Виктор Клепцын

Вводный курс математической статистики

Экзамен

[Экзамен . pdf]

Программа курса:

0) Предельные теоремы теории вероятностей -- напоминания: закон больших чисел, центральная предельная теорема; теорема Пуассона (предельное распределение числа редких событий -- распределение Пуассона).
1) Начальные понятия статистики (какие задачи ставим: проверка гипотез, оценка параметров: точечные и интервальные оценки). В частности -- "статистика не подтверждает гипотезы, она их опровергает". Эмпирическое распределение, его сходимость к истинному.
2) Проверка гипотез: ошибки первого и второго рода. Мощность критерия, теорема Неймана-Пирсона (+интерпретация -- суд присяжных). Примеры применения. Конкретные критерии: хи-квадрат, Стьюдент.
3) Оценка параметров: характеристики (несмещённость и асимптотическая несмещённость, состоятельность, сильная состоятельность). Стандартные методы оценки: метод моментов, метод наибольшего правдоподобия.
4) Интервальные оценки. Квантили, эмпирические квантили.
5) Понятие достаточной статистики, примеры проявления (бернуллевское, гауссовское распределения с неизвестными параметрами, распределение Пуассона).
6) Функция риска, оптимальные оценки. Два подхода: байесовский и минимаксный ("биржа и АЭС"). Оптимальная оценка в случае квадратичной функции риска: условное матожидание.