Андрей Матвеевич Филимонов

Уравнения с частными производными (вводный курс)

годовой, 2 пары (лекции и семинары)

Комментарий. Курс носит вводный характер. Поэтому в начале дается некоторый обзор постановок задач, идей, некоторых методов и перспектив их развития, чтобы у слушателей, по возможности, сформировалось некоторое интуитивное представление о предмете. Эта часть ("классические уравнения с частными производными") излагается достаточно сжато в виде серии задач для самостоятельного решения и соответствующих подробных указаний к ним.
Курс рассчитан на студентов 3-4 курсов. Продолжительность - два семестра, причем каждый семестр можно сдавать независимо. Практика чтения курса в прошлые годы показала, что состав слушателей (и их ожиданий от этого курса) весьма неоднороден. Необходимые сведения по функциональному анализу и группам Ли сообщаются по ходу изложения и подкрепляются соответствующими примерами.

1 семестр (УЧП 1)

Введение
Дифференциальные уравнения - геометрический смысл. Интегрирование поля линейных многообразий различной размерности. Обыкновенные уравнения (ОДУ), уравнения с частными производными (УЧП), уравнения с многомерным временем). Некоторые проблемы, возникающие при переходе от ОДУ к УЧП - пример Гюнтера линейного УЧП первого порядка с постоянными коэффициентами и непрерывной правой частью, не имеющего решений. Аналитические решения и пример Ковалевской. Корректность постановок задач. Пример Адамара.

"Классические" уравнения с частными производными. (Эта часть излагается, в основном, на упражнениях в виде серии задач, снабженных подробными указаниями и комментариями для неформального восприятия последующего материала).
Постановки задач и обзор основных методов решения (метод бегущих волн, метод стоячих волн, фундаментальные решения, вариационные методы). Почему у барабана более резкий звук, чем у струны?
Элементы теории обобщенных функций - пространства основных и обобщенных функций. Секвенциальный подход. Преобразование Фурье. Линейные операторы с частными производными. Эволюционные уравнения. Классификация. Фундаментальные решения. Особенности постановки краевых задач. Стационарные уравнения.

Уравнения с частными производными первого порядка.
Задача Коши, характеристическая система. Пфаффовы системы и их интерпретация, как уравнений с многомерным временем. Связь с группами и алгебрами Ли.
Примеры: уравнение Лиувилля, тепловое равновесие и проблема необратимости; уравнение Эйлера и катастрофы; уравнение Гамильтона-Якоби, оптико-механическая аналогия и полный интеграл.

Схема построения общего подхода к УЧП с использованием аналитических функций многих переменных.
Теорема Ковалевской. Характеристические поверхности. Связь с нелинейными уравнениями первого порядка.