1. 2 часа в неделю - лекции мелко перемешанные с семинарами. Кроме того студентам рекомендуется самостоятельно заниматься писанием программ, результаты которых также будут обсуждаться на занятиях.
2. Алгоритмы решения задач обсуждаются наряду с аналитическими задачами.
3. Будет рекомендована литература. Надеюсь, она будет в читальном зале. Кроме того будут раздаваться (при условии работы ксерокса) материалы по курсу.
1. Прикладные задачи: потребности и возможности. Точность и устойчивость к ошибкам измерений. Оценки. Контроль числовых данных. Примеры. Метод наименьших квадратов.
2. Итерационные методы решения уравнений. Методы Герона и Теона для извлечения корней. Сходимость итераций в малом. Бассейны притяжения. Метод Ньютона-Рафсона. Множества Жюлиа. Хаусдорфова размерность фрактальных множеств.
3. Графики функций двух переменных. Изоповерхности. Стационарные точки. Лемма Морса. Вырожденные критические точки функций и отображений. Бифуркации и катастрофы.
4. Метод стационарной фазы для асимптотического вычисления интегралов от быстроосциллирующих функций.
5. Разложение Тейлора и аппроксимация Паде. Интерполяционные многочлены в формах Лагранжа и Ньютона. Варианты с заданием производных. Константа Лебега и оптимизация узлов интеполяции.
6. Сплайны и прогонка.
7. Численное решение задачи Коши для обыкн. дифф. ур.
8. Численное решение краевой Коши для обыкн. дифф. ур.
9. Итерации конечномерных линейных операторов. Теория возмущений.
10. Тригонометрическая интерполяция на равномерной сетке. Ряд Фурье. Примеры. Соотношение между скоростью убывания коэффициентов и гладкостью функции. Явление Гиббса. Задача Штурма-Лиувилля. L^2-аппроксимация. Полиномы Лежандра. Интеграл Фурье и теорема Планшереля.
11. Решение уравнений в частных производных с помощью разложений в ряды по собственным функциям.
12. Разностная аппроксимация ур.ч.п. Примеры. Аппроксимация. Критерий фон Неймана. Равномерно полуограниченные операторы. Устойчивость разностных схем. Сходимость. Теорема Рябенького-Лакса.
Нелинейные уравнения в частных производных первого порядка. Первые интегралы. Характеристики. Критерий Куранта. Гауссовы квадратурные формулы. Равномерная аппроксимация. Т. Вейерштрасса и Чебышева.
