На главную страницу НМУ

А.М.Райгородский

Задачи комбинаторной геометрии

1. Введение. Основные задачи комбинаторной геометрии

Проблема (гипотеза) Борсука, проблема Хадвигера-Гохберга-Маркуса-Болтянского (задача освещения), задача Грюнбаума, задачи, связанные с теоремой Хелли, задача Эрдеша-Хадвигера о хроматическом числе пространства и др.

2. Проблема Борсука. Размерности 1, 2 и 3

1. Доказательство гипотезы Борсука в размерности 2. Лемма Пала об "универсальной покрышке", теорема (оценка) Борсука, точность оценки Борсука (пример).
2. Неэлементарные доказательства гипотезы Борсука в размерности 3. Теоремы Эгглстона и Перкала.
3. Элементарные доказательства гипотезы Борсука в размерности 3. Лемма Гэйла об "универсальной покрышке", теоремы Хеппеша, Грюнбаума, Макеева, Райгородского.
4. Проблема "зазора" в размерности 3. Гипотеза Гэйла. Универсальные покрывающие системы. Теорема Хелли. Теоремы Каратеодори и Радона. Теорема Юнга. Теоремы Райгородского-Калнишкана.
5. Доказательство гипотезы Борсука для многоугольников на плоскости. Лемма Эрдеша.
6. Доказательство гипотезы Борсука для трехмерных многогранников. Теорема Хеппеша-Ревеса.

2'. Проблема Борсука. Универсальные покрывающие системы в размерности 4

3. Проблема Борсука. Случай растущей размерности

1. Нижние оценки. Пример правильного симплекса. Теорема Борсука о шаре. Теорема Ленца о множествах постоянной ширины.
2. Некоторые верхние оценки. Теоремы Ленца, Кнаста, Борсука и Лассака. Понятие об упаковках множеств в пространстве и на сфере: теоремы Данцера, Роджерса и Бургейна-Линденштраусса.
3. Доказательства гипотезы Борсука в частных случаях. Теорема Хадвигера о множествах с гладкой границей. Теорема Рислинга о центрально-симметричных множествах. Теорема Роджерса о множествах с группой симметрий правильного симплекса.

4. Задача освещения.

1. Две эквивалентных постановки задачи, число освещения. Теорема Болтянского. Гипотеза Хадвигера-Маркуса-Гохберга. Связь с проблемой Борсука.
2. Доказательство гипотезы Хадвигера-Маркуса-Гохберга на плоскости.
3. Верхние оценки Левина-Петунина и Роджерса для числа освещения центрально-симметричного тела произвольной размерности.
4. Верхние оценки Мартини-Болтянского-Солтана для чисел освещения зонотопов, зоноидов и поясковых тел произвольной размерности.
5. Доказательство гипотезы Хадвигера и др. для центрально-симметричных тел в трехмерном пространстве. Теорема Лассака. Теорема Декстера.
6. Доказательство гипотезы Хадвигера и др. (в произвольной размерности) для тел c гладкой границей, а также для тел с малым числом особенностей на границе. Теоремы Хадвигера, Болтянского, Чаразишвили.
7. Случай множества постоянной ширины. Оценка Лассака в размерности 3. Асимптотическая оценка Шрамма. Следствие для проблемы Борсука.

5. Задача Грюнбаума.

1. Естественная связь задачи Грюнбаума с проблемой Борсука. Решение задачи на плоскости.
2. Решение задачи в трехмерном пространстве. Теорема Кацаровой-Карановой.
3. Оценки с ростом размерности. Нижняя оценка Данцера. Теорема Бургейна-Линденштраусса.