Будут приведены примеры двумерных, трехмерных и четырехмерных многообразий и способов работы с ними. Будут продемонстрирована естественность и эффективность применения алгебраических методов. Изложение построено вокруг проблем реализуемости графов на поверхностях и двумерных полиэдров (т.е. гиперграфов) в трехмерных и четырехмерных многообразиях, а также проблем существования векторных полей на маломерных многообразиях. Для понимания спецкурса достаточно знания основ топологии (например, в объеме полугодового курса в НМУ); желательно наличие пространственного воображения и знакомства с графами.
Этот спецкурс будет читаться в сентябре и октябре 2003; вместе с довеском в виде самостоятельной работы зимой 2003/04 или в виде продолжения в феврале 2004 его можно будет сдать в качестве полугодового.
0. Двумерные полиэдры (гиперграфы). Цилиндр и конус над графом. Декартово произведение графов.
1. Формулировки критериев Куратовского, Халина-Юнга и Клэйтора планарности графов, полиэдров и пеановских континуумов. Доказательства невложимости в этих теоремах.
2. Фазовое пространство пар различных точек (взрезанный квадрат) и препятствие взрезанного квадрата к вложимости в плоскость. Полнота этого препятствия для пеановских континуумов.
3. Аппроксимируемость вложениями отображений графов в плоскость. Необходимое условие взрезанного квадрата для аппроксимируемости вложениями.
4. Вложимость двумерных полиэдров в трехмерное пространство. Примеры трехмерных многообразий: шары с ручками (порядка 1 или 2). Ложные поверхности и специальные двумерные полиэдры. Когомологическое препятствие Матвеева к их вложимости в трехмерные многообразия.
5. Общее положение и теорема вложимости двумерных полиэдров в пятимерное пространство. Теорема Борсука-Улама и пример двумерного полиэдра, не вложимого в $R^4$. Пример стягиваемого двумерного полиэдра, невложимого в $R^3$.
6. Вложимость произвольного двумерного полиэдра в некоторое 4-многообразие. Реализуемость произвольной конечно-определенной группы фундаментальной группой некоторого 4-многообразия.
7. Ориентируемость и первый класс Штифеля-Уитни. Когомологии графов. Классификация утолщений графов.
8. Существование ненулевых векторных полей и класс Эйлера. Класс Эйлера как число пересечений.
9. Построение невырожденных реперных полей на 3-многообразиях и классы Штифеля-Уитни. Теорема Штифеля о параллелизуемости ориентируемых 3-многообразий (формулировка).
Темы 0--6 изложены в лекциях.
Темы 7--10 изложены в статье:
Д. Реповш и А. Скопенков, Характеристические классы для начинающих,
Мат. Просвещение, 6 (2002), 60--77,
см. также паргра 3 статьи
Д. Реповш и А. Скопенков, Теория препятствий для начинающих,
Мат. Просвещение, 4 (2000), 154--180,
(в которой вам также понравится паргра 2).
Консультации по материалу для самостоятельного изучения и экзамен состоятся в январе и феврале 2004.
