В классической механике функции на фазовом пространстве (называемые наблюдаемыми) образуют алгебру Пуассона.
В квантовой механике наблюдаемые — это самосопряженные операторы на гильбертовом пространстве, удовлетворяющие некоторым аксиомам. Задача квантования состоит в построении по классической системе квантовой. Математически задача квантования алгебры классических наблюдаемых была поставлена Дираком.
Существует несколько разных подходов (деформационное квантование, асимптотическое квантование,...). Мы будем интересоваться геометрическим квантованием.
Геометрическое квантование занимается квантованием алгебры Пуассона функций на симплектическом многообразии, исходя из геометрии этого многообразия.
Кроме физики, геометрическое квантование важно и для математики. Один из интересных аспектов — связь с методом орбит в теории представлений.
Метод орбит в теории унитарных представлений групп Ли связывает унитарные представления группы Ли G с орбитами этой группы в своем коприсоединенном представлении. Эти орбиты являются однородными симплектическими многообразиями. Оказывается, что геометрическое квантование в некотором смысле обобщает метод орбит на случай общих (неоднородных) симплектических многообразий.
В курсе мы изучим математическую сторону дела, но затронем также и физическую. Примерная программа такова.
