В осеннем семестре 2008--2009 года продолжит работу семинар "Когомологические аспекты геометрии дифференциальных уравнений" под руководством А. Вербовецкого и И. Красильщика.
Семинар носит учебно-исследовательский характер с акцентом на исследовательскую составляющую. Предполагается знакомиться с новыми результатами в геометрии нелинейных дифференциальных уравнений (включая результаты участников) и их приложениями в современной математической физике.
Большое внимание будет уделяться нерешённым проблемам, которые, в частности, могут послужить темами курсовых и дипломных работ.
Если вы хотите получать рассылку информации о текущей программе семинара, сообщите, пожалуйста, по адресу verbovet блямба mccme.ru
24 декабря
Докладчик: А.Киселёв
Тема: Инволютивные распределения операторно-значных эволюционных
векторных полей
Аннотация:
Будет дано не зависящее от координат определение матричных C-дифференциальных операторов, образы которых в алгебре Ли эволюционных векторных полей на бесконечных джетах замкнуты относительно коммутирования. Известен класс таких операторов, задающих факторизации высших (в частности, нётеровых) симметрий двумерных цепочек Тоды, ассоциированных с комплексными полупростыми алгебрами Ли; в докладе будут сосчитаны явно все коммутационные соотношения в этих алгебрах симметрий и указаны их свойства. Будет показано также, что коммутирование векторных полей, принадлежащих непрямой сумме образов нескольких C-дифференциальных операторов, определяется бидифференциальным структурными константами, закон преобразования которых обобщает известное правило пересчёта коэффициентов аффинной связности. Двумерные цепочки Тоды соответствуют как раз прямой сумме двух образов и коммутированию соответствующих компонент алгебры симметрий.
17 декабря
Докладчик: В.Четвериков
Тема: Задача плоскостности и преобразование C-спектральных
последовательностей
Аннотация:
Известное описание члена E_1 С-спектральной последовательности Виноградова для пространства джетов зависит от выбора модульной структуры на алгебре высших симметрий над кольцом гладких функций. Переходы от одной модульной структуры к другой задаются обратимыми C-дифференциальными операторами и определяют преобразования C-спектральных последовательностей.
Задача плоскостности состоит в ответе на вопрос: можно ли заданную систему дифференциальных уравнений преобразовать в пространство джетов? Положительный ответ на данный вопрос означает, что, во-первых, алгебра высших симметрий системы снабжается модульной структурой, и во-вторых, существует обратимый С-дифференциальный оператор, который преобразует С-спектральную последовательность системы в C-спектральную последовательность пространства джетов. В докладе будет выведено уравнение на такой оператор, а также будут исследованы методы решения этого уравнения.
10 декабря заседание не состоится
26 ноября
Докладчик: В.Юмагужин
Тема: Алгебра скалярных дифференциальных инвариантов уравнений
y''=a(x,y)(y')^3+b(x,y)(y')^2+c(x,y)y'+d(x,y).
Аннотация:
Пусть $\pi$ - естественное расслоение рассматриваемых уравнений и $J^k\pi$ - его расслоение $k$-джетов. Псевдогруппа точечных преобразований базы действует на этих расслоениях. В результате они разбиты на орбиты. В частности, $J^3\pi$ разбито на несколько орбит, одна из которых Orb_0 - орбита общего положения. Скалярные дифференциальные инварианты впервые появляются на $J^4\pi$. В докладе будут построены полный набор образующих и соотношений для алгебры всех скалярных дифференциальных инвариантов, определенных в $(\pi_{\infty,3})^{-1}(Orb_0)$.
19 ноября заседание не состоится
12 ноября
Докладчик: О.Морозов
Тема: Контактные интегрируемые расширения псевдогрупп симметрий и
накрытия уравнений r-mdKP r-dDym
Аннотация:
Доклад будет описывать применение метода контактных интегрируемых расширений псевдогрупп симметрий к нахождению накрытий уравнений r-mdKP и r-dDym.
5 ноября заседание не состоится
29 октября
Докладчик: А.Кушнер
Тема: Инварианты Лапласа-Коттона и проблема линеаризация
уравнений Монжа-Ампера
Аннотация:
Для уравнений Монжа-Ампера гиперболического и эллиптического типов построены дифференциальные 2-формы, являющиеся аналогами инвариантов Лапласа-Коттона для линейных уравнений. В терминах этих форм формулируются решения проблемы контактной линеаризации и проблемы приведения уравнений Монжа-Ампера к линейным уравнениям с постоянными коэффициентами. Получены две нормальные формы для таких уравнений: телеграфное уравнение и уравнение Гельмгольца.
22 октября
Докладчик: А.Вербовецкий
Тема: Скобка Пайерлса
Аннотация:
На всяком лагранжевом уравнении имеется (очевидная) каноническая симплектическая/гамильтонова структура и соответсвующая скобка. На l*-накрытии - это каноническая скобка Пуассона (этот случай обсуждался на семинаре 26 марта), а в общем случае - скобка Пайерлса.
15 октября
Докладчик: А.В.Самохин
Тема: Обзор программ для вычисления симметрий и законов сохранения
Аннотация:
В докладе будет сделан обзор наиболее распространённых программ символьных вычислений для анализа дифференциальных уравнений. Эти программы позволяют вычислять симметрии, законы сохранения и/или их производящие функции (нередко в автономном режиме), etc.
Будет продемонстрирована работа некоторых программ на платформе Maple
24 сентября
Докладчик: О.Морозов
Тема: Проблемы геометрии нелинейных дифференциальных уравнений с
более чем двумя независимыми переменными
Аннотация:
Доклад будет посвящен обзору нелинейных ДУ с более чем двумя независимыми переменными и богатой геометрической структурой, и обсуждению проблем, возникаюших при их изучении.
17 сентября
Докладчик: И.С.Красильщик
Тема: О недавних работах Е.Ферапонтова и соавторов
Аннотация:
The preprints
arXiv:0807.2409, Dispersive deformations of hydrodynamic reductions of 2D dispersionless integrable systems arXiv:0802.2626, Second order quasilinear PDEs and conformal structures in projective space arXiv:0710.2012, Hamiltonian systems of hydrodynamic type in 2+1 dimensions arXiv:0707.3433, Integrable Lagrangians and modular forms arXiv:0705.1774, Integrable equations of the dispersionless Hirota type and hypersurfaces in the Lagrangian Grassmannian
will be discussed.
10 сентября
Доклад С.Игонина 10 сентября отменяется в связи с болезнью докладчика.
Состоится обсуждение плана работы семинара в текущем семестре.
