А.Н.Рудаков

Квадратичные формы, квадратичные поля и эллиптические кривые

Курс рекомендован для студентов 2-3 курса

Краткая программа курса

1. Представление простых чисел в виде суммы квадратов. Целые гауссовы числа.
2. Наблюдения Ферма и результаты Эйлера про представления вида p=x^2 + n y^2.
3. Символ Лежандра. Квадратичный закон взаимности. Символ Якоби.
4. Классы бинарных целочисленных квадратичных форм, теорема Лагранжа.
5. Композиция, группа классов форм. Роды бинарных целочисленных квадратичных форм.
6. Поля алгебраических чисел. Целые алгебраические числа. Нормирования и пополнения.
7. Целые в мнимых квадратичных полях. Идеалы и группа классов идеалов. Порядки.
8. Решетки и двоякопериодические функции. Функция Вейерштрасса.
9. Эллиптические кривые над полем комплексных чисел. Изогении.
10. Эллиптические кривые с данным кольцом эндоморфизмов.

Подробная программа курса

1. Конечные поля, квадратичные вычеты, символ Лежандра. Теорема: закон взаимности для символа Лежандра. Символ Якоби, закон взаимности для символа Якоби.
2. Р-адические числа, основные свойства, решение уравнений (лемма Гензеля). Описание р-дических чисел как пополнения рациональных.
3. Аксиоматика нормирований, эквивалентность нормирований, неархимедовы нормирования, дискретные нормирования. Случай конечного поля вычетов: представление элементов в виде рядов. Теорема: топология определяет нормирование с точностью до эквивалентности. Теорема Островского.
4. Продолжение нормирований на конечное расширение полного локально компактного поля . теорема существования и единственности, явная формула.
5. Пополнение конечного расширения . нормирования, продолжающие данное в поле алгебраических чисел.
6. Алгебраические целые и нормирования: показатели. Разложение на множители в полях алгебраических чисел: идеалы и дивизоры (обзор). Случай мнимых квадратичных полей, их алгебраические целые, нормирования, пополнения.
7. Решетки в комплексной плоскости, подобие решеток, модулярная фигура и классы подобных решеток.
8. Решетки с комплексным умножением, порядки и идеалы для мнимых квадратичных полей. Алгоритм явного вычисление числа классов мнимого квадратичного поля.
9. Решетки и ряды мероморфных функций. Функция Вейерштрасса и эллиптическая кривая, определенная по решетке, ряды Эйзенштейна, задающие коэффициенты.
10. Модулярные формы, формула для числа полюсов/нулей. Ряды Эйзенштейна как модулярные формы. Модулярная функция j.
11. Теорема: алгебраичность j(z) , когда z принадлежит мнимому квадратичному полю.