На главную страницу НМУ
Алексей Викторович Пенской
Введение в спектральную геометрию
Спектральная геометрия - современная и интенсивно развивающаяся область математики, находящаяся на стыке дифференциальных уравнений с частными производными, дифференциальной геометрии и
анализа, которая изучает связь между геометрией области с одной стороны и спектром оператора Лапласа и собственными функциями оператора Лапласа с другой стороны.
По-видимому, первым вопросом спектральной геометрии был заданный лордом Рэлеем в его знаменитой книге "Теория звука" вопрос о том, какой должна быть форма мембраны барабана, чтобы среди мембран
той же площади она издавала звук самой низкой частоты. Во второй половине двадцатого века Марк Кац сформулировал другой известный вопрос: "Можно ли услышать форму барабана?". Ответы на этот и
другие вопросы мы обсудим в данном курсе, а что еще более интересно - узнаем еще больше вопросов, на которые мы еще не знаем ответа.
Примерная программа курса:
- Оператор Лапласа и Лапласа-Бельтрами, его свойства.
Спектральные задачи Дирихле, Неймана и Стеклова, физический смысл.
- Разделение переменных и спектр простейших областей.
- Вариационное описание собственных чисел оператора Лапласа.
- Элементарные неравенства для собственных чисел, вилка Дирихле-Неймана.
- Теорема Вейля и ее доказательство для областей в
евклидовом пространстве. Гипотеза Вейля.
- Доказательство Филонова неравенства Фридландера.
- Нодальные области, нодальный граф, теорема Куранта о
нодальных областях. Нодальная геометрия и топология.
- Нодальная топология и оценка кратностей собственных чисел.
- Геометрическая оптимизация собственных чисел.
- Сферическое перекладывание и доказательство неравенства Фабера-Крана.
- Экстремальные метрики, минимальные подмногообразия сфер и
теорема Надирашвили - Эль-Суфи - Илиаса.
- Что нам сейчас известно про максимальные метрики на поверхностях.
