А.Б.Скопенков

Характеристические классы и их применения в топологии многообразий

Спецкурс доступен второкурсникам; поскольку излагаемый в нем геометрический подход важен, но забыт, то может быть интересен и для пятикурсников.

Аннотация

Для многообразий важнейшие методы алгебраической топологии наиболее наглядны. (Например, второй класс Штифеля-Уитни замкнутого трехмерного многообразия есть гомологический класс по модулю 2 объединения тех окружностей, на которых линейно зависимы некоторые два касательных векторных поля общего положения.) Это позволяет быстро добраться до по-настоящему интересных и сложных результатов.

На спецкурсе изучается один из основных методов алгебраической топологии --- метод характеристических классов --- на примере применений к важным проблемам о векторных полях, возникшим в приложениях. Будут рассматриваться многообразия малых размерностей (т.е. не более чем четырехмерные): именно такие многообразия наиболее интересны для приложений. Венец спецкурса --- простое доказательство знаменитой теоремы Штифеля о параллелизуемости трехмерных многообразий. Будут предложены красивые задачи для исследования.

Для изучения спецкурса достаточно знакомства с основами топологии многообразий (хотя бы размерности два и три), а также необходимо решать задачи. Предварительных знаний по теории гомологий не предполагается.

Программа экзамена по курсу

(Большинство пунктов программы соответствует пунктам из [S])

1. Ориентируемость двумерных многообразий. Форма пересечений.
2. Критерии Эйлера-Пуанкаре и Хопфа существования ненулевых касательных векторных полей на двумерных и трехмерных многообразиях.
3. Нормальные векторные поля. Класс Эйлера. Существование ненулевого нормального векторного поля на гладкой сфере с ручками в R^4.
4. Гомотопическая классификация ненулевых касательных векторных полей.
5. Характеристические классы для трехмерных многообразий.
6. Реализация циклов подмногообразиями в трехмерных многообразиях.
7. Двойственность Пуанкаре по модулю 2.
8. Простое доказательство теоремы Штифеля о параллелизуемости трехмерных многообразий.
9. Степени двойки и классы Штифеля-Уитни: идеи доказательств теорем Уитни о невложимости и Штифеля об алгебрах с делением.

Литература

[FF89] А. Т. Фоменко и Д. Б. Фукс, Курс гомотопической топологии, Москва, Наука, 1989.
[P04] В. В. Прасолов, Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии, Москва, МЦНМО, 2004. http://www.mccme.ru, Материалы курсов НМУ.
[P06] В. В. Прасолов, Элементы теории гомологий, Москва, МЦНМО, 2006. http://www.mccme.ru, Материалы курсов НМУ.
[S] А. Скопенков, Алгебраическая топология с элементарной точки зрения, МЦНМО, в печати. http://arxiv.org/abs/0808.1395