О.В.Шварцман

Геометрия

Для студентов 1 курса

Программа курса

Комплексная плоскость С и ее пополнение бесконечно удаленной точкой. Стереографическая проекция. Геометрия Мебиуса — это геометрия окружностей на пополненнном C. Аффинные комплексные преобразования z→az+b.
Дробно-линейные преобразования (с комплексными коэффициентами) С и их продолжение на пополненную C (группа Мебиуса). Дробно-линейное преобразование вполне определяется образами трех точек. Отражения(они же инверсии).
Окружности переходят в окружности,углы сохраняются. Отражения все порождают.
Демонстрация некоторых возможностей группы Мебиуса: спаривание непересекающихся дисков по Шоттки, три попарно касающихся диска, задача Апполония и все такое.
Группа Мебиуса и невырожденные комплексные 2×2-матрицы. Классификация элементов труппы Мебиуса с точностью до сопряженности. Динамика параболических и локсодромических элементов.
О некоторых важных геометрических подгруппах группы Мебиуса: стабилизатор точки и стабилизатор диска.
Геометрия Лобачевского как след геометрии Мебиуса на внутренности диска.

Деликатесы: 1. Свободная группа — это не просто слова: группы Шоттки.
2. Стереометрия Лобачевского: действие группы Мебиуса продолжается (с помощью отражений) с границы трехмерного диска на его внутренность.