1. Процессы, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями. Основные понятия. Одномерные экологические модели.
2*. Первые интегралы. Гамильтоновы системы на плоскости. Уравнения на прямой. Системы с разделяющимися переменными. Ход лучей на плоскости: Уравнения Лоттка- Вольтерра.
3*. Линейные уравнения. Уравнения с периодическими коэффициентами. Монодромия. Комплексные линейные и однородные уравнения. Плотность комплексных фазовых кривых. Уравнения на торе.
4*. Уравнения Ньютона. Закон сохранения энергии. Лемма Морса. Периоды малых колебаний и углы наклона сепаратрис. Маятник.
5. Принцип сжатых отображений. Полнота пространства С непрерывных функций на компакте. Теорема существования, единственности и непрерывной зависимости от начальных условий и параметров.
6. Действие диффеоморфизма на векторное поле. Теорема о выпрямлении. Фазовые потоки. Полная система первых интегралов. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными первого порядка.
7. Введение в теорию Фробениуса.
8. Линеаризация. Фазовые потоки линейных автономных систем. Экспонента линейного оператора. Два определения экспоненты. Экспонента жордановой клетки и комплексного числа. Вычисление экспоненты.
9*. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами. Рекуррентные последовательности.
10*. Линейные уравнения и системы со специальной правой частью. Вариация постоянных.
11. Линейные уравнения и системы с переменными коэффициентами. Глобальная теорема существования. Определитель Вронского. Формула Лиувилля-Остроградского. Искажение фазового объема.
12. Устойчивость неподвижной точки для уравнений и отображений. Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению.
13. Предельные циклы. Орбитальная устойчивость периодических решений. Теорема Флоке. Аттракторы.
14. Подкова Смейла для школьников.
15. Введение в многомерный комплексный анализ. Полнота пространства голоморфных функций на полидиске.
16. Теорема существования, единственности и аналитической зависимости от начальных условий решения аналитического дифференциального уравнения.
17. Теорема об обратном отображении в Банаховом пространстве.
Примечание. Пункты, обозначенные * , излагаются частью на лекциях, частью в виде циклов задач. Освободившееся время позволит ввести в программу лекций новые разделы.
Курс читается в течении семестра по две лекции в неделю. В конце семестра - письменные зачет и экзамен.
