказательство неравенства Бляшке-Сантало для первого собственного значения и осветить доказательство обратного неравенства Фабера-Крана для константы Чигера.

Литература:

• D. Bucur, I. Fragala, Blaschke-Santalo and Mahler inequalities for the first eigenvalue of the Dirichlet laplacian.
• D. Bucur, I. Fragala, Reverse Faber-Krahn and Mahler inequalities for the Cheeger constant.

14 апреля 2018 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Равиль Габдурахманов (НМУ, НИУ ВШЭ)
Тема: Оценки на собственные числа оператора Лапласа-Бельтрами на многообразиях, использующие (слабо) конформный объем и L^2 норму средней кривизны-III

Аннотация:
Мы продолжим обсуждать результаты Герасима Кокарева об оценках на собственные числа оператора Лапласа-Бельтрами на многообразиях. В прошлый раз мы доказали теоремы об оценках на собственные числа, использующие (слабо) конформный объём. В этот раз я приведу доказательство теоремы, специализирующей общий случай на (неориентируемые) поверхности и позволяющей оценивать собственный числа в терминах рода ориентирующего накрытия. Далее мы перейдем к результатам Кокарева об оценках с использованием L^2 нормы средней кривизны. Я приведу необходимые факты и доказательства соответствующих результатов.

Литература:

• Gerasim Kokarev, Conformal volume and eigenvalue problems, arXiv:1712.08150.

7 апреля 2018 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Равиль Габдурахманов (НМУ, НИУ ВШЭ)
Тема: Оценки на собственные числа оператора Лапласа-Бельтрами на многообразиях, использующие (слабо) конформный объем и L^2 норму средней кривизны-II

Аннотация:
Мы продолжим обсуждать результаты Герасима Кокарева об оценках на собственные числа оператора Лапласа-Бельтрами на многообразиях. В прошлый раз мы определили (слабо) конформный объем и обсудили использующие его результаты Кокарева. В этот раз я приведу доказательства обсуждавшихся ранее теорем, использующих конформный объем. Если останется время, я также приведу результаты, использующие L^2 норму средней кривизны, и расскажу, как получаются их доказательства.

Литература:

• Gerasim Kokarev, Conformal volume and eigenvalue problems, arXiv:1712.08150.

27 марта 2018 года (вторник), 17:30-19:00, ауд.309
Докладчик: Евгений Степанов (ПОМИ РАН)
Тема: От транспортных сетей к свободной границе в задаче об оптимальном подкреплении пластины

Аннотация:
Будет рассказано о нескольких внешне разнородных, но на самом деле связанных друг с другом задачах оптимизации формы, неизвестным в которых является кривая - замкнутое связное множество. Одна из таких задач - нахождение оптимальной транспортной или ирригационной сети, другая - задача об оптимальном подкреплении пластины заданной формы, закреплённой по краям и находящейся под воздействием заданной нагрузки. Будут обсуждаться топологические и геометрические свойства минимайзеров.

Литература:

• Antonin Chambolle, Jimmy Lamboley, Antoine Lemenant, and Eugene Stepanov, Regularity for the optimal compliance problem with length penalization. SIAM J. Math. Anal. 49 (2017), no. 2, 1166-1224.
• G. Buttazzo, A. Pratelli, S. Solimini, E. Stepanov. Optimal urban networks via mass transportation. Lecture Notes in Mathematics, 1961. Springer-Verlag, Berlin, 2009. x+150 pp. ISBN: 978-3-540-85.

17 марта 2018 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Равиль Габдурахманов (НМУ, НИУ ВШЭ)
Тема: Оценки на собственные числа оператора Лапласа-Бельтрами на многообразиях, использующие (слабо) конформный объем и L^2 норму средней кривизны

Аннотация:
Я расскажу о недавних результатах Герасима Кокарева об оценках на собственные числа оператора Лапласа-Бельтрами на многообразиях. В своей работе он обобщает на произвольные собственные значения классические неравенства на первое собственное значение. В первом случае это оценки Рэйли 1977-го года, использующие L^2-норму средней кривизны. Во втором, оценки Ли-Яу 1982-го года и Эль Суфи-Илиаса 1986-го года, использующие конформный объем. Мы начнём с определения (слабо) конформного объема и некоторых его свойств. Далее мы посмотрим на полученные в работе результаты и их применение. В последней части я сначала приведу планы доказательств, а потом мы обсудим их детально.

Литература:

• Gerasim Kokarev, Conformal volume and eigenvalue problems, arXiv:1712.08150.

10 марта 2018 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Арсений Райко (МГУ)
Тема: Монотонность первого собственного числа Стеклова на компактных поверхностях в зависимости от топологии

Аннотация:
Мы продолжим обсуждать результаты, связанные с первым собственным числом Стеклова на поверхностях, нормированным длиной границы. Речь снова пойдет об оценках монотонности в зависимости от рода и числа компонент границы, которые обобщают результат, обсуждавшийся в прошлый раз, в том числе для неориентируемых поверхностей. Доклад основывается на работе Петридеса и Маттиесена. Будет использована техника склеивания компонент границы похожая на ту, которую мы использовали в прошлый раз.

Литература:

• Henrik Matthiesen, Romain Petrides, Monotonicity results for the first Steklov eigenvalue on compact surfaces, arxiv:1801.06914

3 марта 2018 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Арсений Райко (МГУ)
Тема: Максимальные метрики для первого собственного числа задачи Стеклова на поверхностях

Аннотация:
В докладе будут изложен результат, полученный Карпухиным: на поверхности произвольного рода g с k> 0 компонентами границы первое собственное значение Стеклова, нормированное длиной границы, достигается на гладкой метрике. В частности, существует минимальное разветвленное погружение поверхности со свободной границей в шаре.

Литература:

• M. Karpukhin, Maximal metrics for the first Steklov eigenvalue on surfaces, arxiv:1801.06914

24 февраля 2018 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Иван Салтыков (МГУ)
Тема: Нижние оценки первого собственного числа магнитного оператора Лапласа (продолжение доклада)

Аннотация:
В докладе будут изложены полученные B. Colbois и A. Savo нижние оценки для первого собственного числа магнитного оператора Лапласа в случае риманова цилиндра с магнитным условием Неймана на границе. Будет установлена точная нижняя грань для первого собственного значения и рассмотрен случай, когда неравенство обращается в равенство. Также, если останется время, мы затронем случай плоской области, ограниченной двумя замкнутыми кривыми.

Литература:

• B. Colbois, A. Savo, Lower bounds for the first eigenvalue of the magnetic Laplacian, arXiv:1709.09506

17 февраля 2018 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Иван Салтыков (МГУ)
Тема: Нижние оценки первого собственного числа магнитного оператора Лапласа

Аннотация:
В докладе будут изложены полученные B. Colbois и A. Savo нижние оценки для первого собственного числа магнитного оператора Лапласа в случае риманова цилиндра с магнитным условием Неймана на границе. Будет установлена точная нижняя грань для первого собственного значения и рассмотрен случай, когда неравенство обращается в равенство. Также, если останется время, мы затронем случай плоской области, ограниченной двумя замкнутыми кривыми.

Литература:

• B. Colbois, A. Savo, Lower bounds for the first eigenvalue of the magnetic Laplacian, arXiv:1709.09506

Осень 2017:

2 декабря 2017 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Георгий Шуклин (НИУ ВШЭ)
Тема: Формула следа для гиперболических поверхностей

Аннотация:
Классическая теорема об униформизации утверждает, что любая компактная риманова поверхность рода g>1 реализуется как фактор верхней полуплоскости по Фуксовой группе, т. е. гиперболическая поверхность. Действие соответствующей Фуксовой группы на верхней полуплоскости позволяет построить по функции на полуинтервале некоторый интегральный оператор. Формула следа выражает след этого оператора, с одной стороны, через спектр оператора Лапласа, а с другой, через сумму по замкнутым геодезическим фиксированной длины. Я расскажу о классификации гиперболических поверхностей и докажу формулу следа. Далее мы обсудим различные следствия, возникающие из подстановок конкретных функций. Таким способом можно, например, получить закон Вейля или написать аналог функционального уравнения для дзета-функции Сельберга. Особенно интересным следствием является prime geodesic theorem - утверждение о асимптотике числа замкнутых геодезических фиксированной нормы. Удивительным образом асимптотика совпадает с распределением простых чисел, а более точный ответ выражается через нули дзета-функции Сельберга. Таким образом, имеется аналогия между замкнутыми геодезическими и простыми числами.

Литература:

• D. Borthwick, Introduction to Spectral Theory on Hyperbolic Surfaces.

25 ноября 2017 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Семинар не состоится

18 ноября 2017 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Артём Галкин (ВШЭ)
Тема: Задача Стеклова, оператор Дирихле-Неймана и неравенство для дзета-функции планарных областей (продолжение доклада)

Аннотация:
Будет рассказано о постановке задачи Стеклова для плоских областей, рассмотрены некоторые асимптотические свойства спектра в форме классических оценок, полученных Вейнстоком и Розенблюмом. Также мы рассмотрим дзета-функцию, ассоциированную с планарной областью и докажем неравенство, связывающее дзета-функцию области с классической дзета-функцией Римана и в некотором смысле обобщающее известные классические неравенства.

Литература:

• A. Jollivet, V.Sharafutdinov, An inequality for the zeta function of a planar domain.
• A. Girouard, L. Parnovski, I. Polterovich, D. Sher, The Steklov spectrum of surfaces: asymptotics and invariants.

11 ноября 2017 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Артём Галкин (ВШЭ)
Тема: Задача Стеклова, оператор Дирихле-Неймана и неравенство для дзета-функции планарных областей

Аннотация:
Будет рассказано о постановке задачи Стеклова для плоских областей, рассмотрены некоторые асимптотические свойства спектра в форме классических оценок, полученных Вейнстоком и Розенблюмом. Также мы рассмотрим дзета-функцию, ассоциированную с планарной областью и докажем неравенство, связывающее дзета-функцию области с классической дзета-функцией Римана и в некотором смысле обобщающее известные классические неравенства.

Литература:

• A. Jollivet, V.Sharafutdinov, An inequality for the zeta function of a planar domain.
• A. Girouard, L. Parnovski, I. Polterovich, D. Sher, The Steklov spectrum of surfaces: asymptotics and invariants.

28 октября 2017 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Арсений Райко (МГУ)
Тема: Переопределенные УРЧП в Римановой геометрии-VI

Аннотация:
В этот раз мы продолжим разбирать доказательство того факта, что изопараметрическая трубка является гармонической областью. Я повторю доказательство формулы, выражающей оператор Лапласа-Бельтрами через Лапласиан на подмногообразии, вектор средней кривизны и составляющую связности Леви-Чивиты в нормальном расслоении к подмногообразию. После этого я планирую четко сформулировать какие связи существуют между изопараметрическими поверхностями, гармоническими областями и изопараметрическими трубками. Потом я хотел бы кратко пояснить почему минимальные подмногообразия со свободной границей тоже являются гармоническими. Далее было бы логично перейти к повествованию про еще одну переопределенную задачу из УРЧП, которая тесно связана с уравнением теплопроводности. Про области, на которых будет существовать решение для такой задачи говорят, что они обладают свойством постоянного потока. Оказывается, что области, обладающие таким свойством, также являются идеальными теплораспределителями, а также являются гармоническими. Для аналитических метрик Алессандро Саво показал, что верен более сильный результат: области, обладающие свойством постоянного потока являются также изопараметрическими трубками вокруг минимального подмногообразия. В качестве завершения, я бы упомянул несколько слов про переопределенную задачу Стеклова.

Литература:

• Слайды третьей лекции Алессандро Саво.

21 октября 2017 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Арсений Райко (МГУ)
Тема: Переопределенные УРЧП в Римановой геометрии-V

Аннотация:
В прошлый раз я закончил доклад на определении гармонических трубок. В этот раз я начну повествование с того факта, что любая гармоническая трубка является гармонической областью (т.е. на ней существует решение задачи Серэна). Гармонические трубки задают уже достаточно широкий класс областей (по сравнению с областями, которые получаются шевелением маленьких геодезических шаров, которые в каждой точке задают всего лишь однопараметрическое семейство). Но, как оказывается, этим класс гармонических областей не исчерпывается. Мы докажем, что любая минимальная гиперповерхность в евклидовом шаре, граница которой ортогональна шару (minimal free boundary hypersurface) является гармонической. Существуют ли другие примеры гармонических областей - до сих пор вопрос открытый.

После этого, если время останется, я планирую перейти к обсуждению задачи теплопроводности, идеальных теплопроводников (perfect heat diffusers) и многообразий, обладающих свойством постоянного потока (constant flow property). Окажется, что это свойство также тесно связано с гармоническими трубками. Мы получим, что гармонические трубки - области, на которых существует решение по меньшей мере трех переопределенных задач.

В самом конце, я хотел бы сказать пару слов про переопределенную задачу Стеклова.

Литература:

• Слайды третьей лекции Алессандро Саво.

14 октября 2017 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Арсений Райко (МГУ)
Тема: Переопределенные УРЧП в Римановой геометрии-IV

Аннотация:
В прошлом докладе я доказал, что область в трехмерной сфере, ограниченная изометрически вложенным Клиффордовым тором, является гармонической, и показал, как эта конструкция обобщается на случай произвольной группы изометрий, транзитивно действующей на границе области. В этот раз я начну свое повествование с обобщения конструкции с Клиффордовыми торами на произвольную размерность. После этого я планирую показать, какая связь существует между минимальностью границы, постоянством ее главных кривизн и существованием решения переопределенной системы УРЧП в области. Если останется время, мы обсудим переопределенную задачу Стеклова и другие физически интересные переопределенные системы.

Литература:

• Слайды второй лекции Алессандро Саво.
• Слайды третьей лекции Алессандро Саво.

7 октября 2017 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Арсений Райко (МГУ)
Тема: Переопределенные УРЧП в Римановой геометрии-III

Аннотация:
В третьем своем докладе я расскажу о том, какие гармонические области (области, допускающие решение задачи Серэна) появляются в пространствах постоянной кривизны. Особый интерес для нас будет представлять сферический случай. Это единственный случай, в котором появляется нетривиальные гармонические области (в остальных случаях это всего лишь геодезические шары). На сфере окажется, что Клиффордовы торы ограничивают гармонические области, которые не гомеоморфны шару. Но дело не ограничится лишь Клиффордовыми торами, и, чтобы найти новые гармонические области, мы коснемся изучения изопараметрических поверхностей, изучение которых было заложено такими гигантами как Сегрэ и Картан.

Литература:

• Слайды второй лекции Алессандро Саво.

30 сентября 2017 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Арсений Райко (МГУ)
Тема: Переопределенные УРЧП в Римановой геометрии-II

Аннотация:
В этот раз я начну свой доклад с рассказа о переопределенной задаче Шиффера и ее связи с задачей Помпейю. Потом мы перейдем к рассмотрению задачи Серэна и на этом закончим свое знакомство с плоским случаем, плавно переходя к формулировке этой задачи для областей на многообразии. Так как задача является переопределенной, то ее решение существует не для всех областей, а только для тех, которые будут обладать "особой" геометрией. Такие области будут называться гармоническими. Мы докажем, что гармонические области на полусфере и пространстве Лобачевского будут совпадать с семейством геодезических шаров. В случае полной сферы ситуация становится намного интереснее. Оказывается, что область будет гармонической если она ограничена изопараметрической гиперповерхностью (главные кривизны являются постоянными). Если останется время, то мы обсудим более подробно геометрию таких областей.

Литература:

• Слайды второй лекции Алессандро Саво.

23 сентября 2017 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Арсений Райко (МГУ)
Тема: Переопределенные УРЧП в Римановой геометрии-I

Аннотация:
Доклад подготовлен по материалам слайдов Алессандро Саво, которые он использовал во время чтения своего курса на конференции Geometric spectral theory в Невшателе 19-23 июня.

На первом докладе я расскажу о задаче, поставленной румынским математиком по имени Димитрие Помпею (1929). Кратко задача ставится так: пусть дана компактная область и непрерывная функция, определенная на всем пространстве. Причем функция обладает таким свойством, что ее интегралы по области и всем областям, полученным из данной посредством движений равен нулю. Правда ли, что тогда область является шаром?

У задачи Помпею есть несколько эквивалентных формулировок, одну из которых предложил Стефан Вильямс в 1976. Для этого нам придется обратиться к гипотезе Менахема Макса Шиффера, которая относится к переопределенной задаче Неймана.

Мы поговорим о том, что такое переопределенные задачи в целом, и разберем пару красивых доказательств, использующих изящный инструментарий геометрического анализа.

Литература:

• Слайды первой лекции Алессандро Саво.

16 сентября 2017 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: А.В.Пенской (МГУ, НИУ ВШЭ, НМУ, ISCP)
Тема: Максимизация собственных чисел оператора Лапласа-Бельтрами на сфере

Аннотация:
В докладе будет изложены полученные этим летом совместно с М.Карпухиным, Н.Надирашвили и И.Полтеровичем результаты о максимизации собственных чисел оператора Лапласа-Бельтрами на сфере. Доказано, что с точностью до «выдувания» сфер нулевого объёма k-е ненулевое собственное число максимизируется на k касающихся сферах равного радиуса.

Литература:

• Mikhail Karpukhin, Nikolai Nadirashvili, Alexei V. Penskoi, Iosif Polterovich, "An isoperimetric inequality for Laplace eigenvalues on the sphere". Preprint arXiv:1706.05713.

Весна 2017:

29 апреля 2017 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Арсений Райко (МГУ)
Тема: Максимизация первого собственного числа на поверхности рода два

Аннотация:
В докладе будет рассмотрено доказательство известной гипотезы Левитина-Надирашвили-Нигам-Полтеровича-Якобсона о максимизации первого собственного числа оператора Лапласа-Бельтрами на поверхности рода два при фиксированной площади. Доклад основан на работе Shin Nayatani, Toshihiro Shoda "Metrics on a closed surface of genus two which maximize the first eigenvalue of the Laplacian"

Литература:

• Shin Nayatani, Toshihiro Shoda, "Metrics on a closed surface of genus two which maximize the first eigenvalue of the Laplacian". Preprint arXiv:1704.06384.

22 апреля 2017 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Денис Фуфаев (МГУ)
Тема: Максимизация первого собственного числа на замкнутых поверхностях

Аннотация:
Мы сделаем обзор доказательства того, что на любой замкнутой поверхности (в том числе неориентируемой) существует метрика с конечным числом конических особенностей, максимизирующая первое собственное число оператора Лапласа-Бельтрами при фиксированной площади. Доклад основан на работе Henrik Matthiesen, Anna Siffert, "Existence of metrics maximizing the first eigenvalue on closed surfaces"

Литература:

• Henrik Matthiesen, Anna Siffert, "Existence of metrics maximizing the first eigenvalue on closed surfaces" Preprint arXiv:1703.01264.

15 апреля 2017 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Анастасия Викулова (МГУ)
Тема: Продолжение доклада «Задача Робена с отрицательным параметром»

Аннотация:
Этот доклад будет посвящен некоторым результатам для первого собственного числа задачи Робена. Мы попробуем выяснить, с какими проблемами можно столкнуться при доказательстве тех или иных неравенств для собственных чисел.

Литература:

• Pedro Antunes, Pedro Freitas, David Krejcirik, Bounds and extremal domains for Robin eigenvalues with negative boundary parameter. Preprint arXiv:1605.08161v1.
• Pedro Antunes and David Krejcirik, The first Robin eigenvalue with negative boundary parameter. Preprint arXiv:1403.6666v2.

8 апреля 2017 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Анастасия Викулова (МГУ)
Тема: Продолжение доклада «Задача Робена с отрицательным параметром»

Аннотация:
Этот доклад будет посвящен некоторым результатам для первого собственного числа задачи Робена. Мы попробуем выяснить, с какими проблемами можно столкнуться при доказательстве тех или иных неравенств для собственных чисел.

Литература:

• Pedro Antunes, Pedro Freitas, David Krejcirik, Bounds and extremal domains for Robin eigenvalues with negative boundary parameter. Preprint arXiv:1605.08161v1.
• Pedro Antunes and David Krejcirik, The first Robin eigenvalue with negative boundary parameter. Preprint arXiv:1403.6666v2.

25 марта 2017 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Анастасия Викулова (МГУ)
Тема: Задача Робена с отрицательным параметром

Аннотация:
Этот доклад будет посвящен некоторым результатам для первого собственного числа задачи Робена. Мы попробуем выяснить, с какими проблемами можно столкнуться при доказательстве тех или иных неравенств для собственных чисел.

Литература:

• Pedro Antunes, Pedro Freitas, David Krejcirik, Bounds and extremal domains for Robin eigenvalues with negative boundary parameter. Preprint arXiv:1605.08161v1.
• Pedro Antunes and David Krejcirik, The first Robin eigenvalue with negative boundary parameter. Preprint arXiv:1403.6666v2.

18 марта 2017 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: А.И Назаров (ПОМИ РАН и СПбГУ)
Тема: Дробные лапласианы Навье и Дирихле

Аннотация:
Рассматриваются два естественных определения дробных лапласианов - «Навье» и «Дирихле». Мы покажем, что разность этих операторов положительна в смысле квадратичных форм и в поточечном смысле.

Доклад основан на совместных работах с R. Musina, Università degli Studi di Udine, Италия.

Литература:

• Roberta Musina, Alexander I. Nazarov. On fractional Laplacians. Preprint arXiv:1308.3606.
• Roberta Musina, Alexander I. Nazarov. On fractional Laplacians - 2. Preprint arXiv:1408.3568.

4 марта 2017 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Михаил Карпухин (НМУ, McGill University)
Тема: Закон Вейля для рациональных бильярдов

Аннотация:
Многоугольник называется рациональным, если все его углы рационально кратны π. Согласно теореме Г. Мазура, в таких многоугольниках существует бесконечно много замкнутых бильярдных траекторий. В данном докладе, применяя метод волнового следа, мы используем теорему Мазура для получения оценки на остаточный член закона Вейля. Для понимания доклада предварительных знаний о волновом следе не требуется.

Литература:

• H. Masur, S. Tabachnikov, Rational Billiards and Flat Structures.
• Suresh Eswarathasan, Iosif Polterovich, John A. Toth. Smooth billiards with a large Weyl remainder. Preprint arXiv:1304.6440.

25 февраля 2017 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Михаил Карпухин (НМУ, McGill University)
Тема: Задача Стеклова на формах: в поисках естественного определения

Аннотация:
В настоящий момент в литературе по спектральной теории общепринято определение задачи Стеклова на пространстве дифференциальных форм, введенное Роло и Саво. Тем не менее, это определение не имеет естественной геометрической или физической интерпретации. В настоящем докладе мы рассмотрим несколько возможных альтернатив, а также обсудим возможные приложения.

Литература:

• Vladimir Sharafutdinov, Clayton Shonkwiler. The complete Dirichlet-to-Neumann map for differential forms. Preprint arXiv:1011.1194.

18 февраля 2017 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Райко Арсений (МГУ)
Тема: Большие собственные значения Стеклова на компактных многообразиях с фиксированной границей

Аннотация:
Будет рассказано о последнем результате Ахмада Эль Суфи, Бруно Кольбо и Александра Жируа по задаче Стеклова. Пусть b - число компонент границы многообразия M. Будет доказано, что с помощью конформного преобразования, тождественного на самой границе и вне некоторой окрестности границы, можно сделать b+1 собственное значение для задачи Стеклова сколь угодно большим.

Литература:

• Bruno Colbois, Ahmad El Soufi, Alexandre Girouard, Compact manifolds with fixed boundary and large Steklov eigenvalues. Preprint arXiv:1701.04125.

11 февраля 2017 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Никита Клемятин (МГУ, НМУ)
Тема: Задача Стеклова на орбифолдах

Аннотация:
Я продолжу рассказывать про задачу Стеклова на орбиобразиях, в частности объясню как устроен спектр Стеклова на двумерных орбиобразиях, а также постараюсь рассказать про оценки сверху для собственных чисел и про изоспектральные орбиобразия размерности больше 2.

Литература:

• Teresa Arias-Marco, Emily B. Dryden, Carolyn S. Gordon, Asma Hassannezhad, Allie Ray, Elizabeth Stanhope, Spectral geometry of the Steklov problem on orbifolds Preprint arXiv:1609.05142.

Осень 2016:

17 декабря 2016 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Никита Клемятин (МГУ, НМУ)
Тема: Задача Стеклова на орбифолдах (продолжение доклада)

Аннотация:
Мы продолжим разбирать задачу Стеклова: я продолжу рассказ о том, как устроен анализ на орбиобразиях и про асимптотику спектра Стеклова на двумерных орбиобразиях. Если останется время, то я расскажу про изоспектральные по Стеклову орбиобразия и про оценки сверху для спектра Стеклова.

Литература:

• Teresa Arias-Marco, Emily B. Dryden, Carolyn S. Gordon, Asma Hassannezhad, Allie Ray, Elizabeth Stanhope, Spectral geometry of the Steklov problem on orbifolds. Preprint arXiv:1609.05142.
• Bogdan Bucicovschi, Seeley's Theory of Pseudodifferential Operators on Orbifolds. Preprint arXiv:math/9912228.
• Spectral Geometry, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, Vol. 84; AMS, 2012.
• I. Satake, On a Generalization of the Notion of Manifold, Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, Vol. 42 (1956), No. 6 pp. 359-363.

10 декабря 2016 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Никита Клемятин (МГУ, НМУ)
Тема: Задача Стеклова на орбифолдах

Аннотация:
Я расскажу про задачу Стеклова на орбифолдах и про связь геометрии и топологии риманова орбифолда связана с его спектром Стеклова. В частности будет разобран случай двумерных орбифолдов и получена асимптотика спектра Стеклова для них. Также я расскажу о верхних оценках на собственные числа в задачах Стеклова и Неймана на орбифолдах и расскажу про изоспектральные по Стеклову орбифолды. Все необходимые предварительные сведения будут сообщены.

Литература:

• Teresa Arias-Marco, Emily B. Dryden, Carolyn S. Gordon, Asma Hassannezhad, Allie Ray, Elizabeth Stanhope, Spectral geometry of the Steklov problem on orbifolds Preprint arXiv:1609.05142.

3 декабря 2016 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Анастасия Викулова (МГУ)
Тема: Магнитный оператор Лапласа и оценки на собственные числа для условия Неймана (продолжение доклада)

Аннотация:
Мы продолжим разбирать статью Bruno Colbois и Alessandro Savo, попробуем доказать выдвинутые на прошлом семинаре теоремы, разберемся в определениях и рассмотрим некоторые примеры.

Литература:

• Bruno Colbois and Alessandro Savo, Eigenvalue bounds for the magnetic Laplacian. Preprint arXiv:1611.01930.

26 ноября 2016 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Анастасия Викулова (МГУ)
Тема: Магнитный оператор Лапласа и оценки на собственные числа для условия Неймана

Аннотация:
На этом докладе мы рассмотрим обобщение известного нам оператора Лапласа, которое определяется с помощью связности на тривиальном комплексном расслоении для заданного многообразия с 1-формой. Попытаемся разобраться в некоторых свойствах магнитного оператора Лапласа, получить некоторые оценки на собственные числа, а также рассмотрим некоторые простейшие примеры нахождения собственных чисел.

Литература:

• Bruno Colbois and Alessandro Savo, Eigenvalue bounds for the magnetic Laplacian. Preprint arXiv:1611.01930.

19 ноября 2016 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Арсений Райко (МГУ)
Тема: Сравнение первого ненулевого собственного числа Неймана на параллелограмме и прямоугольнике с одинаковым основанием

Аннотация:
Я расскажу о своем результате, полученном в ходе исследования задачи о нахождении супремума функционала произведения первого ненулевого собственного числа Неймана на квадрат периметра (задача Szego с более жесткой геометрической нормировкой). Я объясню, какие сложности возникают в этой задаче, покажу интересный контрпример, полученный численным моделированием, докажу некоторый промежуточный результат, объявленный в теме доклада. Будет использована только элементарная техника, навеянная теоремой Бояи-Гервина (Б.- Г.). Если останется время, я расскажу о том как естественно обобщить формулировку теоремы Б.-Г. для спектральной геометрии.

12 ноября 2016 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Арсений Райко (МГУ)
Тема: Теорема Плейеля для собственных функций Неймана

Аннотация:
Теорема Плейеля (1956) утверждает, что неравенство Куранта может превратиться в равенство только для конечного числа собственных функций оператора Лапласа с условием Дирихле. Мы обсудим обобщение этого факта на случай граничных условий Неймана.

Литература:

• Corentin Léna, Pleijel's nodal domain theorem for Neumann eigenfunctions.

29 октября 2016 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Никита Клемятин (МГУ)
Тема: Пространства гармонических отображений проективной плоскости и двумерной сферы в четырёхмерную сферу малых гармонических степеней

Аннотация:
Продолжение доклада прошлой недели по работе Равиля Габдурахманова.

Литература:

• Ravil Gabdurakhmanov, Spaces of harmonic maps of the projective plane to the four-dimensional sphere. Preprint arXiv:1610.05277.

22 октября 2016 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Равиль Габдурахманов (НИУ ВШЭ, НМУ)
Тема: Пространства гармонических отображений проективной плоскости и двумерной сферы в четырёхмерную сферу малых гармонических степеней

Аннотация:
Я кратко напомню теоремы Калаби, Барбосы и Брайанта о гармонических отображениях двумерной сферы в четырехмерную, кратко расскажу о конструкции твисторного расслоения, возникающей в теореме Брайанта. Следуя Болтону и Вудварду я дам определение высших особенностей и приведу некоторые факты о них. Затем я более детально расскажу о твисторном поднятии гармонических отображений, о связи пространства линейно-полных гармонических отображений и пространства линейно-полных горизонтальных голоморфных кривых в твисторном расслоении. После этого я расскажу о группах, действующих на этих пространствах и о том, как при помощи них гомотопировать произвольное отображение к некоторой канонической форме. А также докажу, что пространства гармонических отображений проективной плоскости в четырёхмерную сферу пусты при чётной степени. При помощи этого я найду канонические формы для степеней 3 и 5 и покажу линейную связность пространства гармонических отображений проективной плоскости в четырехмерную сферу степени меньше, чем 6. В заключении я приведу канонические формы для отображений двумерной сферы степеней 3, 4 и 5.

Литература:

• Ravil Gabdurakhmanov, Spaces of harmonic maps of the projective plane to the four-dimensional sphere. Preprint arXiv:1610.05277.

15 октября 2016 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Анастасия Викулова (МГУ)
Тема: Оценки и экстремальные области для задачи Робена с отрицательным параметром

Аннотация:
Для задачи Дирихле и задачи Неймана мы знаем, что шар минимизирует первое собственное число в первом случае, и максимизирует во втором при фиксированном объеме. На этом докладе мы поговорим о задаче Робена с отрицательным параметром. Мы узнаем, что на плоскости диск максимизирует первое собственное число для задачи Робена при отрицательном параметре и фиксированном периметре. Также мы попробуем оценить первые собственные числа для многомерного шара и шарового слоя. Узнаем об оценке первого собственного числа. Поговорим подробнее об областях размерности 1 и посмотрим на некоторые открытые проблемы.

Литература:

• Pedro Antunes, Pedro Freitas, David Krejcirik, Bounds and extremal domains for Robin eigenvalues with negative boundary parameter. Preprint arXiv:1605.08161.

8 октября 2016 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Никита Клемятин (МГУ)
Тема: Результат Маккина-Зингера о первых коэффициентах асимптотического разложения следа ядра теплопроводности

Аннотация:
Я расскажу результат Маккина и Зингера о вычислении первых коэффициентов асимптотического разложения следа ядра теплопроводности. Оказывается, что эти коэффициенты являются некоторыми полиномами от инвариантов метрики. Из этого, в частности, следует, что можно "услышать" эйлерову характеристику двумерного многообразия.

Литература:

• H. P. McKean, Jr. and I. M. Singer, Curvature and the eigenvalues of the Laplacian. J. Differential Geom., Volume 1, Number 1-2 (1967), 43-69. (Open access to a full-text PDF).

1 октября 2016 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Анастасия Викулова (МГУ)
Тема: Восстановление треугольников с помощью тепловой энергии (heat content)

Аннотация:
В 1988 году Catherine Durso с помощью следа волнового ядра доказала, что треугольник однозначно восстанавливается по спектру задачи Дирихле. В 2013 году D. Griser и S. Maronna с помощью следа ядра теплопроводности доказали аналогичный факт. На докладе мы узнаем, что такое heat content, попробуем доказать, что с его помощью можно однозначно восстановить треугольник. И попробуем выяснить, как функция heat content связана со спектральном Дирихле.

Литература:

• Reed Meyerson, Patrick McDonald, Heat content determines planar triangles. Preprint arXiv:1607.03351.

24 сентября 2016 (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Арсений Райко (МГУ)
Тема: Спектр треугольников: оценки и гипотезы

Аннотация:
В эту субботу я повторю прошлогодний доклад об упорядочивании первых собственных чисел оператора Лапласа для смешанных граничных условий на треугольниках. Мы получим интересные результаты, используя исключительно элементарную технику. Доклад будет построен на статье B. Siudeja "On mixed Dirichlet-Neumann eigenvalues of triangles". Статья играет важную роль в текущих продвижениях по знаменитой hot spot conjecture. За подробностями обращайтесь к коллаборационному проекту polymath7.

Литература:

• B. Siudeja, On mixed Dirichlet-Neumann eigenvalues of triangles. Preprint arXiv:1501.07618.

17 сентября 2016 (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: А.В.Пенской (МГУ, НИУ ВШЭ, НМУ)
Тема: Изопериметрическое неравенство для второго ненулевого собственного значения оператора Лапласа на проективной плоскости (продолжение доклада)

Аннотация:
Будет рассказано о полученных вместе с Н.С.Надирашвили результатах, касающихся второго собственного значения оператора Лапласа на проективной плоскости: 1) доказано, что кратность второго собственного числа не больше, чем 6; 2) доказано, что для метрики площади 1 собственное число не превосходит 20\pi, причем это значение может быть получено как предел на последовательнсти метрик, сходящихся к сингулярной метрике на проективной плоскости и сфере со стандартными метриками, касающихся в точке, таких, что отношение их площадей 3:2.

Литература:

• Nikolai S. Nadirashvili, Alexei V. Penskoi, Isoperimetric inequality for the second non-zero eigenvalue of the Laplace-Beltrami operator on the projective plane, Preprint arXiv:1608.07334.

10 сентября 2016 (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: А.В.Пенской (МГУ, НИУ ВШЭ, НМУ)
Тема: Изопериметрическое неравенство для второго ненулевого собственного значения оператора Лапласа на проективной плоскости

Аннотация:
Будет рассказано о полученных вместе с Н.С.Надирашвили результатах, касающихся второго собственного значения оператора Лапласа на проективной плоскости: 1) доказано, что кратность второго собственного числа не больше, чем 6; 2) доказано, что для метрики площади 1 собственное число не превосходит 20\pi, причем это значение может быть получено как предел на последовательнсти метрик, сходящихся к сингулярной метрике на проективной плоскости и сфере со стандартными метриками, касающихся в точке, таких, что отношение их площадей 3:2.

Литература:

• Nikolai S. Nadirashvili, Alexei V. Penskoi, Isoperimetric inequality for the second non-zero eigenvalue of the Laplace-Beltrami operator on the projective plane, Preprint arXiv:1608.07334.

Весна 2016:

18 июня 2016 (суббота), 11:00, ауд.304
Докладчик: Александр Бердников (MIT, НИУ ВШЭ, НМУ)
Тема: Топологические оценки на кратности собственных чисел Лапласиана на поверхностях

Аннотация:
Я расскажу о небольшом улучшении оценок Надирашвили на кратности собственных чисел Лапласиана (или уравнения Шрёдингера, или задачи Стеклова) на поверхностях с краем. Классическая оценка использует теорему Берса для конструкции собственной функции с нулём большой кратности (пропорциональной кратности собстенного значения), а затем оценивает, когда соответствующий нодальный граф может быть реализован на данной поверхности (с числом нодальных областей, ограниченных теоремой Куранта). Улучшение оценки основанно на рассмотрении не одного такого графа, а целого семейства графов, запараметризованных точкой на поверхнности, в которой мы требуем ноль большой кратности.

11 июня 2016 (суббота), 11:00, ауд.304
Докладчик: А.М.Филановский (НИУ ВШЭ)
Тема: Максимизация второго числа Неймана среди треугольников и четырехугольников

Аннотация:
Мы рассмотрим задачу Неймана для оператора Лапласа для некоторых классов плоских областей, а именно для треугольников и затем на четырехугольниках. Используя, так называемый, "метод пробной функции", я расскажу, как можно доказать, что максимум второго числа Неймана будет достигаться на равностороннем треугольнике и на квадрате соответственно.

21 мая 2016 (суббота), 11:00, ауд.304
Докладчик: D. S. Grebenkov (Laboratory of Condensed Matter Physics, CNRS - Ecole Polytechnique)
Тема: Geometrical structure of Laplacian eigenfunctions (in collaboration with A. Delitsyn, B.-T. Nguyen)

Аннотация:
This talk is dedicated to low-frequency eigenfunctions of the Laplace operator in bounded Euclidean domains. In spite of a common picture of eigenfunctions as oscillating waves, the geometrical structure of Laplacian eigenfunctions is much richer and more complicated [1]. We consider a bounded domain of arbitrary shape with elongated "branches" of variable cross-sectional profiles. When an eigenvalue is smaller than a prescribed threshold (which is determined by the shape of the branch), the corresponding eigenfunction is proved to have an upper bound decaying exponentially fast along each branch [2,3]. This behavior is demonstrated for Dirichlet and Robin boundary conditions on the branch boundary. We also discuss how the exponential decay leads to localization or trapping of eigenmodes in finite quantum waveguides. In particular, we obtain a sufficient condition which determines the minimal length of branches for getting a trapped eigenmode. Varying the branch lengths may switch certain eigenmodes from non-trapped to trapped or, equivalently, the waveguide state from conducting to insulating [4].

Литература:

• [1] D. S. Grebenkov and B.-T. Nguyen, Geometrical structure of Laplacian eigenfunctions, SIAM Reviews 55, 601-667 (2013).
• [2] B.-T.Nguyen, D. S. Grebenkov, and A. L. Delitsyn, On the Exponential Decay of Laplacian Eigenfunctions in Planar Domains with Branches, Contemp. Math. 630, 337-348 (2014).
• [3] A. L. Delitsyn, B.-T. Nguyen, and D. S. Grebenkov, Exponential decay of Laplacian eigenfunctions in domains with branches of variable cross-sectional profiles, Eur. Phys. J. B 85, 371 (2012).
• [4] A. L. Delitsyn, B.-T. Nguyen, and D. S. Grebenkov, Trapped modes in finite quantum waveguides, Eur. Phys. J. B. 85, 176 (2012).

14 мая 2016 (суббота), 11:00, ауд.304
Докладчик: Анастасия Викулова (МГУ)
Тема: Изоспектральность в классе трапеций

Аннотация:
В 1964 году Джон Милнор показал, что в общем случае ответ на вопрос: "Если два римановых многообразия являются изоспектральными, следует ли из этого, что они изометричны?" отрицателен. Для этого он построил в пространстве R^16 две решетки L1 и L2, такие, что R^16/L1 и R^16/L2 имеют одинаковые спектры, но при этом с помощью вращения в R^16 L1 не переходит в L2.

Но если рассматривать определенные классы областей, то ответ может оказаться и положительным. После изучения работы Hamid Hezari, Zhiqin Lu, Julie Rowlett "The Neumann isospectral problem for trapezoids" [1], где рассматривался определенный класс трапеций, у которых углы при большем основании меньше \pi/2, можно задаться вопросом: "А что будет в классе трапеций, у которых один из углов при большем основании строго больше \pi/2, а другой строго меньше?". Так вот оказывается, что для таких трапеций ответ будет положительным как для задачи Неймана, так и для задачи Дирихле. Для доказательства этого факта мы будем искать спектральные инварианты для трапеций из следа ядра теплопроводности и асимптотики преобразования Фурье следа волнового ядра. В работе Duistermaat and Guillemin 1975 года было доказано, что сингулярный носитель следа волнового ядра для риманова компактного многообразия без края содержится в множестве {0} и {(+-)L}, где L - множество длин замкнутых геодезических. Таким образом, мы попробуем найти минимальные геодезические на интересующих нас удвоенных трапециях, то есть на таких многообразиях, которые получаются с помощью склейки двух одинаковых трапеций по границе. Мы увидим, что геодезические в нашем случае и геодезические для трапеций, которые рассматриваются в работе [1] отличаются. И следовательно, мы получаем новые асимптотические оценки для преобразования Фурье следа волнового ядра, которые являются спектральными инвариантами. В итоге с помощью этих и других известных нам спектральных инвариантов мы сможем однозначно восстановить трапецию.

7 мая 2016 (суббота), 11:00, ауд.304
Докладчик: Равиль Габдурахманов (НИУ ВШЭ, НМУ)
Тема: Пространства гармонических отображений проективной плоскости в четырёхмерную сферу

Аннотация:
Я напомню теоремы Калаби, Барбосы и Брайанта о гармонических отображениях двумерной сферы в четырехмерную. Далее я расскажу о конструкции твистерного расслоения, возникающей в теореме Брайанта. Следуя Болтону и Вудварду я дам определение высших особенностей и приведу некоторые факты о них. Затем я более детально расскажу о твистерном поднятии гармонических отображений, о связи пространства линейно-полных гармонических отображений и пространства линейно-полных горизонтальных голоморфных кривых в твистерном расслоении. Далее я расскажу о группах, действующих на этих пространствах и о том, как при помощи них гомотопировать произвольное отображение к некоторой канонической форме. При помощи этого я найду канонические формы и исследую пространства отображений проективной плоскости в четырехмерную сферу с площадями 6pi, 8pi, 10pi и 12pi в индуцированной метрике.

30 апреля 2016 (суббота), 11:00, ауд.304
Докладчик: Владимир Медведев (НМУ)
Тема: О полнотории с жёстким спектром Стеклова

Аннотация:
Наряду с вопросами изоспектральности интересными и сложными являются вопросы жёсткости спектра. Для спектра Стеклова вопрос жёсткости спектра можно сформулировать следующим образом: найти примеры многообразий с краем, которые определяются своим спектром Стеклова единственным образом. Полтерович и Шер выяснили, что двумерный диск однозначно определяется своим спектром Стеклова среди всех плоских областей с гладкой границей, а трёхмерный шар - среди всех связных областей с гладкой границей. Для полноториев в R^3 этот вопрос оказывается более деликатным. Нахождение полноториев с жёстким спектром по-видимому упирается в открытые гипотезы (гипотезу Жируара об эйлеровой характеристике и гипотезу Жируара-Парновского-Полтеровича-Шера об изоспектральных по Стеклову многообразиях). Однако, если ограничиться областями в R^3 с краем рода 1, то вопрос жёсткости становится достаточно простым: можно легко обнаружить полноторие с жёстким спектром. Я расскажу как это сделать. Все необходимые факты и определения будут сообщены.

23 апреля 2016 (суббота), 11:00, ауд.304
Докладчик: Marco Mazzucchelli (CNRS, UMPA, ENS de Lyon)
Тема: A simple proof of the Conley conjecture for Hamiltonian diffeomorphisms C^1-close to the identity

Аннотация:
The Conley conjecture, established in 2009 by Nancy Hingston, asserts that every Hamiltonian diffeomorphism of a standard symplectic 2n-torus admits infinitely many periodic points. While this conjecture has been extended to more general closed symplectic manifolds, all the known proofs require sophisticated arguments. In this talk, we use generating function techniques in symplectic geometry to give a simple proof of the conjecture for those Hamiltonian diffeomorphisms of the torus that are C^1-close to the identity.

16 апреля 2016 (суббота), 11:00, ауд.304
Докладчик: Родион Деев (НМУ, НИУ ВШЭ)
Тема: Некоторые свойства областей Неймана

Аннотация:
Мы рассмотрим некоторые геометрические и спектральные свойства областей в поверхностях, на которые их разрезают их потоки морсовских функций, собственных для оператора Лапласа.

Литература:

• Ram Band, David Fajman, Topological Properties of Neumann Domains.

9 апреля 2016 (суббота), 11:00, ауд.304
Докладчик: Владимир Медведев (НМУ)
Тема: Об оценках Карпухина на римановых поверхностях с краем

Аннотация:
Мы закончим обсуждать статью Карпухина и докажем оценки на собственные числа оператора Стеклова на функциях на римановых поверхностях с краем. Эти оценки почти всегда сильнее аналогичных оценок Полтеровича-Жируара, которые мы обсуждали ранее.

Литература:

• Mikhail A. Karpukhin, Bounds between Laplace and Steklov eigenvalues on nonnegatively curved manifolds.

2 апреля 2016 (суббота), 11:00, ауд.304
Докладчик: Никита Клемятин (МГУ)
Тема: Об оценках Надирашвили кратностей собственных чисел оператора Шредингера на компактных двумерных многообразиях (продолжение доклада)

Аннотация:
Я расскажу результаты Надирашвили о кратностях собственных чисел оператора Шредингера на компактных двумерных многообразиях. Эти оценки оказываются не зависящими от метрики и потенциала. Кроме того будет установлена точность этих оценок для первого собственного числа в случае многообразия с неотрицательной эйлеровой характеристикой. Также будут рассмотрены задачи Дирихле и Неймана для самосопряженных эллиптических операторов и установлены оценки на кратность собственных чисел для этих задач.

Литература:

• Н. С. Надирашвили, Кратные собственные значения оператора Лапласа.

26 марта 2016 (суббота), 11:00, ауд.304
Докладчик: Никита Клемятин (МГУ)
Тема: Об оценках Надирашвили кратностей собственных чисел оператора Шредингера на компактных двумерных многообразиях

Аннотация:
Я расскажу результаты Надирашвили о кратностях собственных чисел оператора Шредингера на компактных двумерных многообразиях. Эти оценки оказываются не зависящими от метрики и потенциала. Кроме того будет установлена точность этих оценок для первого собственного числа в случае многообразия с неотрицательной эйлеровой характеристикой. Также будут рассмотрены задачи Дирихле и Неймана для самосопряженных эллиптических операторов и установлены оценки на кратность собственных чисел для этих задач.

Литература:

• Н. С. Надирашвили, Кратные собственные значения оператора Лапласа.

19 марта 2016 (суббота), 11:00, ауд.304
Докладчик: Владимир Медведев (НМУ)
Тема: Об оценках Роло-Саво и Карпухина

Аннотация:
Мы продолжим обсуждать спектр оператора Стеклова на формах и его связь с геометрией многообразия. В прошлый раз мы успели разобрать лишь оценки Янга-Ю. На предстоящем семинаре мы подробно разберём оценки Роло-Саво для компактных римановых многообразий неотрицательной р-кривизны Вейценбёка и некоторым ограничением на главные кривизны края.

Основываясь на оценках Янга-Ю и Роло-Саво, Карпухин (в самом конце 2015 года) получил весьма любопытные оценки: для римановых поверхностей с краем (что почти всегда сильнее аналогичных оценок Полтеровича-Жируара) и для многообразий неотрицательной 2-кривизны Вейценбёка и некоторым ограничением на главные кривизны края (в последнем случае ориентируемость многообразия не требуется).

Литература:

• Simon Raulot, Alessandro Savo, On the first eigenvalue of the Dirichlet-to-Neumann operator on forms,
• Simon Raulot, Alessandro Savo, A Reilly formula and eigenvalue estimates for differential forms,
• Mikhail A. Karpukhin, Bounds between Laplace and Steklov eigenvalues on nonnegatively curved manifolds.

12 марта 2016 (суббота), 11:00, ауд.304
Докладчик: Владимир Медведев (НМУ)
Тема: Об оценках Янга-Ю и Роло-Саво

Аннотация:
В прошлый раз мы довольно подробно обсудили оценки Полтеровича-Жируара на произведение собственных чисел задачи Стеклова на римановых поверхностях. Эти оценки можно обобщить следующим образом: продолжим оператор Стеклова на р-формы и рассмотрим задачу Стеклова на р-формах (обычная задача Стеклова, конечно, получается из этой задачи при рассмотрении 0-форм, т.е. функций). Так же как и обычный, расширенный оператор Стеклова будет являться неотрицательным псевдодифференциальным самосопряжённым эллиптическим оператором первого порядка и на компактных связных римановых многообразиях с краем он обладает дискретным монотонно неубывающим спектром, элементы которого также содержат информацию о геометрии данного многообразия. Это особенно хорошо видно на многообразиях с неотрицательной р-кривизной Вейценбёка (обобщение кривизны Риччи), что может быть продемонстрировано с помощью оценок Роло-Саво. Оценки, аналогичные оценкам Полтеровича-Жируара, с которых мы и начнём, были получены в конце августа прошлого года Янгом и Ю. Мы подробно разберём каждую из этих оценок. Все необходимые определения и факты будут сообщены.

Литература:

• Liangwei Yang, Chengjie Yu, A higher dimensional generalization of Hersch-Payne-Schiffer inequality for Steklov eigenvalues.

5 марта 2016 (суббота), 11:00, ауд.304
Докладчик: Владимир Медведев (НМУ)
Тема: Об оценках Херша-Пейна-Шиффера и Полтеровича-Жируара

Аннотация:
Для спектра Стеклова, так же как и для спектра оператора Лапласа, естественной является задача об оценке собственных чисел. Можно также рассматривать оценки на различные функции от собственных чисел Стеклова. Одной из самых простых функций является функция произведения собственных чисел. Для этой функции одной из первых оценок в случае плоских областей с краем является оценка Херша-Пейна-Шиффера, а в случае римановых поверхностей с краем - оценка Полтеровича-Жируара. В докладе мы подробно разберём доказательства обоих оценок.

Литература:

• Alexandre Girouard, Iosif Polterovich, Upper bounds for Steklov eigenvalues on surfaces.

27 февраля 2016 (суббота), 11:00, ауд.304
Докладчик: Денис Фуфаев (МГУ)
Тема: Изоспектральность в задаче Неймана для трапеций

Аннотация:
Как известно, в общем случае из изоспектральности областей не следует их изометричность, однако если рассматривать лишь определенный класс областей, ответ может быть положительным. Для простейших случаев этот факт следует почти моментально, для более сложных приходится развивать определенную технику. Доклад будет посвящен соответствующему результату для класса областей-трапеций на плоскости, будет рассказано о методе нахождения спектральных инвариантов с помощью асимптотик связанных с дифференциальным оператором функций и описаны основные идеи доказательства.

20 февраля 2016 (суббота), 11:00, ауд.304
Докладчик: Арсений Райко (МГУ)
Тема: Спектр треугольников: оценки и гипотезы.

Аннотация:
Доклад будет посвящен обзору некоторых результатов B. Siudeja, связанных со спектром треугольников. Несмотря на кажущуюся простоту треугольных областей, изучение их спектров оказывается не всегда легкой, но важной задачей. Например, прямоугольные треугольники оказались крайне важны и полезны для свежих результатов, связанных со знаменитой hot spot conjecture. Другой интересный вопрос связан с симметрией/антисимметрией собственной функции, отвечающей первому ненулевому числу Неймана для равностороннего треугольника и дельтоида (kite). Нетрудно показать что один из случаев (симметрия или антисимметрия) должен иметь место, а вот понять какой именно оказалось не так просто. Для решения этой задачи опять оказалось полезным применить прямоугольные треугольники.

Большое внимание во время доклада будет уделено смешанным задачам, связанным с треугольниками (часть границы с условием Дирихле, часть с условием Неймана). Я расскажу про интересные неравенства, связанные с младшими собственными числами различных смешанных задач, доказанные факты и пока еще открытые задачи. Также я рассчитываю затронуть вопросы, связанные с симметриями собственных функций для ромбов. После этого я хочу рассказать что успею про другие известные неравенства, задачи, гипотезы и методы, связанные с треугольниками.

Осень 2015:

19 декабря 2015 (суббота), 11:00, ауд.304
Докладчик: Равиль Габдурахманов (НМУ, НИУ ВШЭ)
Тема: Обзор некоторых результатов в исследовании геометрии и спектра задачи Стеклова

Аннотация:
Я напомню про задачу Стеклова. Далее расскажу немного о различиях в её геометрии и геометриях задач Дирихле и Неймана. Потом мы посмотрим на результаты об асимптотиках и инвариантах спектра Стеклова. И увидим как гладкость границы многообразия влияет на асимптотику, посмотрев на результаты для спектров некоторых многоугольников. Затем коснёмся геометрических неравенств и оценок для собственных значений. Продолжим вопросами изоспектральности. И завершим нодальной геометрией и оценками на кратность собственных значений.

Доклад обзорный, основан на статье A.Girouard and I. Polterovich, "Spectral geometry of the Steklov problem"

12 декабря 2015 (суббота), 11:00, ауд.304
Докладчик: Родион Деев (НМУ, НИУ ВШЭ)
Тема: Неравенства на собственные числа на римановых многообразиях с нижней оценкой на кривизну Риччи (продолжение)

Аннотация:
Следуя недавней статье Асмы Хассаннежад, Иосифа Полтеровича и Герасима Кокарева, я попытаюсь рассказать про то, как ограничение снизу на скалярную кривизну риманова многообразия даёт хорошо известные ограничения на собственные числа лапласиана - неравенства Бузера, Чена и Громова.

5 декабря 2015 (суббота), 11:00, ауд.304
Докладчик: Родион Деев (НМУ, НИУ ВШЭ)
Тема: Неравенства на собственные числа на римановых многообразиях с нижней оценкой на кривизну Риччи

Аннотация:
Следуя недавней статье Асмы Хассаннежад, Иосифа Полтеровича и Герасима Кокарева, я попытаюсь рассказать про то, как ограничение снизу на скалярную кривизну риманова многообразия даёт хорошо известные ограничения на собственные числа лапласиана - неравенства Бузера, Чена и Громова.

28 ноября 2015 (суббота), 11:00, ауд.304
Докладчик: Владимир Медведев (НМУ, ИПУ РАН)
Тема: О работе Брайанта о суперминимальных погружениях поверхностей в сферу (продолжение).

Аннотация:
Мы продолжим строить по данному минимальному погружению двумерной сферы в четырёхмерную единственную голоморфную кривую в пространстве твисторов четырёхмерной сферы, CP^3. Я надеюсь завершить доказательство теоремы Брайанта. Важными для нас будут понятие суперминимального погружения и его спина. Для доказательства теоремы Брайанта нам также понадобятся некоторые факты из алгебраической и кэлеровой геометрий (все они будут сообщены).

21 ноября 2015 (суббота), 11:00, ауд.304
Докладчик: Владимир Медведев (НМУ, ИПУ РАН)
Тема: О работе Брайанта о суперминимальных погружениях поверхностей в сферу (продолжение).

Аннотация:
Мы продолжим разбирать теорему Брайанта о поднятии минимального погружения римановой поверхности в четырёхмерную сферу до голоморфной кривой в пространстве твисторов этой сферы, CP^3. В прошлый раз мы успели получить структурные уравнения, на этом вычислительная часть теоремы Брайанта практически закончена. Кроме полученных уравнений для понимания доказательства теоремы Брайанта нам понадобятся некоторые факты из кэлеровой и алгебраической геометрий (всё необходимое будет сообщено).

14 ноября 2015 (суббота), 11:00, ауд.304
Докладчик: Владимир Медведев (НМУ, ИПУ РАН)
Тема: О работе Брайанта о суперминимальных погружениях поверхностей в сферу

Аннотация:
Вслед за результатами Калаби и Барбосы о связи минимальных погружений двумерных сфер в n-мерные с (псевдо)голоморфными кривыми мы проследуем к результатам Брайанта, описывающим связь минимальных погружений римановых поверхностей в четырёхмерную сферу с голоморфными кривыми в CP^3, которые можно рассматривать как обобщение результатов Барбосы и Калаби для этого частного случая минимальных погружений. Ключевым понятием в докладе будет понятие суперминимального погружения.

7 ноября 2015 (суббота), 11:00, ауд.304
Докладчик: Никита Клемятин (МГУ)
Тема: О работе Барбосы о минимальных погружениях двумерной сферы в многомерные сферы.

Аннотация:
Я расскажу статью Барбосы, в которой доказывается, что площадь минимальной иммерсии двумерной сферы в n-мерную делится на 4*pi. Это усиливает недавно обсуждавшийся результат Калаби.

31 октября 2015 (суббота), 11:00, ауд.304
Докладчик: Арсений Райко (МГУ)
Тема: О последней работе Симона Аритурка

Аннотация:
Я расскажу о последней работе Синона Аритурка. Речь пойдет о телах вращения. Будет доказано, что кольцо максимизирует все собственные значения оператора Лапласа-Бельтрами для задачи Дирихле среди поверхностей вращения с двумя компонентами границы. Техника, привлеченная для доказательства, позволяет доказать похожий еще один факт: половина геликоида максимизирует все собственные значения задачи Дирихле в классе поверхностей, инвариантных относительно винтового действия окружности в R^2 x S^1 с такой же границей. Будут привлечены средства из функционального анализа.

24 октября 2015 (суббота), 11:00, ауд.304
Докладчик: Владимир Медведев (НМУ, ИПУ РАН)
Тема: О работе Калаби о гармонических отображениях двумерной сферы в n-мерную (продолжение).

Аннотация:
Мы продолжим изучение гармонических отображений двумерной сферы в n-мерную и докажем теорему Калаби о гармоническом образе двумерной сферы.

17 октября 2015 (суббота), 11:00, ауд.304
Докладчик: Н.С.Надирашвили (CNRS)
Тема: Изопериметрическое неравенство для третьего собственного числа оператора Лапласа-Бельтрами на сфере

10 октября 2015 (суббота), 11:00, ауд.304
Докладчик: Владимир Медведев (НМУ, ИПУ РАН)
Тема: О работе Калаби о гармонических отображениях двумерной сферы в n-мерную (продолжение).

Аннотация:
Мы продолжим разговор про теорему Калаби о гармонических отображениях между сферами: я расскажу более подробно об устройстве изотропного пространства и попытаюсь дать набросок доказательства теоремы Калаби.

3 октября 2015 (суббота), 11:00, ауд.304
Докладчик: Владимир Медведев (НМУ, ИПУ РАН)
Тема: О работе Калаби о гармонических отображениях двумерной сферы в n-мерную.

Аннотация:
Мы продолжим изучение гармонических отображений и обсудим фундаментальную теорему Калаби, которая классифицирует гармонические отображения двумерной сферы в n-мерную. Все необходимые сведения для понимания этой теоремы будут даны.

26 сентября 2015 (суббота), 11:00, ауд.304
Докладчик: Владимир Медведев (НМУ, ИПУ РАН)
Тема: Экстремальные метрики и гармонические отображения.

Аннотация:
Мы продолжим изучение экстремальных метрик. Рассмотрим задачу о поиске экстремальных метрик на компактных римановых поверхностях без края. Оказывается, что в этом случае нам придётся расширить класс искомых метрик (супремум первого собственного числа достигается для метрик, имеющих конченое множество конических особенностей (Петридес, 2013)). Эти особенности проистекают из особенностей минимальных погружений, которые являются частным случаем гармонических отображений. В связи с этим нам предстоит разобраться с теорией гармонических отображений. Мы поговорим о результатах Петриеса 2013 года об экстремальных метриках на римановых поверхностях без края и об основных свойствах гармонических отображений.

19 сентября 2015 (суббота), 11:00, ауд.304
Докладчик: Владимир Медведев (НМУ, ИПУ РАН)
Тема: Оператор Лапласа-Бельтрами, минимальные погружения и экстремальные метрики.

Аннотация:
Мы продолжим изучение экстремальных метрик и докажем важнейшую теорему (теорему Надирашвили-Эль Суфи-Илиаса), дающую ответ, когда метрика на данном многообразии является экстремальной. Все необходимые определения и важные для доклада факты будут сообщены.

12 сентября 2015 (суббота), 11:00, ауд.304
Докладчик: Владимир Медведев (НМУ, ИПУ РАН)
Тема: Оператор Лапласа-Бельтрами и минимальные погружения.