Постоянный научно-исследовательский семинар "Гомологические аспекты геометрии дифференциальных уравнений", работающий в НМУ уже несколько лет, посвящён алгебраическим и геометрическим аспектам современной теории дифференциальных уравнений. Особое внимание уделяется когомологическим конструкциям, отвечающим за важнейшие инварианты ДУ. В ближайших двух семестрах предполагается сосредоточиться на вопросах, связанных с пуассоновыми структурами на бесконечно продолженных уравнениях.
На семинаре обсуждаются новейшие публикации по его тематике и результаты, полученные участниками.
Приглашаются все желающие.
Чтобы включить свой адрес в список рассылки семинара, обращайтесь к Александру Вербовецкому <verbovet СОБАКА mccme.ru>.
19 декабря
Докладчик: А.М.Лукацкий
Тема: Структурно-геометрические свойства бесконечномерных групп Ли в
применении к уравнениям математической физики
Рассматриваются различные типы бесконечномерных групп Ли, служащих конфигурационными пространствами для указанных ниже уравнений математической физики:
группы диффеоморфизмов, сохраняющих элемент объема компактных ориентированных римановых многообразий;
обобщенные группы токов.
Бесконечномерные группы Ли снабжаются право-(или лево-) инвариантными римановыми метриками, имеющими физический смысл. Вводятся геометрические инварианты групп диффеоморфизмов, связанные с анализом устойчивости стационарных решений уравнений математической физики и позволяющие численно оценивать турбулентные эффекты.
Группы токов использовались в задаче исследования нелинейной динамики намагниченности ферромагнетиков, описываемой уравнением Ландау-Лифшица в неинтегрируемом случае (на римановых многообразиях размерности 3 и выше), однако для физических приложений требуется обобщение этого понятия.
Будет изложена конструкция, позволяющая провести групповой анализ динамики вязкой несжимаемой жидкости, описываемой уравнениями Навье-Стокса. Получен класс решений уравнений Эйлера и Навье-Стокса типа "бегущей волны" (для многомерной гидродинамики), продолжаемых во времени на бесконечность. Для определенного семейства решений уравнений Эйлера на 3-х мерном многообразии S(S^2), являющемся сферическим расслоением над двумерной сферой, строится их погружение в группу Бонди-Метнера-Закса, служащую конфигурационным пространством в задачах квантовой космологии.
Литература
[1] Алексовский В.А., Лукацкий А.М. Нелинейная динамика намагниченности ферромагнетиков и движение обобщенного твердого тела с группой токов // Теоретич. и математич. физика, 1990, т. 85, No.1, с. 115-123.
[2] Лукацкий А.М. О применении одного класса бесконечномерных групп Ли к динамиике несжимаемой жидкости // ПММ, 2003, т.67, вып. 5, с. 784-794.
5 декабря
Докладчик: А.Вербовецкий
Тема: Что такое кокасательное расслоение к дифференциальному
уравнению? (часть 2)
В первой части доклада (18 сентября 2002 г.) было введено l*-накрытие -- "кокасательное расслоение" к эволюционному уравнению. Во второй части будут обсуждаться произвольные уравнения.
28 ноября
Докладчик: И.М.Парамонова
Тема: Деформации пуассоновой и бютановой супералгебр Ли
По совместной статье Д.Лейтеса и докладчика How to quantize the antibracket, "Теоретическая математическая физика", т.126, N 3, 2001, 339-371; arXiv:math-ph/0510048
Изучаются деформации двух типов супералгебр Ли: пуассоновых супералгебр $po(2n|m)$ полиномов от $2n$ четных и $m$ нечетных переменных со скобкой Пуассона и супералгебр Бютан $b(n)$ полиномов от $n$ четных и $n$ нечетных переменных со скобкой Бютан (антискобкой).
Известно, что пуассонова супералгебра $po(2n|m)$ обладает лишь одним классом деформаций, который естественным образом проектируется на супералгебру Ли гамильтоновых векторных полей $h(2n|m)$. В докладе будет показано, что в случае исключительной размерности $2n|m= 2|2$ супералгебра Ли $h(2n|m)$ обладает дополнительным классом деформаций, связанным с главной деформацией супералгебры Бютан $b(2)$, а также будут описаны супермногообразие параметров деформации супералгебры $b(n)$ и $n+1$ пространство Фока.
14 ноября
Докладчик: И.Р.Миклашевский
Тема: Перевод геометрии дифференциальных уравнений на язык алгебры
(часть 2)
7 ноября
Докладчик: И.Р.Миклашевский
Тема: Перевод геометрии дифференциальных уравнений на язык алгебры
В центре доклада - понятие D-оболочки - алгебраического аналога джетов. Грубо говоря, D-оболочка K-алгебры A - это A-алгебра, свободно порожденная всевозможными (кратными) производными элементов A вдоль дифференцирований K.
Алгебраический подход чрезвычайно упрощает всяческие рутинные рассуждения, а также вскрывает некоторые геометрические структуры (в том числе и, по-видимому, ранее не известные).
В качестве иллюстрации я хотел бы рассмотреть три вопроса:
1) формальная разрешимость переопределенных уравнений,
2) дифференциальные инварианты,
3) вариационное исчисление.
31 октября
Докладчик: Р.А.Саркисян
Тема: О теореме Трессе для геометрических структур (часть 4)
17 октября
Докладчик: Р.А.Саркисян
Тема: О теореме Трессе для геометрических структур (часть 4)
24 октября
Докладчик: Р.А.Саркисян
Тема: О теореме Трессе для геометрических структур (часть 3)
10 октября
Докладчик: Р.А.Саркисян
Тема: О теореме Трессе для геометрических структур (часть 2)
3 октября
Докладчик: Р.А.Саркисян
Тема: О теореме Трессе для геометрических структур
Под теоремой Трессе понимается утверждение о конечной базируемости дифференциальных инвариантов геометрических структур. Для действия конечномерной группы Ли доказательство теоремы Трессе изложено, например, в книге Л.В.Овсянникова [1]. Понятная формулировка условий, обеспечивающих справедливость теоремы Трессе, для бесконечномерных групп и понятное доказательство этой теоремы имеются в работе Кумпейры [2]. Важную роль в доказательстве играют базисы Грёбнера, и также теорема регулярности, состоящая в том, что прообраз регулярной точки относительно естественной проекции J^k --> J^s регулярен. (Регулярность точки многообразия струй J^s означает, что орбиты группы диффеоморфизмов в её окрестности имеют постоянную размерность). И теорема Трессе, и теорема регулярности выполняются на открытом инвариантном всюду плотном множестве многообразия струй J^s начиная с некоторой достаточно высокой степени s. Обсуждаются также вопросы алгоритмической вычислимости дифференциальных инвариантов. Расслоения геометрических структур, как и их дифференциальные инварианты предполагаются бесконечно дифференцируемыми.
[1] Л.В.Овсянников Групповой анализ дифференциальных уравнений, М.:Наука, 1978.
[2] A.Kumpera Invariants diffe'rentiels d'un pseudogroupe de Lie. I, II, J. Differential Geometry, 10 (1975), 289-416.
26 сентября
Докладчик: В.Побережный
Тема: Фуксовы системы: проблема Римана-Гильберта, изомонодромные деформации,
уравнения Пенлеве
Будет дан обзор ряда классических задач и современных результатов аналитической теории дифференциальных уравнений. Фуксовы системы, системы с полюсами первого порядка, оказываются весьма важным объектом многих классических задач, для многих из них, работа с такими системами оказывается гораздо проблематичнее, а описание результатов сложнее чем для систем с полюсами старших порядков. Среди таких задач наиболее известной является проблема Римана-Гильберта о построении линейной системы дифференциальных уравнений с некоторыми данными свойствами. Также важной задачей имеющей множество приложений является построение и описание решений изомонодромных деформаций линейных систем и связанные с ними исследования уравнений Пенлеве. Освещение этих задач является основной темой доклада.
19 сентября
Докладчик: А.Вербовецкий
Тема: Инволютивные системы дифференциальных уравнений разных порядков
(по статье Б.Кругликова и В.Лычагина)
Классическая формальная теория приспособлена к системам дифференциальных уравнений, имеющим одинаковый порядок. В своей статье "Spencer delta-cohomology, restrictions, characteristics and involutive symbolic PDEs" (http://arxiv.org/math/0503124) авторы обобщают понятие инволютивности и ряд связанных с ним результатов на случай систем дифференциальных уравнений разного порядка. Основное внимание в статье уделено обобщённым теоремам A и B Гийемина (см. V. Guillemin, "Some algebraic results concerning the characteristics of overdetermined partial differential equations", Amer. J. Math. 90 (1968), 270-284; временно доступна по адресу http://www.mccme.ru/~verbovet/Guillemin.djvu).
12 сентября
Докладчик: И.С.Красильщик
Тема: О бездисперсионном уравнении Буссинеска
The dispersionless Boussinesq equation, which is equivalent
to the Benney--Lax equation, being a system of equations of
hydrodynamical type, is discussed. The results include: a
description of local and nonlocal Hamiltonian and symplectic
structures, hierarchies of symmetries, hierarchies of
conservation laws, recursion operators for symmetries and
generating functions of conservation laws (cosymmetries). Highly
interesting are the appearances of operators that map
conservation laws and symmetries to each other but are neither
Hamiltonian nor symplectic. These operators give rise to a
noncommutative infinite-dimensional algebra of recursion
operators.
