Валентина Кириченко

Геометрия сферических многообразий

Основная цель курса - рассмотреть наиболее часто встречающиеся в математике примеры сферических многообразий (такие как многообразия флагов и торические многообразия) и изучить их геометрию (например, описать умножение в кольце когомологий). Мы увидим, что многие геометрические инварианты сферических многообразий красиво выражаются в терминах многогранника Ньютона, который можно связать с многообразием. Первоначально теория многогранников Ньютона была развита для торических многообразий, но оказалось, что её можно перенести и на более общие многообразия. Это даёт единый подход к изучению геометрии многих, на первый взгляд очень разных, многообразий (например, кольца когомологий многообразий полных флагов и торических многообразий имеют очень похожие описания через многогранники).

Курс предназначен для студентов третьего-пятого курсов и аспирантов. Предполагается знание алгебры и топологии в объёме первых двух курсов НМУ. Знакомство с теорией групп и алгебр Ли и их представлений необязательно (все необходимые сведения будут рассказаны на лекциях). Планируется 10-12 лекций.

Программа курса:

1. Многообразия флагов: проективные пространства, грассманнианы, многообразия полных флагов. Клетки и циклы Шуберта. Кольца когомологий многообразий полных флагов: представление Бореля. Исчисление Шуберта: формула Пьери-Шевалле, операторы разделённых разностей.
2. Торические многообразия: комплексные торы, аффинные и проективные пространства, раздутия проективных пространств. Многочлены Лорана и многогранники Ньютона. Теоремы Кушниренко и Бернштейна-Хованского о числе общих нулей многочленов Лорана в комплексном торе. Кольца когомологий гладких торических многообразий: представление Пухликова-Хованского.
3. Сравнение многообразий флагов и торических многообразий. Многогранник Гельфанда-Цетлина как многогранник Ньютона для многообразия флагов. Обобщения торических многообразий: чудесные компактификации Де Кончини-Прочези, регулярные компактификации редуктивных групп. Теорема Казарновского-Бриона (обобщение теоремы Кушниренко). Многогранник Ньютона регулярной компактификации.