1. Прикладные задачи: потребности и возможности. Точность и устойчивость к ошибкам измерений. Оценки. Контроль числовых данных. Примеры. Метод наименьших квадратов.
2. Физическая размерность. Система алгебраических уравнений для определения безразмерных параметров задачи. Период колебаний идеального маятника.
3. Итерационные методы решения уравнений. Методы Герона и Теона для извлечения корней. Сходимость итераций в малом. Бассейны притяжения. Метод Ньютона -- Рафсона. Множества Жюлиа. Хаусдорфова размерность фрактальных множеств.
4. Графики функций двух переменных. Изоповерхности. Стационарные точки. Лемма Морса. Вырожденные критические точки функций и отображений. Бифуркации и катастрофы.
5. Метод стационарной фазы для асимптотического вычисления интегралов от быстроосциллирующих функций.
6. Разложение Тейлора и аппроксимация Паде. Интерполяционный многочлен в форме Лагранжа. Варианты с заданием производных. Константа Лебега и оптимизация узлов интеполяции.
7. Сплайны и прогонка. Теорема Гершгорина.
8. Разностное решение краевой Коши для обыкн. дифф. ур.
9. Итерации конечномерных линейных операторов. Теория возмущений спектра.
10. Вариационные задачи. Уравнения Эйлера и Якоби. Сопряженные точки и положительная определенность. Функционалы со старшими производными. Функционалы с частными производными. Условия трансверсальности. Вариационное согласование. Условный экстремум и множители Лагранжа. Оптимизация формы маятника. Задача Дидоны. Брахистохрона. Возможность негладких экстремалей.
11. Решение уравнений в частных производных с помощью преобразований Лапласа и Фурье.
12. Решение уравнений в частных производных с помощью разложений в ряды по собственным функциям.
13. Разностная аппроксимация ур.ч.п. Примеры. Аппроксимация. Классификация двухуровенных и многоуровенных схем с помощью аппроксимации Паде. Фильтрация паразитарных волн в начальных данных для многоуровенных схем. Критерий фон Неймана. Равномерно полуограниченные операторы. Устойчивость разностных схем. Сходимость. Теорема Рябенького -- Лакса.
14. Первые интегралы для обыкновенных диф. уравнений. Фазовый портрет. Первые интегралы для ур.ч.п.
15. Уравнение Кортевега - де Фриза. Решения типа бегущей волны.
16. Равномерная аппроксимация. Многочлены Чебышева.
