Вероятностное пространство и распределение вероятностей. Дискретные и непрерывные скалярные случайные величины. Кумулятивная функция распределения вероятности (к.ф.р.), функция плотности вероятности (ф.п.в.) и характеристическая функция распределения вероятности (х.ф.). Распределения и совместные распределения случайных величин, моменты. Маргинальные и условные распределения. Независимые случайные величины. Производящие функции (п.ф.) распределения вероятности и моментов. Поведение п.ф., х.ф., мат. ожидания и дисперсии при сложении независимых случайных величин. Логарифм х.ф. (характеристический показатель) и кумулянты случайной величины.
Цепь Маркова с конечным числом состояний. Граф цепи Маркова и матрица вероятностей перехода. Стационарное распределение цепи Маркова. Принцип детального равновесия, обратимые цепи Маркова. Классификация состояний однородной цепи Маркова.
Эргодическая теорема для конечных однородных цепей Маркова. Существование и единственность стационарного распределения в общей неприводимой непериодической цепи Маркова, структура множества стационарных распределений в общем случае.
Предельный переход к непрерывному времени в цепи Маркова. Стохастические матрицы и генераторы, определение стационарного состояния в терминах генератора. Матричная экспонента и другие функции от матриц, приемы их вычисления. Прямое и обратное уравнения Колмогорова.
Пуассоновский поток. Прореживание пуассоновских потоков. Суперпозиция пуассоновских потоков. Помеченный пуассоновский поток. Пуассоновские точечные поля (однородные и неоднородные). Характеристический функционал пуассоновского поля, теорема Кэмпбелла и ее обобщения.
Марковский процесс рождения в непрерывном времени. Взрыв, критерий взрыва в терминах интенсивностей перехода. Минимальное решение уравнений Колмогорова для взрывного процесса. Процессы рождения и гибели, взрывы в них. Вложенная цепь Маркова. Возвратность и невозвратность. Стационарное состояние. Обратимые процессы рождения-гибели.
Применение к теории очередей. Оценка среднего времени ожидания заявки в очереди. Сети с очередями Джексона.
Принципы больших уклонений для процесса рождения и гибели и для сети Джексона.
Вероятностное пространство, алгебра событий, процессы и потоки алгебр. Вероятностное пространство Штейнгауза.
Задание случайного процесса иерархией функций распределения. Условия согласования многовременных распределений, теорема Колмогорова (без доказательства). Марковские процессы. Уравнение Смолуховского.
Мартингалы и субмартингалы. Разложение Дуба. Основные конструкции случайных процессов, являющихся мартингалами и субмартингалами. Сходимость субмартингалов.
Спектральное разложение случайной функции. Стационарные случайные функции, спектральное условие стационарности. Теорема Винера-Хинчина. Формула Найквиста, ?белый? и ?цветной? шум.
Стационарные случайные процессы и эргодическая теория динамических систем.
Случайное блуждание и процесс Винера как его предел. Диффузионные процессы и уравнение Фоккера-Планка (с выводом). Краевые условия для уравнения Фоккера-Планка. Распределение времени выхода. Равновесное распределение вероятности, обратимость, распределение Гиббса.
Гауссовский случайный процесс (общее определение). Гильбертово пространство, связанное с общим гауссовским процессом. Корреляции гауссовского процесса и метрика на пространстве параметра. Большие уклонения в гауссовских процессах.
Стохастические дифференциальные уравнения. Стохастическое дифференциальное исчисление Ито.
