Почти по определению, гладкое проективное многообразие $X$ является многообразием общего типа, если отображение, заданное линейной системой сечений достаточно высокой ($m$-й) степени канонического расслоения $K_X^{\otimes m}$, бирационально на свой образ.
Верно ли, что такое m можно выбрать не зависящим ни от чего, кроме размерности $X$? Для кривых из формулы Римана-Роха легко следует, что подходит уже $m=3$ (см., например, учебник Хартсхорна). Оказывается, что для поверхностей можно взять $m=5$: этот результат впервые получен Бомбьери, но доказательство Бомбьери вроде бы очень сложное, и к тому же я его никогда не видела. Мы разберем очень красивое доказательство Рейдера, в котором строятся некоторые векторные расслоения ранга 2 и используется их нестабильность по Богомолову при определенных условиях.
Для многообразий произвольной размерности утвердительный (но неэффективный) ответ получен лишь недавно, независимо Такаямой и Хэконом-Маккернаном. Доказательство тесно связано с программой минимальных моделей (хотя и не прямо опирается на нее). В частности, там в изобилии встречаются $\mathbb Q$-дивизоры, пучки-мультипликаторы, особенности пар, и т. п.
Используется также некоторое свойство подъема плюриканонических форм с дивизоров. Его можно (и, видимо, нужно) рассматривать как результат из анализа (один из потомков теоремы Сиу о деформационной инвариантности плюриродов). Доказательства Такаямы и Хэкона-Маккернана обходятся без анализа, но они весьма технические.
Мы постараемся разобрать доказательство, возможно, оставляя некоторые "черные ящики" (например, в том, что касается вышеупомянутого подъема форм).
Будут также представлены некоторые следствия этого результата, например, гипотеза Иитаки-Севери, которая утверждает, что любое заданное многообразие доминирует лишь конечное число многообразий общего типа.
Если будет время и настроение, можно разобрать еще и подход к теореме Богомолова, основанный на теореме Каваматы-Фивега об обращении в нуль: это в каком-то смысле свяжет воедино двумерный и многомерный случаи.
Думаю, потребуется 6-7 лекций (а точнее, вряд ли меня хватит на большее). Начать можно 8 октября.
Предполагается знание основ алгебраической геометрии.
