Почему некоторые дифференциальные уравнения удаётся проинтегрировать в квадратурах? Симметрии. Теорема Ли--Бьянки.
Гладкие многообразия. Гладкие векторные локально-тривиальные расслоения. Сечения. Структура модуля над кольцом гладких функций в множестве сечений расслоения.
Джет локального сечения в точке. Пространство джетов заданного порядка, гладкая структура в нём. Многообразие и расслоение конечных джетов. Модули джетов сечений. Канонические координаты в многообразии джетов, ассоциированные с локальной тривиализацией расслоения. Размерность многообразий джетов. Расслоения джетов над джетами меньших порядков. Графики джетов. Интегральные плоскости. Представление точек в многообразия джетов с помощью интегральных плоскостей.
Представление скалярных операторов как функций на на многообразии джетов. Индуцированные расслоения над многообразиями джетов и нелинейные операторы как сечения этих расслоений. Представление операторов как морфизмов расслоений джетов. Универсальный оператор взятия джета заданного порядка. Продолжения нелинейных операторов и соответствие с морфизмами расслоений джетов. Теорема о композиции нелинейных операторов.
Уравнения как подмногообразия в в многообразии джетов. Задание уравнений нелинейными операторами. Первое продолжение. Три определения продолжения конечного порядка и из эквивалентность. Решения уравнений.
Плоскость Картана как линейная оболочка множества интегральных плоскостей в точке. Распределение Картана, его описание в виде как прообраза интегральных плоскостей. Локальное описание распределения Картана через формы Картана. Локальный базис распределения Картана.
Инволютивные подпространства распределения Картана. Теорема о максимальных интегральных многообразиях. Тип максимального интегрального многообразия. Размерность максимальных интегральных многообразий. Описание интегральных многообразий максимальной размерности в неисключительных случаях.
Преобразования Ли как диффеоморфизмы пространства конечных джетов, сохраняющие распределение Картана. Поднятие преобразований Ли в джеты высших порядков. Случай одной зависимой переменной: соответствие между преобразованиями Ли и диффеоморфизмами пространства нулевых джетов. Случай многих зависимых переменных: контактная структура на многообразии первых джетов, соответствие между преобразованиями Ли и контактными преобразованиями многообразия первых джетов. Неисключительный случай (более одной независимая переменная) и исключительный случай (одна независимая переменная). Локальные формулы поднятия преобразований Ли.
Поля Ли. Поднятия полей Ли. Локальные формулы поднятий. Глобальность поднятий полей Ли. Инфинитезимальный аналог теоремы Ли--Беклунда.
Одномерные расслоения. Производящие функции полей Ли. Соответствие между функциями на многообразии первых джетов и полями Ли для одномерных тривиальных расслоений. Скобка Якоби в кольце гладких функций на многообразии первых джетов. Выражения для полей Ли через производящие функции и скобок Якоби в локальных координатах.
Многомерные расслоения. Универсальный элемент в расслоении джетов конечного порядка, его определение и свойства. Структурный элемент расслоения конечных джетов и свойства. Производящие сечения полей Ли как результат их подстановки структурный элемент. Скобки Якоби для производящих сечений. Представление в локальных координатах.
Конечные и инфинитезимальные симметрии, основные определения. "Физический смысл" производящих сечений. Определяющие соотношения для координатных вычислений. Примеры: симметрии уравнения Бюргерса и некоторых других уравнений математической физики. Понятие о внешних и внутренних симметриях. Использование симметрий для нахождения точных решений.
