На главную страницу НМУ

Т.М. Садыков

Многомерный комплексный анализ

Листки (Exercise sheets. pdf)

[Листок 1 .pdf|Листок 2 .pdf|Листок 3 .pdf|Листок 4 .pdf]
[Листок 5 .pdf|Листок 6 .pdf|Листок 7 .pdf|Листок 8 .pdf]

Примерная программа курса:

Цель курса состоит в знакомстве с многомерным комплексным анализом, ключевыми отличиями многомерной теории от одномерной, а также вооружении слушателя курса спектром методов, применяемых в теории особенностей и теории дифференциальных уравнений в частных производных.
  1. Пространство C^n и его компактификации. Комплексное проективное пространство. Области Хартогса, Рейнхарта и поликруговые области. Диаграммы Хартогса и Рейнхарта.

  2. Понятие голоморфности в многомерном случае. Многомерные уравнения Коши-Римана, интеграл и неравенства Коши.

  3. Простейшие свойства голоморфных функций многих комплексных переменных. Теорема единственности, принцип максимума модуля, теоремы Лиувилля и Вейерштрасса для голоморфных функций многих комплексных переменных.

  4. Разложения в ряды: представление голоморфных функций многих комплексных переменных рядами Тейлора, Лорана, Хартогса и Пюизо. Теоремы о разложении голоморфных функций в ряды в различных областях. Области сходимости этих рядов. Амеба и коамеба алгебраической гиперповерхности в C^n.

  5. Интегральное представление Мартинелли-Бохнера и интегральная формула Лере.

  6. Аналитическое продолжение. Устранимость компактных особенностей голоморфных функций многих комплексных переменных. Теоремы Севери, Осгуда-Брауна и Хартогса. Определение и основные свойства аналитических множеств. Области и оболочки голоморфности. Псевдовыпуклость. Голоморфные функции на многообразиях.

  7. Дифференциальные уравнения в частных производных в многомерном комплексном пространстве. Ключевые отличия свойств решений уравнений с голоморфными коэффициентами от решений уравнений с коэффициентами заданной гладкости С^k (k <= \infty). Принцип консерватизма.

  8. Характеристическое многообразие системы дифференциальных уравнений с голоморфными коэффициентами и волновой фронт его решений. Теоремы о сингулярном носителе решения системы дифференциальных уравнений. Классы Нильссона. Голономность и группа монодромии голономной системы дифференциальных уравнений. Решение 21-й проблемы Гильберта, полученное А.А.Болибрухом.

  9. Мероморфные функции многих комплексных переменных. Методы теории пучков. Решение проблем Кузена и их связь с теоремами Вейерштрасса и Миттаг-Леффлера. Принцип Ока-Грауэрта.

  10. Многомерные вычеты. Вычеты, ассоциированные с отображениями из C^n в C^n. Интегральные представления и основные свойства локального вычета. Зависимости между локальными вычетами на многообразии. Формула преобразования глобального вычета.

Литература.

  1. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. М.: Наука, 1985.

  2. Ганнинг Р., Росси Х. Аналитические функции многих комплексных переменных. М.: Мир, 1969.

  3. Айзенберг Л.А., Южаков А.П. Интегральные представления и вычеты в многомерном комплексном анализе. Новосибирск.: Наука, 1979.

  4. Л. Хермандер. Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных. М., "Мир", 1968.

  5. Цих А.К. Многомерные вычеты и их применения. Новосибирск: "Наука", 1988.

  6. Чирка Е.М. Комплексные аналитические множества. М.: Наука, 1985.

  7. M.S. Baouendi, P. Ebenfelt, L.P. Rothchild. Real Submanifolds in Complex Space and Their Mappings. Princeton Univ. Press, 1998.
Rambler's Top100