В осеннем семестре 2009-2010 года продолжит работу семинар «Когомологиские аспекты геометрии дифференциальных уравнений» под руководством А.Вербовецкого и И.Красильщика.
Семинар носит учебно-исследовательский характер с акцентом на исследовательскую составляющую. Предполагается знакомиться с новыми результатами в геометрии нелинейных дифференциальных уравнений (включая результаты участников) и их приложениями в современной математической физике.
Большое внимание будет уделяться нерешённым проблемам, которые, в частности, могут послужить темами курсовых и дипломных работ.
Если вы хотите получать рассылку информации о текущей программе семинара, сообщите, пожалуйста, по адресу verbovet блямба mccme.ru
23 декабря
Докладчик: А.Киселёв
Тема: Спиральные минимальные поверхности и их представления
Лежандра и Вейерштрасса
Аннотация:
Using a symmetry reduction, we construct a new class of spiral minimal surfaces that are invariant with respect to the composition of rotation and dilation of space, both centered at the origin. This reduction of the minimal surface equation leads to a cubic-nonlinear ordinary differential equation whose phase portrait yields an auxiliary Riccati's equation, and we apply the Wazewski topological principle for construction of its solutions. Then we establish the asymptotic behaviour of such spiral galaxy-like minimal surfaces. Also, we describe the exact solutions in parametric form using the Legendre and Weierstrass representations.
16 декабря
Докладчик: В.Юмагужин
Тема: Структурные дифференциальные инварианты естественных
расслоений, часть 2. Геометрические структуры на решениях
нелинейных дифференциальных уравнений.
Аннотация:
Многие нелинейные дифференциальные уравнения порождают естественным образом на своих решениях, рассматриваемых как многообразия, нетривиальные геометрические структуры. Дифференциальные инварианты этих структур можно использовать для исследования самих решений.
В докладе это будет продемонстрировано на примерах системы уравнений адиабатического движения газа в n-мерном пространстве, n=1,2,3, и уравненения Хохлова-Заболотской. Доклад основан на совместных работах автора и В.В.Лычагина.
9 декабря
Докладчик: R.Vitolo
Тема: A survey on global aspects of the inverse problem of the
calculus of variations.
Аннотация:
In this talk I will review some aspects of the inverse problem of the calculus of variations, describing some open problems. More in detail, the topics of the seminar will be:
1 - Brief history and formulation of the problem in geometric terms.
2 - On different formulations of Helmholtz conditions and their uniqueness.
3 - On the invariant inverse problem, main results.
If time permits, the problem of finding minimal order Lagrangians for a given Euler-Lagrange equation will be discussed too.
2 декабря
Докладчик: В.Юмагужин
Тема: Структурные дифференциальные инварианты естественных расслоений.
Аннотация:
В докладе будет объяснен подход к построению дифференциальных инвариантов в естественных расслоениях. Этот подход по существу является перенесением теории структурных функций G-структур в естественные расслоения. В частности, будут найдены условия существования линейных связностей на сечениях естественного расслоения, рассматриваемых как подмногообразия.
18 ноября
Докладчик: А.Вербовецкий
Тема: О схеме Магри для структур Дирака.
Аннотация:
Я напомню основные факты о структурах Дирака и расскажу о новых результатах, касающихся схемы Магри для них, из работы А.Бараката, А. Де Соле и В.Г.Каца "Poisson vertex algebras in the theory of Hamiltonian equations".
11 ноября
Докладчик: О.Морозов
Тема: Проблема эквивалентности обыкновенных дифференциальных
уравнений второго и третьего порядков.
Аннотация:
Первая часть доклада будет посвящена решению проблемы эквивалентности для ОДУ второго порядка относительно псевдогруппы точечных преобразований с помощью метода Картана. Во второй части будет сделан обзор результатов диссертации М.Годлинского об эквивалентности ОДУ третьего порядка относительно псевдогруппы контактных преобразований.
28 октября и 4 ноября заседаний не будет
21 октября
Докладчик: А.Самохин
Тема: Towards classification of (2+1)-dimensional integrable
equations. Integrability conditions (по одноимённой статье
А.В.Михайлова и Р.И.Ямилова,J.Phys.A: Math. Gen. 31 (1998) 6707-6715.)
14 октября
Докладчик: И.С.Красильщик
Тема: On linear degeneracy of integrable quasilinear systems in
higher dimensions (по одноимённой статье
Е.Ферапонтова, К.Хуснутдиновой и К. Клейна).
7 октября
Докладчик: А.Вербовецкий
Тема: Операторы совместности для пассивных ортономных систем
Аннотация:
Года три назад мы обсуждали теорему Михала Марвана об условиях интегрируемости ортономных систем. С тех пор Михал усовершенствовал свою конструкцию и доказал, что его набор условий интегрируемости минимален. В докладе будут обсуждаться эти результаты и их применение к построению операторов совместности.
30 сентября заседание не состоится
23 сентября
Докладчик: И.С.Красильщик
Тема: Новости arXiv'а
Аннотация:
I shall present a brief overview of some new preprints from arxiv.org that seem to be interesting.
16 сентября
Докладчик: А.Киселёв
Тема: Новый класс точных решений и интегрируемых деформаций N=2
суперсимметричного уравнения КдФ-Матье.
Аннотация:
Будет построен новый класс точных многосолитонных решений в форме Хироты для суперсимметричных уравнений Кортевега-де Фриза с параметрами a=1 (сложный случай) и a=4 (суперинтегрируемый случай), полученных Матье. Взаимодействие солитонов нетривиально: в отличие от решений, наследуемых из КдФ и подчиняющихся обычным правилам взаимодействия со сдвигами фаз, в нашем случае сдвигов фаз не происходит -- но, с точки зрения наблюдателя, солитоны спонтанно распадаются (переходят в виртуальные состояния) или рождаются (проявляются из экспоненциально малого возмущения видимых).
Указанные выше парадоксальные свойства "уважают" бесконечный набор законов сохранения соответствующей интегрируемой иерархии. Чтобы получить гамильтонианы рекуррентно для суперинтегрируемого случая a=4, мы строим интегрируемую деформацию, последовательно применяя три нетривиальные вспомогательные конструкции, но не используя явно эквивалентность задачи деформации и представления нулевой кривизны. Таким образом, в докладе будет предъявлено решение одной из задач, поставленных Матье в 1989 г.
Доклад основан на опубликованной в 2009 г. в ТМФ работе, совместной с В.Хуссен, и пока не опубликованной работе, совм. с Т.Вольфом и В.Хуссен.
9 сентября
Докладчик: М.В.Павлов
Тема: Интегрируемые векторные гидродинамические цепочки
Аннотация:
We introduce a concept "integrable vector hydrodynamic chain." In this talk we consider simplest such a vector chain, with two species of field variables only. This bi-chain is associated with the remarkable Manakov-Santini three-dimensional system.
2 сентября
Докладчик: С.Игонин
Тема: Накрытия и фундаментальная группа в категории дифференциальных
уравнений. Часть 6
Аннотация:
В категории дифференциальных уравнений имеется понятие накрытия, которое обобщает преобразования Бэклунда и пары Лакса из теории солитонов. Как известно, в топологии за накрытия отвечает фундаментальная группа. В докладе мы продолжим описывать аналог фундаментальной группы для накрытий в категории дифференциальных уравнений. Этот аналог - не группа, а система (часто бесконечномерных) алгебр Ли.
