На главную страницу НМУ

В.А.Гордин

Прикладная математика

Программа курса

1. Прикладные задачи: потребности и возможности. Точность и устойчивость к ошибкам измерений. Оценки. Контроль числовых данных. Примеры. Метод наименьших квадратов.
2. Физическая размерность. Система алгебраических уравнений для определения безразмерных параметров задачи. Период колебаний идеального маятника.
3. Итерационные методы решения уравнений. Метод Герона для извлечения корней. Сходимость итераций в малом. Бассейны притяжения. Метод Ньютона. Множества Жюлиа.
4. Графики функций двух переменных. Изоповерхности. Стационар\-ные точки. Лемма Морса. Вырожденные критические точки функций и отображений.
5. Метод стационарной фазы для асимптотического вычисления интегралов от быстроосциллирующих функций. Лемма Эрдейи (без доказательства).
6. Интерполяционный многочлен в форме Лагранжа. Варианты с заданием производных. Константа Лебега и оптимизация узлов интеполяции.
7. Многочлен, наименее удаленный в узлах от заданных значений. Задача линейного программирования.
8. Сплайны и прогонка. Теорема Гершгорина.
9. Аппроксимация Паде. Компактные схемы.
10. Разностное решение краевой Коши для лин. обыкн. дифф. ур.
11. Аппроксимация Паде. Компактные схемы для дифференциальных уравнений, интерполяции, фильтрации.
12. Общее решение линейных обыкновенных дифференциальных и разностных уравнений с постоянными коэффициентами.
13. Вариационные задачи. Уравнения Эйлера и Якоби. Условия трансверсальности. Сопряженные точки и положительная определенность. Функционалы со старшими произ\-вод\-ны\-ми. Функционалы с частными производными. Условия трансверсальности. Вариационное согласование. Условный экстремум при интегральных и локальных ограничениях и множители Лагранжа. Принцип наименьшего действия. Оптимизация формы маятника. Задача Дидоны. Брахистохрона. Возможность негладких экстремалей. Вариационное согласование зашумленных данных и связь с методом наименьших квадратов. Интерполяционный кубический сплайн, как решение вариационной задачи.
14. Численные методы определения минимума гладкого функционала (без доказательств).
15. Симметричные положительно-определенные системы линейных алгебраических уравнений. Метод квадратного корня.
16. Первые интегралы для обыкновенных диф. уравнений. Фазовый портрет.
17. Уравнение Кортевега - де Вриса. Решения типа бегущей волны.
18. Основные и обобщенные функции. Топологические и метрические пространства. Примеры. Пример неметризуемого топологического пространства. Дифференцирование обобщенных функций. Норма и гильбертова метрика.