На главную страницу НМУ

Андрей Матвеевич Филимонов

Линейные уравнения с частными производными

Программа курса

1. Введение.
   Что похожего и что не похожего в ОДУ и УрЧП. Пример Гюнтера-Пикара линейного уравнения с постоянными коэффициентами и непрерывной правой частью, не имеющего решений.

2. Классические уравнения математической физики.
   Классификация, вывод, постановки задач и основные методы их решения. Проблемы классификации: чем отличаются уравнения ut-uxx=0 и ux-utt=0 ? Уравнения высших порядков по t и по x.

3. Гиперболические задачи.
   Бегущие волны и их обобщения на случай n переменных, на случай уравнений высших порядков и на случай систем уравнений. Приложение к классификации Гельфанда-Петровского-Шилова. Дисперсия волн. Как узнать скорость распространения волн, не решая уравнения? Примеры: волновое уравнение и уравнение Клейна-Гордона. Уравнения четвертого порядка («балка Эйлера-Бернулли» и «балка Тимошенко»). Особенности распространения волн в пространствах четной и нечетной размерности (почему в пространствах четной размерности сложно поговорить). Стоячие волны. Метод Фурье. Теорема Гильберта-Шмидта.

4. Параболические задачи.
   Классические параболические задачи. Функция Грина. Параболические системы и уравнения высших порядков. Фундаментальное решение задачи Коши. Элементарное введение в стохастические дифференциальные уравнения и задачи для параболических уравнений с неограниченными начальными условиями. Проблема единственности. Лестница Тэклинда.

5. Эллиптические задачи.
   Вариационный принцип. Проблема минимума квадратичного функционала. Уравнения с положительно определенными операторами. Обобщенные решения. Следы. Соболевские пространства. Примеры: уравнение Лапласа, уравнение Софи Жермен (уравнение четвертого порядка).

6. Линейные дифференциальные операторы с частными производными.
   Некоторые основные функциональные пространства. Обобщенные функции -- основные понятия, свертка, структура обобщенных функций. Преобразование Фурье. Фундаментальные решения, лестница Хермандера. Задачи в полупространстве -- функция Грина для операторов общего вида. Регулярные уравнения. Примеры: волновое уравнение, уравнение теплопроводности и уравнение Лапласа. Неклассический пример -- ультрагиперболическое уравнение.