В осеннем семестре 2007 года продолжит работу семинар "Когомологические аспекты геометрии дифференциальных уравнений" под руководством А.Вербовецкого и И.Красильщика.
Семинар носит учебно-исследовательский характер с акцентом на исследовательскую составляющую. Предполагается знакомиться с новыми результатами в геометрии нелинейных дифференциальных уравнений (включая результаты участников) и их приложениями в современной математической физике.
Большое внимание будет уделяться нерешённым проблемам, которые, в частности, могут послужить темами курсовых и дипломных работ.
Если Вы хотите получать рассылку информации о текущей программе семинара, сообщите, пожалуйста, по адресу verbovet ЗНАЧОК mccme.ru
19 декабря
Докладчик: А.Киселёв
Тема: Инволютивные распределения эволюционных векторных полей в образе
C-дифференциальных операторов и их аффинная геометрия
В докладе будут рассмотрены матричные C-дифференциальные операторы, образ которых в алгебре Ли эволюционных векторных полей является инволютивным распределением, т.е. замкнут относительно коммутирования. Примерами таких операторов служат гамильтоновы структуры и некоторые классы операторов рекурсии. В прообразе каждого оператора, которые будем называть фробениусовыми, возникает индуцированная структура алгебры Ли на (ко)векторах, заданная скобкой специального вида. Фактически идея изучать и описывать фробениусовы операторы и рекурсии есть задача классификации алгеброидов Ли над джетами.
Существует два способа определять совместность операторов: слабая совместность происходил из инфинитезимальных деформаций операторов и скобок в их прообразах, а сильная совместность есть разложимость коммутаторов полей в образах нескольких операторов по всему набору образов. Во втором случае возникают бесконечномерные инволютивные распределения конечного приведенного ранга, а в прообразе сильно совместных операторов -- бидифференциальные аффинные связности на супер-многообразиях. Коммутативные бигамильтоновы иерархии соответствуют фробениусовым алгебрам Ли приведенной размерности единица и являются геодезическими относительно возникшей связности.
Идея определять, классифицировать и изучать фробениусовы алгебры и группы Ли была предопределена в момент перехода от гамильтоновой динамики канонически сопряженных переменных, задающих точки в фазовом пространстве, к динамике полей, заданной C-дифференциальными операторами на линейных подпространствах l- и l*-накрытий над джетами (например, гамильтоновыми операторами).
Бесконечный класс фробениусовых операторов был построен уже давно в работах Соколова, Киселева, Старцева и др. по двумерным системам Тоды, ассоциированным с полупростыми алгебрами Ли; нетривиальным оказывается то, что скобки в прообразе этих операторов можно описать явно. Однако и этот класс, и гамильтоновы операторы не исчерпывают всех структур такого типа.
Будут рассказаны некоторые алгебраические и геометрические свойства фробениусовых операторов. Доклад основан на работе http://arxiv.org/abs/math-ph/0703082, совместной с Й. ван де Лером.
5 и 12 декабря семинаров не будет
28 ноября
Докладчик: А.Вербовецкий
Тема: Об одной гипотезе Купершмидта
В статье Б.А.Купершмидта "KdV6: An Integrable System" для всякой бигамильтоновой интегрируемой эволюционной системы построена её некоторая неголономная деформация. Деформированная система обладает бесконечной серией законов сохранения. Гипотеза автора статьи состоит в том, что эти законы сохранения коммутируют (в каком-то смысле).
21 ноября
Докладчик: Р.Саркисян
Тема: Local classification problems in analysis according to Arnold,
Part II (доклад на русском языке)
14 ноября
Докладчик: И.Меньшов
Тема: Некоторые вопросы гидродинамической устойчивости вихревых структур
В докладе будет рассматриваться класс одиночных вихрей, которые характеризуются отсутствием циркуляции на бесконечности. В литературе они называются изолированными, так как их ядро окружено кольцевой областью противоположной завихренности так, что полная завихренность структуры равна нулю. Результаты будут касаться линейного анализа устойчивости и прямого численного моделирования нелинейной стадии распада вихря.
7 ноября
Докладчик: Р.Саркисян
Тема: Local classification problems in analysis according to Arnold
(доклад на русском языке)
For any pseudogroup D acting on any manifold P there is a natural way to define the jet spaces J^k and J^\infty and to prolong the action of D on J^k and J^\infty. The Poincare series for every point of J^\infty may be defined too. For each "local classification problem of analysis" naturally arise the corresponding pseudogroup D acting on corresponding manifold P and we consider the prolong the action on J^k and J^\infty. V.I.Arnold proposed the following question:
Question. Is it true that the Poincare series are a rational function of t for almost any f (any f that does not belong to some set Z of co-dimension infinity in the space J^\infty)?
Followig theorem guaranties only that codim Z is more or equal to 1.
Theorem. There is a dense set V (maximal stratum) in the corresponding infinite jet space J^\infty which is a disjoint union of finite number of open sets V_1,...,V_S (atoms) such that any two points belonging to the same atom have the same Poincare series and these series are rational.
This allows one to prove the Tresse theorem for each point of V.
Among other results we emphasize the following ones:
* In principle one can explicitly derive conditions defining each atom from Lie pseudogroup equations (using finite number of differentiations and algebraic operations).
* In principle for each atom the corresponding Poincare series can be computed explicitly.
* In principle basic invariants and invariant differentiations for each point of the maximal stratum can be computed explicitly (using differentiations, algebraic operations and solution of systems of algebraic equations via implicit function theorem).
We shall discuss also some relating questions concerning pseudogroups.
31 октября
Докладчик: В.Головко
Тема: Уравнение Камассы-Холма: обзор результатов (продолжение)
24 октября
Докладчик: В.А.Юмагужин
Тема: Дифференциальные инварианты уравнений
y'' = a(x,y)y'^3 + b(x,y)y'^2 + c(x,y)y' + d(x,y)
Уравнение рассматриваемого типа можно получить из произвольного линейного о.д.у. 2-го порядка точечным преобразованием. Известно, что множество всех рассматриваемых уравнений инвариантно относительно точечных преобразований.
Каждое уравнение $\E$ рассматриваемого вида отождествляется с сечением
S_{\E}:(x,y)\mapsto (a(x,y),b(x,y),c(x,y),d(x,y))
тривиального расслоения
\pi:\R^4\times\R^2\to \R^2,
где $\R^n$ -- $n$-мерное арифметическое пространство. Т.о. всякое точечное преобразование порождает преобразование сечений расслоения $\pi$. Иными словами, всякое точечное преобразование базы расслоения $\pi$ естественным образом поднимается до диффеморфизма тотального пространства расслоения $\pi$. Последний естественно поднимается до диффеоморфизма расслоения $J^k\pi$ $k$-джетов сечений расслоения $\pi$, $k=0,1,...$.
Каждое из расслоений $J^0\pi$ и $J^1\pi$ является орбитой.
Расслоение $J^2\pi$ является объединением 2-х орбит одна из которых -- орбита общего положения, другая -- вырожденная орбита, состоит из 2-джетов уравнений, приводящихся к линейному виду точечными преобразованиями.
Расслоение $J^3\pi$ является объединением нескольких орбит, одна из которых -- орбита общего положения.
В докладе будет рассказано как строить инварианты и решать проблему эквивалентности для уравнений, 3-джеты которых лежат в орбите общего положения.
17 октября
Докладчик: В.Головко
Тема: Уравнение Камассы-Холма: обзор известных результатов
10 октября
Докладчик: Д.Туницкий
Тема: Дифференциально-геометрические структуры, ассоциированные
с уравнениями Монжа-Ампера.
3 октября
Докладчик: В.А.Головко, И.С.Красильщик
Тема: Параллельные вычисления для уравнения Камассы-Холма
Будет рассказано о вычислениях инвариантов уравнения Камассы-Холма (операторов рекурсии, гамильтоновых структур и т.д.), выполненных параллельно Полом Керстеном (Нидерланды) и Валентиной Головко (Россия).
26 сентября
Докладчик: Е.М.Бениаминов
Тема: Квантование как приближенное описание некоторого диффузионного
процесса
Рассматривается некоторый диффузионный процесс для волновой функции в фазовом пространстве. Показывается, что за время порядка 10^{-11}с этот процесс сходится к процессу, который описывается уравнением Шредингера
19 сентября
Докладчик: С.Игонин
Тема: Накрытия и фундаментальная группа в категории дифференциальных
уравнений. Часть 5
В категории дифференциальных уравнений имеется понятие накрытия, которое обобщает преобразования Бэклунда и пары Лакса из теории солитонов. Как известно, в топологии за накрытия отвечает фундаментальная группа. В докладе мы продолжим описывать аналог фундаментальной группы для накрытий в категории дифференциальных уравнений. Этот аналог - не группа, а система (часто бесконечномерных) алгебр Ли.
12 сентября
Докладчик: А.Вербовецкий
Тема: Что такое кокасательное расслоение к дифференциальному уравнению? (часть 5)
В докладе будут обсуждаться гамильтоновы структуры уравнения Камассы-Холма.
