На главную страницу НМУ

С.М.Натанзон

Анализ на многообразиях (2 курс 1 семестр 1994г.)

Программа курса

1. Определение гладкого многообразия. Примеры гладких многообразий. Подмногообразия $R^n$, выделяемые системой уравнений.
2. Векторы и ковекторы в точке. Вектор скорости кривой на многообразии. Градиентное ковекторное поле.
3. Поле реперов на многообразии. Ориентация многообразия. Ориентируемость многообразия, заданного системой уравнений в $R^n$.
4. Критерий ориентируемости многообразия черрез атлас локальных карт. Критерий ориентируемости многообразия через замкнутую цепочку локальных карт. Примеры неориентируемых многообразий.
5. Тензоры типа $(p,g)$. Произведение тензоров. Тензоры типа $(0,k)$ как полилинейные формы на касательном пространстве.
6. Кососимметрические тензоры типа $(0,k)$. Альтернация тензоров типа $(0,k)$. Алгебра кососимметрических тензоров.
7. Базисные векторы $\frac{\partial}{\partial x^i_\alpha}$. Базисные тензоры $d x^{i_1}_\alpha\wedge\dotsb\wedge d x^{i_k}_\alpha$. Преобразование базисных тензоров при заменах координат. Дифференциальные формы ранга $k$ ($k$-формы).
8. Дифференциал дифференциальной формы. Дифференциал произведения форм. Второй дифференциал формы.
9. Интегрирование в $R^n$. Верхние и нижние суммы Дарбу. Интеграл как линейный функционал.
10. Интегрируемость непрерывной функции. Интеграл от непрерывного семейства непрерывных функций. Теорема Фубини.
11. Разбиение единицы.
12. Теорема о разложении диффеоморфизма в суперпозицию элементарных.
13. Замена переменных в интеграле.
14. Интеграл от дифференциальной формы на многообразии.
15. Теорема Стокса для куба в $R^n$.
16. Многообразия с краем. Индуцированная ориентация на крае. Ограничение дифференциальных форм на подмногообразия.
17. Общая теорема Стокса.
18. Риманово многообразие. Форма объема на римановом многообразии. Формы объема на подмногообразиях в $R^n$. Интегралы первого и второго рода.
19. Теоремы Грина, Гауса и Стокса (для поверхностей в $R^3$).
20. Пространство гладких функций на многообразии. Вектор как дифференцирование в пространстве функций.
21. Бескоординатный язык в теории многообразий. Гладкие отображения. Отображения векторов и дифференциальных форм при гладких отображениях. Критические точки отобрражений.
22. Множества меры 0 на многообразиях.
23. Теорема Сарда о критических точках гладких отображений.
24. Теорема Уитни о вложениях и погружениях гладкого многообразия.
25. Функции Морса.