Алексей Викторович Пенской

Введение в спектральную геометрию

Спектральная геометрия - современная и интенсивно развивающаяся область математики, находящаяся на стыке дифференциальных уравнений с частными производными, дифференциальной геометрии и анализа, которая изучает связь между геометрией области с одной стороны и спектром оператора Лапласа и собственными функциями оператора Лапласа с другой стороны.

По-видимому, первым вопросом спектральной геометрии был заданный лордом Рэлеем в его знаменитой книге "Теория звука" вопрос о том, какой должна быть форма мембраны барабана, чтобы среди мембран той же площади она издавала звук самой низкой частоты. Во второй половине двадцатого века Марк Кац сформулировал другой известный вопрос: "Можно ли услышать форму барабана?". Ответы на этот и другие вопросы мы обсудим в данном курсе, а что еще более интересно - узнаем еще больше вопросов, на которые мы еще не знаем ответа.

Примерная программа курса:

Оператор Лапласа, задачи Дирихле, Неймана и Стеклова, физический смысл.
Спектр простейших областей.
Вариационное описание собственных чисел оператора Лапласа.
Элементарные неравенства для собственных чисел, вилка Дирихле-Неймана.
Теорема Вейля и ее доказательство для областей в евклидовом пространстве. Доказательство Филонова неравенства Фридландера.
Гипотеза Вейля.
Нодальные области, нодальный граф, теорема Куранта о нодальных областях. Нодальная геометрия.
Сферическое перекладывание и доказательство неравенства Фабера-Крана.
Геометрическая оптимизация собственных чисел.