Теория эллиптических гипергеометрических функций создана в 1997-2005 гг. усилиями нескольких групп исследователей, включая лектора с соавторами. Она еще находится в стадии развития и основной материал курса доступен только в оригинальных математических статьях. Курс затрагивает большинство структурных элементов общей теории специальных функций, позволяющей решать "конкретные" дифференциальные, конечно-разностные, и другие уравнения.
Эллиптические функции и тета-функции. Классические ортогональные полиномы, связанные с однократными обычными и $q$-гипергеометрическими рядами и интегралами. Общее определение эллиптических гипергеометрических рядов и интегралов. Решение конечно-разностных уравнений первого порядка с эллиптическими коэффициентами. Эллиптические гамма-функции. Понятия балансировки, вполне уравновешенности и совершенной уравновешенности. Формула суммирования Френкеля-Тураева. Однократный эллиптический бета интеграл — новый тип точно вычисляемых интегралов математического анализа. Цепочки Бэйли и их интегральные аналоги. Эллиптический аналог гипергеометрической функции Гаусса $_2F_1$ и его свойства. Связь с исключительной группой Вейля $E_7$. Биортогональные рациональные функции, выражающиеся через $_{12}V_{11}$ эллиптический гипергеометрический ряд, их двухиндексное обобщение и соответствующая обрывающаяся цепная дробь.
Функции многих переменных. Многократные эллиптические бета-интегралы на системах корней $A_n$ и $C_n$. Эллиптический аналог интеграла Сельберга. Анализ вычетов и многократные формулы суммирования. Интегральные преобразования на корневых системах с ядрами гипергеометрического типа. Многомерные биортогональные функции. Приложения в математической физике (уравнение Янга-Бакстера, классические интегрируемые системы, модели типа Калоджеро-Сазерленда). Открытые проблемы и перспективные направления.
