Курс носит вводный характер. Везде, где это возможно, подчеркивается геометрическая сторона. Курс сопровождается большим количеством модельных примеров и физических интерпретаций. Ввиду обширности материала предполагается, что курс будет разбит на 2 части, соответствующие двум семестрам. Предполагается, что каждую часть можно будет сдавать отдельно.
Уравнения с частными производными первого порядка. Задача Коши, характеристическая система, полный интеграл. Пример: уравнение Гамильтона--Якоби. Пфаффовы системы и их интерпретация, как уравнений с многомерным временем. Связь уравнений с частными производными первого порядка с группами и алгебрами Ли. Пример: принцип суперпозиции в нелинейных задачах. Уравнение Лиувилля и проблема теплового равновесия.
Схема построения общей теории УЧП с использованием аналитических функций многих переменных. Задача Коши с начальными условиями на гиперплоскости $t=t_0$. Теорема Ковалевской. Проблемы: пример Ковалевской и пример Адамара. Задача с начальными условиями на многообразии.
Гиперболические уравнения и системы произвольного порядка. Характеристические многообразия, бихарактеристики, волновой фронт. Симметрические $t$-гиперболические системы. Примеры гиперболических систем и уравнений высших порядков: система Максвелла, уравнение Ишлинского. Плоские волны. Дисперсия.
Метод "бегущих волн". Факторизация одномерного волнового оператора. Обобщения. Пример: система Дирака. Волны от движущегося источника. Что будет, если скорость движения источника выше скорости звука? Гиперболические квазилинейные уравнения и системы. Дивергентная форма записи, ударные волны.
Метод "стоячих волн". Спор о струне между Эйлером, Даламбером, Бернулли и Лагранжем. Метод Фурье. Можно ли узнать по звуку форму барабана? Особенности спектральных задач для ограниченных и неограниченных областей. Преобразование Фурье и его применение. Линейные уравнения высших порядков. Парадокс КМФ. Связь с линейным вариантом проблемы Ферми - Паста - Улама.
"Стоячие волны" в нелинейных задачах. Что из метода Фурье может пригодиться в нелинейных задачах? Сильно нелинейный вариант проблемы Ферми - Паста - Улама. Связь с колмогоровскими поперечниками соболевских классов функций.
Вариационный метод. Принцип экстремального действия. Задача о минимуме квадратичного функционала. Энергетическое пространство. Обобщенное решение и его интерпретация. Простейшие варианты теорем вложения Соболева. Следы. Пример: уравнение четвертого порядка (уравнение Софи Жермен). Экстремальные свойства собственных значений. Метод Ритца. Вариационный подход в нелинейных задачах.
