Г.Л.Литвинов

Деквантование Маслова и тропическая математика

Тропическая математика получается из традиционной математики над числовыми полями в результате процедуры деквантования Маслова. Это деквантование возникает из обычного деквантования Шрёдингера, если постоянная Планка стремится к нулю, принимая чисто мнимые значения. Результатом деквантования поля комплексных чисел (равно как и поля действительных чисел) является алгебра макс-плюс, состоящая из всех действительных чисел и символа -\∞ сложение ⊕ в этой алгебре определяется формулой x⊕y=max(x,y), а умножение $\odot$ совпадает с обычным сложением. Алгебра макс-плюс является полуполем с нейтральными элементами -∞ и 0. Сложение идемпотентно, т.е. x⊕x=x для всех x. Алгебру макс-плюс часто называют тропической алгеброй (или тропическим полуполем); произвольные полукольца с идемпотентным сложением также часто называют тропическими. Тропическая математика — это математика над тропическими алгебрами, которые играют роль полей.

Основная парадигма новой теории — (идемпотентный) принцип соответствия, тесно связанный с принципом соответствия Н.Бора в квантовой теории: имеется эвристическое соответствие между важными, интересными и полезными конструкциями и результатами традиционной математики над полями и аналогичными конструкциями и результатами над тропическими алгебрами (т.е. полуполями и полукольцами с идемпотентным сложением). Систематическое и последовательное применение идемпотентного принципа соответствия приводит к многообразным новым (и часто неожиданным) результатам.

Например, основное уравнение классической механики, т.е. уравнение Гамильтона--Якоби, является тропической версией уравнения Шрёдингера; из линейности уравнения Шрёдингера над полем комплексных чисел следует, что уравнение Гамильтона--Якоби линейно в тропической математике. Вариационные принципы механики являются тропической версией известного подхода Р.Фейнмана (интегрирование по пространству траекторий) к квантовой механике. Преобразование Лежандра (связь между лагранжевой и гамильтоновой формулировками механики) совпадает с тропическим преобразованием Фурье и т.д. В результате возникает "тень" традиционной математики, т.е. тропическая математика. Связь между этими теориями аналогична связи между квантовой и классической физикой.

Тропическая математика имеет много важных приложений, в том числе в рамках традиционной математики. В частности, начиная с доклада О.Виро на Европейском математическом конгрессе в Барселоне (2000 г.), опубликованы сотни работ по тропической геометрии с приложениями в традиционной алгебраической геометрии.

Курс будет интересен математикам и физикам (начиная со студентов второго-третьего курсов).

Программа курса

0. Введение

1. Квантование и деквантование в физике и математике

2. Деквантование Маслова и тропические алгебры

3. Уравнения Гамильтона--Якоби--Беллмана и их

линейность в тропической математике. Принцип суперпозиции.

4. Тропическая абстрактная алгебра

5. Тропическая линейная алгебра и ее приложения (оптимизация

на графах, динамическое программирование и др.)

6. Тропический и идемпотентный анализ

7. Тропический и идемпотентный функциональный анализ

8. Теоремы о ядре и ядерность в тропической математике

9. Преобразование Фурье--Лежандра и тропический гармонический анализ. Теория представлений

10. Двойственность между стохастикой и оптимизацией

11. Деквантование функций и выпуклая геометрия. Многогранники Ньютона и их обобщения

12. Деквантование геометрии и амёбы

13. Принцип соответствия для алгоритмов и компьютерные приложения

14. Различные приложения (статистическая физика, компьютерная геометрия, интервальный анализ, нечеткие множества, теория возможности и др.)