На главную страницу НМУ

Л.Е.Посицельский

Обратная задача теории Галуа

Главной целью курса является доказательство теоремы Шафаревича о реализуемости разрешимых групп в качестве групп Галуа над числовыми полями. При наличии времени можно будет также построить регулярные реализации некоторых неабелевых простых групп.

Предварительные сведения: предполагается знакомство с когомологиями групп, конечномерными простыми алгебрами над произвольными полями и теорией ветвления числовых полей. Знание теории полей классов желательно, но не обязательно (необходимые результаты будут представлены по ходу курса, но, вероятно, без полных доказательств).

Курс рассчитан на студентов 4-5 курсов.

Программа

1. Группы Брауэра числовых полей. Гомологическая размерность поля Q^cycl.
2. Задача погружения. Подгруппы Фраттини. Проективные проконечные группы.
3. Расщепимая задача погружения с абелевым ядром. "Разрешимая часть" гипотезы Шафаревича.
4. Условие согласности (по книжке Ишханова-Лурье-Фаддеева).
5. Двойственность Тейта. Теорема плотности Чеботарева.
6. Теоремы Нейкирха и Шафаревича.
7. Теорема неприводимости Гильберта. Гильбертовы поля.
8. Теорема существования Римана. Условия жесткости. Реализации простых конечных групп (примеры).

Литература:

• В.Ишханов, Б.Лурье, Д.Фаддеев. Задача погружения в теории Галуа.
• Касселс, Фрелих (ред.) Алгебраическая теория чисел.
• И.Р. Шафаревич. Собрание сочинений.
• J.-P. Serre. Topics in Galois theory.
• H.Voelklein. Groups as Galois groups (an Introduction).
• M.Fried, M.Jarden. Field Arithmetic.