На главную страницу НМУ
Н.Б.Гончарук
В 1978 году В. И. Арнольд предложил красивую конструкцию, которая связывает такие совершенно разные понятия, как число вращения диффеоморфизма окружности и модуль эллиптической кривой. С помощью этой конструкции можно построить новое фрактальное множество -- "пузыри Федорова". Пузыри Федорова являются комплексным аналогом другого известного фрактала -- языков Арнольда.
В курсе мы опишем строение пузырей Федорова. Все результаты получены недавно, самые старые из них относятся к 1999 году, а самые свежие -- к 2011 году.
Конструкция Арнольда находится на стыке вещественной динамики на окружности и голоморфной динамики. Поэтому в доказательствах применяется довольно разнообразная техника, как "вещественная", так и "комплексная".
Этой технике будет посвящена значительная часть курса.
Краткий план курса
- Диффеоморфизмы окружности.
Число вращения.
Языки Арнольда.
Связь отображений окружности с цепными дробями.
Диофантовы и лиувиллевы числа вращения.
Непрерывные сопряжения отображений окружности с поворотом: теорема Данжуа и пример Данжуа.
Гладкие сопряжения с поворотом: теорема Эрманна-Йоккоза (эскиз доказательства).
- Эллиптические кривые.
Функция Вейерштрасса, эллиптические функции.
Модули эллиптических кривых.
Неравенство Йоккоза.
- Квазиконформные отображения.
Отображения с оптимальным квазиконформным отклонением: задача Грёча.
Выпрямление квазиконформных структур: уравнение Бельтрами.
Теорема Альфорса-Берса: существование решения уравнения Бельтрами, зависимость решения от параметров.
- Конструкция Арнольда: комплексное число вращения как модуль вспомогательной эллиптической кривой.
"Комплексное число вращения" для комплексного возмущения диффеоморфизма окружности.
Аналитическая зависимость комплексного числа вращения от возмущения.
Связь обычного числа вращения и предельного поведения комплексного числа вращения при возмущениях, близких к нулю. Пузыри Федорова.
Геометрия пузырей: открытые проблемы.
