Д.А.Шмелькин

(Рекомендовано для 4 курса)

Алгебраические группы и теория инвариантов

Теория инвариантов, или наука об алгебраических группах преобразований, является одним из старейших разделов алгебры, поскольку успела побывать в моде еще в 19 веке, и в то же время она живо развивается и сейчас. Будучи интересна сама по себе, она также может оказаться полезна и как вспомогательное средство, в том числе, как удобный язык для формулировки любых задач связанных с алгебраическими преобразованиями. В связи с этим предлагаемый курс будет ориентирован не только на будущих "разработчиков" теории инвариантов, но и на ее "пользователей". Одна из сложностей овладения этой наукой вытекает из ее богатых взаимосвязей с теориями алгебраических групп, групп и алгебр Ли, и их представлений. Я постарался свести к необходимому минимуму материал по алгебраическим группам и по возможности обойтись без алгебр Ли, впрочем все утверждения которые будут использованы без доказательства имеются в превосходных учебниках по данной теме (см. ниже).

Определение алгебраической группы. Классические группы. Действия алгебраических групп. Стабилизаторы, орбиты, замыкания орбит. Вложение аффинного действия в линейное. Теорема Шевалле об алгебраической подгруппе, однородные пространства.
Множество орбит и фактор-пространство. Регулярные инварианты. Инварианты конечных групп. Рациональные инварианты, полуинварианты, теорема Розенлихта.
Разложение Жордана в алгебраической группе. Торы и унипотентные группы. Теоремы Бореля и Ли для разрешимых алгебраических групп. Максимальные торы, борелевские подгруппы. Радикал, редуктивные группы.
Линейно-редуктивные группы и их различные характеризации, оператор Рейнольдса. Линейная редуктивность классических групп. Редуктивность и линейная редуктивность.
Теорема Гильберта об инвариантах. Теорема Вайценбёка и ее обобщения. Коварианты.
Категорный фактор аффинного многообразия и его свойства.
Первая основная теорема теории инвариантов. Инварианты тензоров. Критерий факторности морфизма. Примеры вычислений алгебр инвариантов.
Сечения Шевалле. Инварианты присоединенных представлений классических групп.
Стабильность и полустабильность по Мамфорду. Факторы проективных многообразий. Нуль-конус. Критерий Гильберта-Мамфорда.
Этальный слайс. Стратификация фактора. Стабилизатор общего положения. Теорема Луны-Ричардсона.

Список литературы:

Э.Б. Винберг и А.Л. Онищик: Семинар по группам Ли и алгебраическим группам, М. "Наука", 1988.
Э.Б. Винберг и В.Л. Попов: Теория инвариантов, Итоги науки и техники, Совр. проб. мат., Фунд. направления т. 55, 137-314, М. 1989.
Х.Крафт, Геометрические методы в теории инвариантов, М. "Мир", 1987.
M.Brion: Invariants et covariants des groupes algébriques réductifs, notes d'un cours a l'école d'été de Monastir (1996), www-fourier.ujf-grenoble.fr/~mbrion/monastirrev.ps