Максим Эдуардович Казарян

Математический анализ, 3 семестр (Анализ на многообразиях)

Листки (Exercise sheets).pdf

Программа курса

Кривые в R^n.
Интеграл по кривой. Замена переменных в интеграле. Поведение интеграла при замене пути интегрирования.

Многообразия.
Подмногообразия в R^n. Абстрактные многообразия. Локальные координаты. Атласы и карты. Функции перехода. Гладкие отображения многообразий.

Касательный вектор.
Вектор как скорость движения по кривой. Координаты вектора и их преобразование при заменах. Производная функции по направлению. Дифференцирование кольца функций. Касательная плоскость к многообразию в точке. Производная отображения. Цепное правило.

Векторные поля.
Фазовая кривая и фазовый поток. Поля и обыкновенные дифференциальные уравнения. Выпрямление векторного поля. Коммутатор векторных полей и коммутирование фазовых потоков. Теорема Фробениуса об интегрируемых распределениях.

Дифференциальные формы на многообразиях.
Дифференциал функции. Внешнее произведение дифференциальных форм. Форма объема, форма площади и форма Гельфанда-Лере. Внешний дифференциал формы. Преобразование форм при отображениях.

Интегрирование дифференциальных форм.
Ориентация. Инвариантность интеграла при диффеоморфизме. Многообразия с краем. Формула Стокса.

Производная Ли. Коммутатор векторных полей как производная Ли. Тождество Картана.

Лемма Пуанкаре. Когомологии де Рама.

Дифференциальные формы в векторном анализе и математической физике. Формы в R^3 и инвариантный смысл градиента, ротора, дивергенции, потока векторного поля, циркуляции. Формы в R^4 и уравнения Максвелла.

Гармонические функции. Теорема о среднем. Принцип максимума.