А.М.Филимонов

Уравнения с частными производными (вводный курс)

Комментарий

Курс носит вводный характер. Везде, где это возможно, подчеркивается геометрическая сторона. Курс сопровождается большим количеством модельных примеров и физических интерпретаций. Ввиду обширности материала предполагается, что курс будет разбит на 2 части, соответствующие двум семестрам. Предполагается, что каждую часть можно будет сдавать отдельно. Необходимые сведения по функциональному анализу и группам Ли будут сообщаться по ходу изложения.

Уравнения с частными производными первого порядка.: Задача Коши, характеристическая система, полный интеграл. Пфаффовы системы и их интерпретация, как уравнений с многомерным временем. Связь уравнений с частными производными первого порядка с группами и алгебрами Ли. Пример: принцип суперпозиции в нелинейных задачах.
Схема построения общей теории УЧП с использованием аналитических функций многих переменных.: Задача Коши с начальными условиями на гиперплоскости t=t_0. Теорема Ковалевской. Пример Ковалевской и пример Адамара. Задача с начальными условиями на многообразии.
Гиперболические уравнения и системы произвольного порядка.: Характеристические многообразия, бихарактеристики, волновой фронт. Симметрические t-гиперболические системы. Примеры гиперболических систем и уравнений высших порядков: система Максвелла, уравнение Ишлинского. Плоские волны. Дисперсия.
Метод "бегущих волн".: Факторизация одномерного волнового оператора. Обобщения. Пример: система Дирака. Волны от движущегося источника. Что будет, если скорость движения источника выше скорости звука? Гиперболические квазилинейные уравнения и системы. Дивергентная форма записи, ударные волны.
Метод "стоячих волн".: Спор о струне между Эйлером, Д'Аламбером, Бернулли и Лагранжем. Метод Фурье. Можно ли узнать по звуку форму барабана? Введение в спектральную теорию. Преобразование Фурье и его применение. Линейные уравнения высших порядков. Парадокс КМФ. Связь с линейным вариантом проблемы Ферми-Паста-Улама.
"Стоячие волны" в нелинейных задачах.: Что из метода Фурье может пригодиться в нелинейных задачах? Сильно нелинейный вариант проблемы Ферми-Паста-Улама. Связь с колмогоровскими поперечниками соболевских классов функций.
Вариационный метод.: Принцип экстремального действия. Задача о минимуме квадратичного функционала. Энергетическое пространство. Обобщенное решение и его интерпретация. Простейшие варианты теорем вложения Соболева. Следы. Пример: уравнение четвертого порядка (уравнение Софи Жермен). Экстремальные свойства собственных значений. Метод Ритца.