Обзор постановок задач для классических уравнений с частными производными.
Постановки основных задач для волнового уравнения, уравнения теплопроводности и уравнения Лапласа. Обзор некоторых методов
решения (метод бегущих волн, метод стоячих волн, метод функции Грина, вариационные методы). Спектральные задачи.
Особенности спектральных задач для уравнения Шредингера. Проблемы локальной и глобальной разрешимости. Обзор некоторых
особенностей нелинейных задач (режимы с обострением и градиентные катастрофы). Дискретные и непрерывные модели и их
взаимосвязь. Корректность постановок задач.
Элементы теории обобщенных функций.
Пространства основных и обобщенных функций. Дифференцирование. Порядок сингулярности. Структура обобщенных функций.
Преобразование Фурье. Секвенциальный подход и другие способы введения обобщенных функций. Можно ли умножать обобщенные
функции? Алгебра Коломбо.
Линейные операторы с частными производными.
Обыкновенные дифференциальные уравнения и системы. Фундаментальные решения. Линейные дифференциальные операторы с частными
производными в полупространстве. Ядро линейного оператора. Фундаментальное решение задачи Коши. Метод Дюамеля, его
физическая интерпретация и обобщения. Параболические задачи. Параболичность в смысле Петровского и в смысле Шилова.
Проблема единственности, лестница Тэклинда, квазианалитические классы функций. Стационарные уравнения. Гипоэллиптичность.
Обобщенные решения уравнений с частными производными.
Обзор различных подходов к понятию обобщенного решения. Линейные задачи. Стационарные задачи, слабые решения. Теорема
Лакса . Мильграма. Обобщенные решения нелинейных уравнений, приводимых к дивергентной форме. Обобщенные решения нелинейных
уравнений, не приводимых к дивергентной форме.
