И.В. Вьюгин

Введение в аналитическую теорию дифференциальных уравнений

Курс начинается с базисных фактов из многомерного комплексного анализа. Отсутствие этих вопросов в мехматской программе составляет пробел, который необходимо заполнить. После этого доказываются аналитические теоремы существования и зависимости решений от начальных условий. Эти вопросы не затронуты в стандартном (мехматском) курсе дифференциальных уравнений, там присутствуют лишь вещественные аналоги первых пунктов программы. Тем самым, предлагаемый курс дополняет мехматский, но будет вполне доступен и для тех, кто не знаком с дифференциальными уравнениями.

Далее будут изложены основы теории локальных нормальных форм систем аналитических дифференциальных уравнений: формальные и аналитические нормальные формы, а также их применения (п. 5--8). Кроме этого будут затронуты вопросы качественного поведения решений автономных систем на плоскости~(п.~4).

Дополнительная информация находится на странице автора: http://www.iitp.ru/ru/userpages/372/129.htm .

Программа курса

0. Элементарные факты из многомерного комплексного анализа.
1. Теорема существования и единственности решений аналитического дифференциального уравнения.
2. Аналитическая зависимость от параметра и начальных условий.
3. Системы автономных дифференциальных уравнений. Линеаризация. Особые точки.
4. Динамические системы на плоскости. Теорема Пуанкаре--Бенедиксона.
5. Формальные нормальные формы нелинейных дифференциальных уравнений. Теорема Пуанкаре--Дюлака.
6. Вопросы сходимости формальных замен: теоремы Пуанкаре и Зигеля о сходимости формальных замен.
7. Гиперболическая особая точка. Теорема Адамара--Перрона для аналитических дифференциальных уравнений.
8. Линейные аналитические дифференциальные уравнения. Монодромия. Нормальные формы линейных систем.

Y.S. Ilyashenko, S. Yakovenko, Lectures on analytic differential equations, Graduate Studies in Mathematics, vol. 86, AMS, 2007.

В.И. Арнольд, Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, Наука, 1978.