В осеннем семестре 2017-2018 года продолжает работу совместный учебно-исследовательский семинар по спектральной геометрии Независимого московского университета и российско-французского Междисциплинарного научного центра Понселе (Interdisciplinary Scientific Center J.-V. Poncelet, ISCP, UMI 2615) под руководством А.В.Пенского.
2 декабря 2017 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Георгий Шуклин (НИУ ВШЭ)
Тема: Формула следа для гиперболических поверхностей
Аннотация:
Классическая теорема об униформизации утверждает, что любая компактная риманова поверхность рода g>1
реализуется как фактор верхней полуплоскости по Фуксовой группе, т. е. гиперболическая поверхность. Действие
соответствующей Фуксовой группы на верхней полуплоскости позволяет построить по функции на полуинтервале некоторый
интегральный оператор. Формула следа выражает след этого оператора, с одной стороны, через спектр оператора
Лапласа, а с другой, через сумму по замкнутым геодезическим фиксированной длины. Я расскажу о классификации
гиперболических поверхностей и докажу формулу следа. Далее мы обсудим различные следствия, возникающие из
подстановок конкретных функций. Таким способом можно, например, получить закон Вейля или написать аналог
функционального уравнения для дзета-функции Сельберга. Особенно интересным следствием является prime
geodesic theorem - утверждение о асимптотике числа замкнутых геодезических фиксированной нормы. Удивительным
образом асимптотика совпадает с распределением простых чисел, а более точный ответ выражается через нули
дзета-функции Сельберга. Таким образом, имеется аналогия между замкнутыми геодезическими и простыми числами.
Литература:
25 ноября 2017 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Семинар не состоится
18 ноября 2017 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Артём Галкин (ВШЭ)
Тема: Задача Стеклова, оператор Дирихле-Неймана и неравенство для дзета-функции планарных областей
(продолжение доклада)
Аннотация:
Будет рассказано о постановке задачи Стеклова для плоских областей, рассмотрены некоторые
асимптотические свойства спектра в форме классических оценок, полученных Вейнстоком и Розенблюмом.
Также мы рассмотрим дзета-функцию, ассоциированную с планарной областью и докажем неравенство, связывающее
дзета-функцию области с классической дзета-функцией Римана и в некотором смысле обобщающее известные
классические неравенства.
Литература:
11 ноября 2017 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Артём Галкин (ВШЭ)
Тема: Задача Стеклова, оператор Дирихле-Неймана и неравенство для дзета-функции планарных областей
Аннотация:
Будет рассказано о постановке задачи Стеклова для плоских областей, рассмотрены некоторые
асимптотические свойства спектра в форме классических оценок, полученных Вейнстоком и Розенблюмом.
Также мы рассмотрим дзета-функцию, ассоциированную с планарной областью и докажем неравенство, связывающее
дзета-функцию области с классической дзета-функцией Римана и в некотором смысле обобщающее известные
классические неравенства.
Литература:
28 октября 2017 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Арсений Райко (МГУ)
Тема: Переопределенные УРЧП в Римановой геометрии-VI
Аннотация:
В этот раз мы продолжим разбирать доказательство того факта, что изопараметрическая
трубка является гармонической областью. Я повторю доказательство формулы, выражающей оператор
Лапласа-Бельтрами через Лапласиан на подмногообразии, вектор средней кривизны и составляющую
связности Леви-Чивиты в нормальном расслоении к подмногообразию. После этого я планирую четко
сформулировать какие связи существуют между изопараметрическими поверхностями, гармоническими
областями и изопараметрическими трубками. Потом я хотел бы кратко пояснить почему минимальные
подмногообразия со свободной границей тоже являются гармоническими. Далее было бы логично
перейти к повествованию про еще одну переопределенную задачу из УРЧП, которая тесно связана
с уравнением теплопроводности. Про области, на которых будет существовать решение для такой
задачи говорят, что они обладают свойством постоянного потока. Оказывается, что области,
обладающие таким свойством, также являются идеальными теплораспределителями, а также являются
гармоническими. Для аналитических метрик Алессандро Саво показал, что верен более сильный
результат: области, обладающие свойством постоянного потока являются также изопараметрическими
трубками вокруг минимального подмногообразия. В качестве завершения, я бы упомянул несколько
слов про переопределенную задачу Стеклова.
Литература:
21 октября 2017 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Арсений Райко (МГУ)
Тема: Переопределенные УРЧП в Римановой геометрии-V
Аннотация:
В прошлый раз я закончил доклад на определении гармонических трубок.
В этот раз я начну повествование с того факта, что любая гармоническая трубка является
гармонической областью (т.е. на ней существует решение задачи Серэна). Гармонические трубки
задают уже достаточно широкий класс областей (по сравнению с областями, которые получаются
шевелением маленьких геодезических шаров, которые в каждой точке задают всего лишь однопараметрическое
семейство). Но, как оказывается, этим класс гармонических областей не исчерпывается. Мы докажем, что
любая минимальная гиперповерхность в евклидовом шаре, граница которой ортогональна шару (minimal
free boundary hypersurface) является гармонической. Существуют ли другие примеры гармонических
областей - до сих пор вопрос открытый.
После этого, если время останется, я планирую перейти к обсуждению задачи теплопроводности, идеальных теплопроводников (perfect heat diffusers) и многообразий, обладающих свойством постоянного потока (constant flow property). Окажется, что это свойство также тесно связано с гармоническими трубками. Мы получим, что гармонические трубки - области, на которых существует решение по меньшей мере трех переопределенных задач.
В самом конце, я хотел бы сказать пару слов про переопределенную задачу Стеклова.
Литература:
14 октября 2017 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Арсений Райко (МГУ)
Тема: Переопределенные УРЧП в Римановой геометрии-IV
Аннотация:
В прошлом докладе я доказал, что область в трехмерной сфере, ограниченная изометрически вложенным Клиффордовым
тором, является гармонической, и показал, как эта конструкция обобщается на случай произвольной группы изометрий, транзитивно
действующей на границе области. В этот раз я начну свое повествование с обобщения конструкции с Клиффордовыми торами на
произвольную размерность. После этого я планирую показать, какая связь существует между минимальностью границы, постоянством ее
главных кривизн и существованием решения переопределенной системы УРЧП в области. Если останется время, мы обсудим
переопределенную задачу Стеклова и другие физически интересные переопределенные системы.
Литература:
7 октября 2017 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Арсений Райко (МГУ)
Тема: Переопределенные УРЧП в Римановой геометрии-III
Аннотация:
В третьем своем докладе я расскажу о том, какие гармонические области (области, допускающие решение задачи
Серэна) появляются в пространствах постоянной кривизны. Особый интерес для нас будет представлять сферический случай. Это
единственный случай, в котором появляется нетривиальные гармонические области (в остальных случаях это всего лишь геодезические
шары). На сфере окажется, что Клиффордовы торы ограничивают гармонические области, которые не гомеоморфны шару. Но дело не
ограничится лишь Клиффордовыми торами, и, чтобы найти новые гармонические области, мы коснемся изучения изопараметрических
поверхностей, изучение которых было заложено такими гигантами как Сегрэ и Картан.
Литература:
30 сентября 2017 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Арсений Райко (МГУ)
Тема: Переопределенные УРЧП в Римановой геометрии-II
Аннотация:
В этот раз я начну свой доклад с рассказа о переопределенной задаче Шиффера и ее связи с задачей
Помпейю. Потом мы перейдем к рассмотрению задачи Серэна и на этом закончим свое знакомство с плоским случаем, плавно
переходя к формулировке этой задачи для областей на многообразии. Так как задача является переопределенной, то ее
решение существует не для всех областей, а только для тех, которые будут обладать "особой" геометрией. Такие области
будут называться гармоническими. Мы докажем, что гармонические области на полусфере и пространстве Лобачевского будут
совпадать с семейством геодезических шаров. В случае полной сферы ситуация становится намного интереснее. Оказывается,
что область будет гармонической если она ограничена изопараметрической гиперповерхностью (главные кривизны являются
постоянными). Если останется время, то мы обсудим более подробно геометрию таких областей.
Литература:
23 сентября 2017 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Арсений Райко (МГУ)
Тема: Переопределенные УРЧП в Римановой геометрии-I
Аннотация:
Доклад подготовлен по материалам слайдов Алессандро Саво, которые он использовал во
время чтения своего курса на конференции Geometric spectral theory в Невшателе 19-23 июня.
На первом докладе я расскажу о задаче, поставленной румынским математиком по имени Димитрие Помпею (1929). Кратко задача ставится так: пусть дана компактная область и непрерывная функция, определенная на всем пространстве. Причем функция обладает таким свойством, что ее интегралы по области и всем областям, полученным из данной посредством движений равен нулю. Правда ли, что тогда область является шаром?
У задачи Помпею есть несколько эквивалентных формулировок, одну из которых предложил Стефан Вильямс в 1976. Для этого нам придется обратиться к гипотезе Менахема Макса Шиффера, которая относится к переопределенной задаче Неймана.
Мы поговорим о том, что такое переопределенные задачи в целом, и разберем пару красивых доказательств, использующих изящный инструментарий геометрического анализа.
Литература:
16 сентября 2017 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: А.В.Пенской (МГУ, НИУ ВШЭ, НМУ, ISCP)
Тема: Максимизация собственных чисел оператора Лапласа-Бельтрами на сфере
Аннотация:
В докладе будет изложены полученные этим летом совместно с М.Карпухиным,
Н.Надирашвили и И.Полтеровичем результаты о максимизации собственных чисел оператора
Лапласа-Бельтрами на сфере. Доказано, что с точностью до «выдувания»
сфер нулевого объёма k-е ненулевое собственное число максимизируется на k касающихся
сферах равного радиуса.
Литература:
29 апреля 2017 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Арсений Райко (МГУ)
Тема: Максимизация первого собственного числа на поверхности рода два
Аннотация:
В докладе будет рассмотрено доказательство известной гипотезы
Левитина-Надирашвили-Нигам-Полтеровича-Якобсона о максимизации первого собственного
числа оператора Лапласа-Бельтрами на поверхности рода два при фиксированной площади.
Доклад основан на работе Shin Nayatani, Toshihiro Shoda "Metrics on a closed surface
of genus two which maximize the first eigenvalue of the Laplacian"
Литература:
22 апреля 2017 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Денис Фуфаев (МГУ)
Тема: Максимизация первого собственного числа на замкнутых поверхностях
Аннотация:
Мы сделаем обзор доказательства того, что на любой замкнутой поверхности
(в том числе неориентируемой) существует метрика с конечным числом конических особенностей,
максимизирующая первое собственное число оператора Лапласа-Бельтрами при фиксированной площади.
Доклад основан на работе Henrik Matthiesen, Anna Siffert, "Existence of metrics maximizing the
first eigenvalue on closed surfaces"
Литература:
15 апреля 2017 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Анастасия Викулова (МГУ)
Тема: Продолжение доклада «Задача Робена с отрицательным параметром»
Аннотация:
Этот доклад будет посвящен некоторым результатам для первого собственного
числа задачи Робена. Мы попробуем выяснить, с какими проблемами можно столкнуться при
доказательстве тех или иных неравенств для собственных чисел.
Литература:
8 апреля 2017 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Анастасия Викулова (МГУ)
Тема: Продолжение доклада «Задача Робена с отрицательным параметром»
Аннотация:
Этот доклад будет посвящен некоторым результатам для первого собственного
числа задачи Робена. Мы попробуем выяснить, с какими проблемами можно столкнуться при
доказательстве тех или иных неравенств для собственных чисел.
Литература:
25 марта 2017 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Анастасия Викулова (МГУ)
Тема: Задача Робена с отрицательным параметром
Аннотация:
Этот доклад будет посвящен некоторым результатам для первого собственного
числа задачи Робена. Мы попробуем выяснить, с какими проблемами можно столкнуться при
доказательстве тех или иных неравенств для собственных чисел.
Литература:
18 марта 2017 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: А.И Назаров (ПОМИ РАН и СПбГУ)
Тема: Дробные лапласианы Навье и Дирихле
Аннотация:
Рассматриваются два естественных определения дробных
лапласианов - «Навье» и «Дирихле».
Мы покажем, что разность этих операторов положительна в смысле квадратичных форм
и в поточечном смысле.
Доклад основан на совместных работах с R. Musina, Università degli Studi di Udine, Италия.
Литература:
4 марта 2017 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Михаил Карпухин (НМУ, McGill University)
Тема: Закон Вейля для рациональных бильярдов
Аннотация:
Многоугольник называется рациональным, если все его углы
рационально кратны π. Согласно теореме Г. Мазура, в таких многоугольниках существует
бесконечно много замкнутых бильярдных траекторий. В данном докладе, применяя метод
волнового следа, мы используем теорему Мазура для получения оценки на остаточный член
закона Вейля. Для понимания доклада предварительных знаний о волновом следе не требуется.
Литература:
25 февраля 2017 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Михаил Карпухин (НМУ, McGill University)
Тема: Задача Стеклова на формах: в поисках естественного определения
Аннотация:
В настоящий момент в литературе по спектральной теории общепринято
определение задачи Стеклова на пространстве дифференциальных форм, введенное Роло и
Саво. Тем не менее, это определение не имеет естественной геометрической или
физической интерпретации. В настоящем докладе мы рассмотрим несколько возможных
альтернатив, а также обсудим возможные приложения.
Литература:
18 февраля 2017 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Райко Арсений (МГУ)
Тема: Большие собственные значения Стеклова на компактных многообразиях
с фиксированной границей
Аннотация:
Будет рассказано о последнем результате Ахмада Эль Суфи,
Бруно Кольбо и Александра Жируа по задаче Стеклова. Пусть b - число компонент
границы многообразия M. Будет доказано, что с помощью конформного преобразования,
тождественного на самой границе и вне некоторой окрестности границы, можно
сделать b+1 собственное значение для задачи Стеклова сколь угодно большим.
Литература:
11 февраля 2017 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Никита Клемятин (МГУ, НМУ)
Тема: Задача Стеклова на орбифолдах
Аннотация:
Я продолжу рассказывать про задачу Стеклова на орбиобразиях, в
частности объясню как устроен спектр Стеклова на двумерных орбиобразиях, а также
постараюсь рассказать про оценки сверху для собственных чисел и про изоспектральные
орбиобразия размерности больше 2.
Литература:
17 декабря 2016 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Никита Клемятин (МГУ, НМУ)
Тема: Задача Стеклова на орбифолдах (продолжение доклада)
Аннотация:
Мы продолжим разбирать задачу Стеклова: я продолжу рассказ о
том, как устроен анализ на орбиобразиях и про асимптотику спектра Стеклова на
двумерных орбиобразиях. Если останется время, то я расскажу про изоспектральные
по Стеклову орбиобразия и про оценки сверху для спектра Стеклова.
Литература:
10 декабря 2016 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Никита Клемятин (МГУ, НМУ)
Тема: Задача Стеклова на орбифолдах
Аннотация:
Я расскажу про задачу Стеклова на орбифолдах и про связь
геометрии и топологии риманова орбифолда связана с его спектром Стеклова.
В частности будет разобран случай двумерных орбифолдов и получена асимптотика
спектра Стеклова для них. Также я расскажу о верхних оценках на собственные
числа в задачах Стеклова и Неймана на орбифолдах и расскажу про изоспектральные
по Стеклову орбифолды. Все необходимые предварительные сведения будут сообщены.
Литература:
3 декабря 2016 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Анастасия Викулова (МГУ)
Тема: Магнитный оператор Лапласа и оценки на собственные числа
для условия Неймана (продолжение доклада)
Аннотация:
Мы продолжим разбирать статью Bruno Colbois и Alessandro
Savo, попробуем доказать выдвинутые на прошлом семинаре теоремы, разберемся
в определениях и рассмотрим некоторые примеры.
Литература:
26 ноября 2016 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Анастасия Викулова (МГУ)
Тема: Магнитный оператор Лапласа и оценки на собственные числа
для условия Неймана
Аннотация:
На этом докладе мы рассмотрим обобщение известного нам
оператора Лапласа, которое определяется с помощью связности на тривиальном
комплексном расслоении для заданного многообразия с 1-формой.
Попытаемся разобраться в некоторых свойствах магнитного оператора Лапласа,
получить некоторые оценки на собственные числа, а также рассмотрим
некоторые простейшие примеры нахождения собственных чисел.
Литература:
19 ноября 2016 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Арсений Райко (МГУ)
Тема: Сравнение первого ненулевого собственного числа Неймана на
параллелограмме и прямоугольнике с одинаковым основанием
Аннотация:
Я расскажу о своем результате, полученном в
ходе исследования задачи о нахождении супремума функционала
произведения первого ненулевого собственного числа Неймана на квадрат
периметра (задача Szego с более жесткой геометрической нормировкой).
Я объясню, какие сложности возникают в этой задаче, покажу интересный
контрпример, полученный численным моделированием, докажу некоторый
промежуточный результат, объявленный в теме доклада. Будет использована
только элементарная техника, навеянная теоремой Бояи-Гервина (Б.- Г.).
Если останется время, я расскажу о том как естественно обобщить формулировку
теоремы Б.-Г. для спектральной геометрии.
12 ноября 2016 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Арсений Райко (МГУ)
Тема: Теорема Плейеля для собственных функций Неймана
Аннотация:
Теорема Плейеля (1956) утверждает, что неравенство
Куранта может превратиться в равенство только для конечного числа собственных
функций оператора Лапласа с условием Дирихле. Мы обсудим обобщение этого
факта на случай граничных условий Неймана.
Литература:
29 октября 2016 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Никита Клемятин (МГУ)
Тема: Пространства гармонических отображений проективной плоскости и
двумерной сферы в четырёхмерную сферу малых гармонических степеней
Аннотация:
Продолжение доклада прошлой недели
по работе Равиля Габдурахманова.
Литература:
22 октября 2016 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Равиль Габдурахманов (НИУ ВШЭ, НМУ)
Тема: Пространства гармонических отображений проективной плоскости и
двумерной сферы в четырёхмерную сферу малых гармонических степеней
Аннотация:
Я кратко напомню теоремы Калаби, Барбосы и Брайанта о
гармонических отображениях двумерной сферы в четырехмерную, кратко расскажу
о конструкции твисторного расслоения, возникающей в теореме Брайанта. Следуя
Болтону и Вудварду я дам определение высших особенностей и приведу некоторые
факты о них. Затем я более детально расскажу о твисторном поднятии
гармонических отображений, о связи пространства линейно-полных гармонических
отображений и пространства линейно-полных горизонтальных голоморфных кривых в
твисторном расслоении. После этого я расскажу о группах, действующих на этих
пространствах и о том, как при помощи них гомотопировать произвольное
отображение к некоторой канонической форме. А также докажу, что пространства
гармонических отображений проективной плоскости в четырёхмерную сферу пусты
при чётной степени. При помощи этого я найду канонические формы для
степеней 3 и 5 и покажу линейную связность пространства гармонических
отображений проективной плоскости в четырехмерную сферу степени меньше,
чем 6. В заключении я приведу канонические формы для отображений двумерной
сферы степеней 3, 4 и 5.
Литература:
15 октября 2016 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Анастасия Викулова (МГУ)
Тема: Оценки и экстремальные области для
задачи Робена с отрицательным параметром
Аннотация:
Для задачи Дирихле и задачи Неймана мы знаем, что шар
минимизирует первое собственное число в первом случае, и максимизирует во
втором при фиксированном объеме. На этом докладе мы поговорим о задаче
Робена с отрицательным параметром. Мы узнаем, что на плоскости диск
максимизирует первое собственное число для задачи Робена при отрицательном
параметре и фиксированном периметре. Также мы попробуем оценить первые
собственные числа для многомерного шара и шарового слоя. Узнаем об оценке
первого собственного числа. Поговорим подробнее об областях размерности
1 и посмотрим на некоторые открытые проблемы.
Литература:
8 октября 2016 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Никита Клемятин (МГУ)
Тема: Результат Маккина-Зингера о первых коэффициентах
асимптотического разложения следа ядра теплопроводности
Аннотация:
Я расскажу результат Маккина и Зингера о вычислении первых
коэффициентов асимптотического разложения следа ядра теплопроводности.
Оказывается, что эти коэффициенты являются некоторыми полиномами от
инвариантов метрики. Из этого, в частности, следует, что можно "услышать"
эйлерову характеристику двумерного многообразия.
Литература:
1 октября 2016 года (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Анастасия Викулова (МГУ)
Тема: Восстановление треугольников с помощью
тепловой энергии (heat content)
Аннотация:
В 1988 году Catherine Durso с помощью следа
волнового ядра доказала, что треугольник однозначно восстанавливается по
спектру задачи Дирихле. В 2013 году D. Griser и S. Maronna с помощью следа
ядра теплопроводности доказали аналогичный факт. На докладе мы узнаем, что
такое heat content, попробуем доказать, что с его помощью можно однозначно
восстановить треугольник. И попробуем выяснить, как функция heat content
связана со спектральном Дирихле.
Литература:
24 сентября 2016 (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: Арсений Райко (МГУ)
Тема: Спектр треугольников: оценки и гипотезы
Аннотация:
В эту субботу я повторю прошлогодний доклад об упорядочивании
первых собственных чисел оператора Лапласа для смешанных граничных условий на
треугольниках. Мы получим интересные результаты, используя исключительно
элементарную технику. Доклад будет построен на статье B. Siudeja
"On mixed Dirichlet-Neumann eigenvalues of triangles".
Статья играет важную роль в текущих продвижениях по знаменитой hot spot
conjecture. За подробностями обращайтесь
к коллаборационному проекту
polymath7.
Литература:
17 сентября 2016 (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: А.В.Пенской (МГУ, НИУ ВШЭ, НМУ)
Тема: Изопериметрическое неравенство для второго ненулевого
собственного значения оператора Лапласа на проективной
плоскости (продолжение доклада)
Аннотация:
Будет рассказано о полученных вместе с Н.С.Надирашвили
результатах, касающихся второго собственного значения
оператора Лапласа на проективной плоскости: 1) доказано,
что кратность второго собственного числа не больше, чем 6;
2) доказано, что для метрики площади 1 собственное число
не превосходит 20\pi, причем это значение может быть
получено как предел на последовательнсти метрик,
сходящихся к сингулярной метрике на проективной
плоскости и сфере со стандартными метриками, касающихся
в точке, таких, что отношение их площадей 3:2.
Литература:
10 сентября 2016 (суббота), 11:00-12:30, ауд.304
Докладчик: А.В.Пенской (МГУ, НИУ ВШЭ, НМУ)
Тема: Изопериметрическое неравенство для второго ненулевого
собственного значения оператора Лапласа на проективной
плоскости
Аннотация:
Будет рассказано о полученных вместе с Н.С.Надирашвили
результатах, касающихся второго собственного значения
оператора Лапласа на проективной плоскости: 1) доказано,
что кратность второго собственного числа не больше, чем 6;
2) доказано, что для метрики площади 1 собственное число
не превосходит 20\pi, причем это значение может быть
получено как предел на последовательнсти метрик,
сходящихся к сингулярной метрике на проективной
плоскости и сфере со стандартными метриками, касающихся
в точке, таких, что отношение их площадей 3:2.
Литература:
18 июня 2016 (суббота), 11:00, ауд.304
Докладчик: Александр Бердников (MIT, НИУ ВШЭ, НМУ)
Тема: Топологические оценки на кратности собственных чисел
Лапласиана на поверхностях
Аннотация:
Я расскажу о небольшом улучшении оценок Надирашвили на
кратности собственных чисел Лапласиана (или уравнения Шрёдингера, или задачи
Стеклова) на поверхностях с краем. Классическая оценка использует теорему
Берса для конструкции собственной функции с нулём большой кратности
(пропорциональной кратности собстенного значения), а затем оценивает, когда
соответствующий нодальный граф может быть реализован на данной поверхности
(с числом нодальных областей, ограниченных теоремой Куранта). Улучшение
оценки основанно на рассмотрении не одного такого графа, а целого семейства
графов, запараметризованных точкой на поверхнности, в которой мы требуем
ноль большой кратности.
11 июня 2016 (суббота), 11:00, ауд.304
Докладчик: А.М.Филановский (НИУ ВШЭ)
Тема: Максимизация второго числа Неймана среди
треугольников и четырехугольников
Аннотация:
Мы рассмотрим задачу Неймана для оператора Лапласа для
некоторых классов плоских областей, а именно для треугольников и затем на
четырехугольниках. Используя, так называемый, "метод пробной функции",
я расскажу, как можно доказать, что максимум второго числа Неймана будет
достигаться на равностороннем треугольнике и на квадрате соответственно.
21 мая 2016 (суббота), 11:00, ауд.304
Докладчик: D. S. Grebenkov (Laboratory of Condensed Matter Physics,
CNRS - Ecole Polytechnique)
Тема: Geometrical structure of Laplacian eigenfunctions
(in collaboration with A. Delitsyn, B.-T. Nguyen)
Аннотация:
This talk is dedicated to low-frequency eigenfunctions of the
Laplace operator in bounded Euclidean domains. In spite of a
common picture of eigenfunctions as oscillating waves, the
geometrical structure of Laplacian eigenfunctions is much
richer and more complicated [1]. We consider a bounded domain
of arbitrary shape with elongated "branches" of variable
cross-sectional profiles. When an eigenvalue is smaller than
a prescribed threshold (which is determined by the shape of
the branch), the corresponding eigenfunction is proved to
have an upper bound decaying exponentially fast along each
branch [2,3]. This behavior is demonstrated for Dirichlet
and Robin boundary conditions on the branch boundary. We
also discuss how the exponential decay leads to localization
or trapping of eigenmodes in finite quantum waveguides. In
particular, we obtain a sufficient condition which determines
the minimal length of branches for getting a trapped eigenmode.
Varying the branch lengths may switch certain eigenmodes from
non-trapped to trapped or, equivalently, the waveguide state
from conducting to insulating [4].
Литература:
14 мая 2016 (суббота), 11:00, ауд.304
Докладчик: Анастасия Викулова (МГУ)
Тема: Изоспектральность в классе трапеций
Аннотация:
В 1964 году Джон Милнор показал, что в общем случае ответ
на вопрос: "Если два римановых многообразия являются изоспектральными,
следует ли из этого, что они изометричны?" отрицателен. Для этого он
построил в пространстве R^16 две решетки L1 и L2, такие, что R^16/L1
и R^16/L2 имеют одинаковые спектры, но при этом с помощью вращения в
R^16 L1 не переходит в L2.
Но если рассматривать определенные классы областей, то ответ может оказаться и положительным. После изучения работы Hamid Hezari, Zhiqin Lu, Julie Rowlett "The Neumann isospectral problem for trapezoids" [1], где рассматривался определенный класс трапеций, у которых углы при большем основании меньше \pi/2, можно задаться вопросом: "А что будет в классе трапеций, у которых один из углов при большем основании строго больше \pi/2, а другой строго меньше?". Так вот оказывается, что для таких трапеций ответ будет положительным как для задачи Неймана, так и для задачи Дирихле. Для доказательства этого факта мы будем искать спектральные инварианты для трапеций из следа ядра теплопроводности и асимптотики преобразования Фурье следа волнового ядра. В работе Duistermaat and Guillemin 1975 года было доказано, что сингулярный носитель следа волнового ядра для риманова компактного многообразия без края содержится в множестве {0} и {(+-)L}, где L - множество длин замкнутых геодезических. Таким образом, мы попробуем найти минимальные геодезические на интересующих нас удвоенных трапециях, то есть на таких многообразиях, которые получаются с помощью склейки двух одинаковых трапеций по границе. Мы увидим, что геодезические в нашем случае и геодезические для трапеций, которые рассматриваются в работе [1] отличаются. И следовательно, мы получаем новые асимптотические оценки для преобразования Фурье следа волнового ядра, которые являются спектральными инвариантами. В итоге с помощью этих и других известных нам спектральных инвариантов мы сможем однозначно восстановить трапецию.
7 мая 2016 (суббота), 11:00, ауд.304
Докладчик: Равиль Габдурахманов (НИУ ВШЭ, НМУ)
Тема: Пространства гармонических отображений проективной плоскости
в четырёхмерную сферу
Аннотация:
Я напомню теоремы Калаби, Барбосы и Брайанта о
гармонических отображениях двумерной сферы в четырехмерную. Далее я
расскажу о конструкции твистерного расслоения, возникающей в теореме
Брайанта. Следуя Болтону и Вудварду я дам определение высших особенностей
и приведу некоторые факты о них. Затем я более детально расскажу о твистерном
поднятии гармонических отображений, о связи пространства линейно-полных
гармонических отображений и пространства линейно-полных горизонтальных
голоморфных кривых в твистерном расслоении. Далее я расскажу о группах,
действующих на этих пространствах и о том, как при помощи них гомотопировать
произвольное отображение к некоторой канонической форме. При помощи этого я
найду канонические формы и исследую пространства отображений проективной
плоскости в четырехмерную сферу с площадями 6pi, 8pi, 10pi и 12pi в
индуцированной метрике.
30 апреля 2016 (суббота), 11:00, ауд.304
Докладчик: Владимир Медведев (НМУ)
Тема: О полнотории с жёстким спектром Стеклова
Аннотация:
Наряду с вопросами изоспектральности интересными и сложными
являются вопросы жёсткости спектра. Для спектра Стеклова вопрос жёсткости
спектра можно сформулировать следующим образом: найти примеры многообразий с
краем, которые определяются своим спектром Стеклова единственным образом.
Полтерович и Шер выяснили, что двумерный диск однозначно определяется своим
спектром Стеклова среди всех плоских областей с гладкой границей, а трёхмерный
шар - среди всех связных областей с гладкой границей. Для полноториев в R^3
этот вопрос оказывается более деликатным. Нахождение полноториев с жёстким
спектром по-видимому упирается в открытые гипотезы (гипотезу Жируара об
эйлеровой характеристике и гипотезу Жируара-Парновского-Полтеровича-Шера
об изоспектральных по Стеклову многообразиях). Однако, если ограничиться
областями в R^3 с краем рода 1, то вопрос жёсткости становится достаточно
простым: можно легко обнаружить полноторие с жёстким спектром. Я расскажу
как это сделать. Все необходимые факты и определения будут сообщены.
23 апреля 2016 (суббота), 11:00, ауд.304
Докладчик: Marco Mazzucchelli (CNRS, UMPA, ENS de Lyon)
Тема: A simple proof of the Conley conjecture for Hamiltonian
diffeomorphisms C^1-close to the identity
Аннотация:
The Conley conjecture, established in 2009 by Nancy Hingston,
asserts that every Hamiltonian diffeomorphism of a standard symplectic
2n-torus admits infinitely many periodic points. While this conjecture has
been extended to more general closed symplectic manifolds, all the known
proofs require sophisticated arguments. In this talk, we use generating
function techniques in symplectic geometry to give a simple proof of the
conjecture for those Hamiltonian diffeomorphisms
of the torus that are C^1-close to the identity.
16 апреля 2016 (суббота), 11:00, ауд.304
Докладчик: Родион Деев (НМУ, НИУ ВШЭ)
Тема: Некоторые свойства областей Неймана
Аннотация:
Мы рассмотрим некоторые геометрические и спектральные
свойства областей в поверхностях, на которые их разрезают их потоки морсовских
функций, собственных для оператора Лапласа.
Литература:
9 апреля 2016 (суббота), 11:00, ауд.304
Докладчик: Владимир Медведев (НМУ)
Тема: Об оценках Карпухина на римановых поверхностях с краем
Аннотация:
Мы закончим обсуждать статью Карпухина и докажем оценки на
собственные числа оператора Стеклова на функциях на римановых поверхностях
с краем. Эти оценки почти всегда сильнее аналогичных оценок
Полтеровича-Жируара, которые мы обсуждали ранее.
Литература:
2 апреля 2016 (суббота), 11:00, ауд.304
Докладчик: Никита Клемятин (МГУ)
Тема: Об оценках Надирашвили кратностей собственных чисел оператора
Шредингера на компактных двумерных многообразиях (продолжение доклада)
Аннотация:
Я расскажу результаты Надирашвили о кратностях
собственных чисел оператора Шредингера на компактных двумерных
многообразиях. Эти оценки оказываются не зависящими от метрики и потенциала.
Кроме того будет установлена точность этих оценок для первого собственного
числа в случае многообразия с неотрицательной эйлеровой характеристикой.
Также будут рассмотрены задачи Дирихле и Неймана для самосопряженных
эллиптических операторов и установлены оценки на кратность собственных
чисел для этих задач.
Литература:
26 марта 2016 (суббота), 11:00, ауд.304
Докладчик: Никита Клемятин (МГУ)
Тема: Об оценках Надирашвили кратностей собственных чисел оператора
Шредингера на компактных двумерных многообразиях
Аннотация:
Я расскажу результаты Надирашвили о кратностях
собственных чисел оператора Шредингера на компактных двумерных
многообразиях. Эти оценки оказываются не зависящими от метрики и потенциала.
Кроме того будет установлена точность этих оценок для первого собственного
числа в случае многообразия с неотрицательной эйлеровой характеристикой.
Также будут рассмотрены задачи Дирихле и Неймана для самосопряженных
эллиптических операторов и установлены оценки на кратность собственных
чисел для этих задач.
Литература:
19 марта 2016 (суббота), 11:00, ауд.304
Докладчик: Владимир Медведев (НМУ)
Тема: Об оценках Роло-Саво и Карпухина
Аннотация:
Мы продолжим обсуждать спектр оператора Стеклова на формах
и его связь с геометрией многообразия. В прошлый раз мы успели разобрать
лишь оценки Янга-Ю. На предстоящем семинаре мы подробно разберём оценки
Роло-Саво для компактных римановых многообразий неотрицательной р-кривизны
Вейценбёка и некоторым ограничением на главные кривизны края.
Основываясь на оценках Янга-Ю и Роло-Саво, Карпухин (в самом конце 2015 года) получил весьма любопытные оценки: для римановых поверхностей с краем (что почти всегда сильнее аналогичных оценок Полтеровича-Жируара) и для многообразий неотрицательной 2-кривизны Вейценбёка и некоторым ограничением на главные кривизны края (в последнем случае ориентируемость многообразия не требуется).
Литература:
12 марта 2016 (суббота), 11:00, ауд.304
Докладчик: Владимир Медведев (НМУ)
Тема: Об оценках Янга-Ю и Роло-Саво
Аннотация:
В прошлый раз мы довольно подробно обсудили оценки
Полтеровича-Жируара на произведение собственных чисел задачи Стеклова
на римановых поверхностях. Эти оценки можно обобщить следующим образом:
продолжим оператор Стеклова на р-формы и рассмотрим задачу Стеклова на
р-формах (обычная задача Стеклова, конечно, получается из этой задачи
при рассмотрении 0-форм, т.е. функций). Так же как и обычный, расширенный
оператор Стеклова будет являться неотрицательным псевдодифференциальным
самосопряжённым эллиптическим оператором первого порядка и на компактных
связных римановых многообразиях с краем он обладает дискретным монотонно
неубывающим спектром, элементы которого также содержат информацию о геометрии
данного многообразия. Это особенно хорошо видно на многообразиях с
неотрицательной р-кривизной Вейценбёка (обобщение кривизны Риччи), что
может быть продемонстрировано с помощью оценок Роло-Саво. Оценки,
аналогичные оценкам Полтеровича-Жируара, с которых мы и начнём, были
получены в конце августа прошлого года Янгом и Ю. Мы подробно разберём
каждую из этих оценок. Все необходимые определения и факты будут
сообщены.
Литература:
5 марта 2016 (суббота), 11:00, ауд.304
Докладчик: Владимир Медведев (НМУ)
Тема: Об оценках Херша-Пейна-Шиффера и Полтеровича-Жируара
Аннотация:
Для спектра Стеклова, так же как и для спектра оператора Лапласа, естественной
является задача об оценке собственных чисел. Можно также рассматривать оценки
на различные функции от собственных чисел Стеклова. Одной из самых простых
функций является функция произведения собственных чисел. Для этой функции одной
из первых оценок в случае плоских областей с краем является оценка Херша-Пейна-Шиффера,
а в случае римановых поверхностей с краем - оценка Полтеровича-Жируара. В докладе
мы подробно разберём доказательства обоих оценок.
Литература:
27 февраля 2016 (суббота), 11:00, ауд.304
Докладчик: Денис Фуфаев (МГУ)
Тема: Изоспектральность в задаче Неймана для трапеций
Аннотация:
Как известно, в общем случае из изоспектральности областей не следует их
изометричность, однако если рассматривать лишь определенный класс областей,
ответ может быть положительным. Для простейших случаев этот факт следует почти
моментально, для более сложных приходится развивать определенную технику. Доклад
будет посвящен соответствующему результату для класса областей-трапеций на плоскости,
будет рассказано о методе нахождения спектральных инвариантов с помощью
асимптотик связанных с дифференциальным оператором функций и описаны основные
идеи доказательства.
20 февраля 2016 (суббота), 11:00, ауд.304
Докладчик: Арсений Райко (МГУ)
Тема: Спектр треугольников: оценки и гипотезы.
Аннотация:
Доклад будет посвящен обзору некоторых результатов
B. Siudeja, связанных со спектром треугольников. Несмотря на кажущуюся
простоту треугольных областей, изучение их спектров оказывается не всегда
легкой, но важной задачей. Например, прямоугольные треугольники оказались
крайне важны и полезны для свежих результатов, связанных со знаменитой
hot spot conjecture. Другой интересный вопрос связан с
симметрией/антисимметрией собственной функции, отвечающей первому
ненулевому числу Неймана для равностороннего треугольника и
дельтоида (kite). Нетрудно показать что один из случаев
(симметрия или антисимметрия) должен иметь место, а вот понять
какой именно оказалось не так просто. Для решения этой задачи опять
оказалось полезным применить прямоугольные треугольники.
Большое внимание во время доклада будет уделено смешанным задачам, связанным с треугольниками (часть границы с условием Дирихле, часть с условием Неймана). Я расскажу про интересные неравенства, связанные с младшими собственными числами различных смешанных задач, доказанные факты и пока еще открытые задачи. Также я рассчитываю затронуть вопросы, связанные с симметриями собственных функций для ромбов. После этого я хочу рассказать что успею про другие известные неравенства, задачи, гипотезы и методы, связанные с треугольниками.
19 декабря 2015 (суббота), 11:00, ауд.304
Докладчик: Равиль Габдурахманов (НМУ, НИУ ВШЭ)
Тема: Обзор некоторых результатов в исследовании геометрии и спектра задачи Стеклова
Аннотация:
Я напомню про задачу Стеклова. Далее расскажу немного о различиях в её
геометрии и геометриях задач Дирихле и Неймана. Потом мы посмотрим на
результаты об асимптотиках и инвариантах спектра Стеклова. И увидим
как гладкость границы многообразия влияет на асимптотику, посмотрев на
результаты для спектров некоторых многоугольников. Затем коснёмся
геометрических неравенств и оценок для собственных значений. Продолжим
вопросами изоспектральности. И завершим нодальной геометрией и оценками
на кратность собственных значений.
Доклад обзорный, основан на статье A.Girouard and I. Polterovich, "Spectral geometry of the Steklov problem"
12 декабря 2015 (суббота), 11:00, ауд.304
Докладчик: Родион Деев (НМУ, НИУ ВШЭ)
Тема: Неравенства на собственные числа на римановых многообразиях
с нижней оценкой на кривизну Риччи (продолжение)
Аннотация:
Следуя недавней статье Асмы Хассаннежад, Иосифа Полтеровича и Герасима Кокарева, я
попытаюсь рассказать про то, как ограничение снизу на скалярную кривизну риманова
многообразия даёт хорошо известные ограничения на собственные числа лапласиана -
неравенства Бузера, Чена и Громова.
5 декабря 2015 (суббота), 11:00, ауд.304
Докладчик: Родион Деев (НМУ, НИУ ВШЭ)
Тема: Неравенства на собственные числа на римановых многообразиях
с нижней оценкой на кривизну Риччи
Аннотация:
Следуя недавней статье Асмы Хассаннежад, Иосифа Полтеровича и Герасима Кокарева, я
попытаюсь рассказать про то, как ограничение снизу на скалярную кривизну риманова
многообразия даёт хорошо известные ограничения на собственные числа лапласиана -
неравенства Бузера, Чена и Громова.
28 ноября 2015 (суббота), 11:00, ауд.304
Докладчик: Владимир Медведев (НМУ, ИПУ РАН)
Тема: О работе Брайанта о суперминимальных погружениях поверхностей в сферу (продолжение).
Аннотация:
Мы продолжим строить по данному минимальному погружению двумерной сферы в четырёхмерную единственную голоморфную кривую в пространстве твисторов четырёхмерной сферы, CP^3. Я надеюсь завершить доказательство теоремы Брайанта. Важными для нас будут понятие суперминимального погружения и его спина. Для доказательства теоремы Брайанта нам также понадобятся некоторые факты из алгебраической и кэлеровой геометрий (все они будут сообщены).
21 ноября 2015 (суббота), 11:00, ауд.304
Докладчик: Владимир Медведев (НМУ, ИПУ РАН)
Тема: О работе Брайанта о суперминимальных погружениях поверхностей в сферу (продолжение).
Аннотация:
Мы продолжим разбирать теорему Брайанта о поднятии минимального погружения римановой поверхности в четырёхмерную сферу до голоморфной кривой в пространстве твисторов этой сферы, CP^3. В прошлый раз мы успели получить структурные уравнения, на этом вычислительная часть теоремы Брайанта практически закончена. Кроме полученных уравнений для понимания доказательства теоремы Брайанта нам понадобятся некоторые факты из кэлеровой и алгебраической геометрий (всё необходимое будет сообщено).
14 ноября 2015 (суббота), 11:00, ауд.304
Докладчик: Владимир Медведев (НМУ, ИПУ РАН)
Тема: О работе Брайанта о суперминимальных погружениях поверхностей в сферу
Аннотация:
Вслед за результатами Калаби и Барбосы о связи минимальных погружений двумерных сфер в n-мерные с (псевдо)голоморфными кривыми мы проследуем к результатам Брайанта, описывающим связь минимальных погружений римановых поверхностей в четырёхмерную сферу с голоморфными кривыми в CP^3, которые можно рассматривать как обобщение результатов Барбосы и Калаби для этого частного случая минимальных погружений. Ключевым понятием в докладе будет понятие суперминимального погружения.
7 ноября 2015 (суббота), 11:00, ауд.304
Докладчик: Никита Клемятин (МГУ)
Тема: О работе Барбосы о минимальных погружениях двумерной сферы в многомерные сферы.
Аннотация:
Я расскажу статью Барбосы, в которой доказывается, что площадь минимальной иммерсии двумерной сферы в n-мерную делится на 4*pi. Это усиливает недавно обсуждавшийся результат Калаби.
31 октября 2015 (суббота), 11:00, ауд.304
Докладчик: Арсений Райко (МГУ)
Тема: О последней работе Симона Аритурка
Аннотация:
Я расскажу о последней работе Синона Аритурка. Речь пойдет о телах вращения. Будет доказано, что кольцо максимизирует все собственные значения оператора Лапласа-Бельтрами для задачи Дирихле среди поверхностей вращения с двумя компонентами границы.
Техника, привлеченная для доказательства, позволяет доказать похожий еще один факт: половина геликоида максимизирует все собственные значения задачи Дирихле в классе поверхностей, инвариантных относительно винтового действия окружности в R^2 x S^1 с такой же границей.
Будут привлечены средства из функционального анализа.
24 октября 2015 (суббота), 11:00, ауд.304
Докладчик: Владимир Медведев (НМУ, ИПУ РАН)
Тема: О работе Калаби о гармонических отображениях двумерной сферы в n-мерную (продолжение).
Аннотация:
Мы продолжим изучение гармонических отображений двумерной сферы в n-мерную и докажем
теорему Калаби о гармоническом образе двумерной сферы.
17 октября 2015 (суббота), 11:00, ауд.304
Докладчик: Н.С.Надирашвили (CNRS)
Тема: Изопериметрическое неравенство для третьего собственного числа
оператора Лапласа-Бельтрами на сфере
10 октября 2015 (суббота), 11:00, ауд.304
Докладчик: Владимир Медведев (НМУ, ИПУ РАН)
Тема: О работе Калаби о гармонических отображениях двумерной сферы в n-мерную (продолжение).
Аннотация:
Мы продолжим разговор про теорему Калаби о гармонических отображениях
между сферами: я расскажу более подробно об устройстве изотропного
пространства и попытаюсь дать набросок доказательства теоремы Калаби.
3 октября 2015 (суббота), 11:00, ауд.304
Докладчик: Владимир Медведев (НМУ, ИПУ РАН)
Тема: О работе Калаби о гармонических отображениях двумерной сферы в n-мерную.
Аннотация:
Мы продолжим изучение гармонических отображений и обсудим фундаментальную
теорему Калаби, которая классифицирует гармонические отображения двумерной
сферы в n-мерную. Все необходимые сведения для понимания этой теоремы будут
даны.
26 сентября 2015 (суббота), 11:00, ауд.304
Докладчик: Владимир Медведев (НМУ, ИПУ РАН)
Тема: Экстремальные метрики и гармонические отображения.
Аннотация:
Мы продолжим изучение экстремальных метрик. Рассмотрим задачу о поиске экстремальных метрик на компактных римановых поверхностях без края. Оказывается, что в этом случае нам придётся расширить класс искомых метрик (супремум первого собственного числа достигается для метрик, имеющих конченое множество конических особенностей (Петридес, 2013)). Эти особенности проистекают из особенностей минимальных погружений, которые являются частным случаем гармонических отображений. В связи с этим нам предстоит разобраться с теорией гармонических отображений.
Мы поговорим о результатах Петриеса 2013 года об экстремальных метриках на римановых поверхностях без края и об основных свойствах гармонических отображений.
19 сентября 2015 (суббота), 11:00, ауд.304
Докладчик: Владимир Медведев (НМУ, ИПУ РАН)
Тема: Оператор Лапласа-Бельтрами, минимальные погружения и экстремальные метрики.
Аннотация:
Мы продолжим изучение экстремальных метрик и докажем важнейшую теорему
(теорему Надирашвили-Эль Суфи-Илиаса), дающую ответ, когда метрика на
данном многообразии является экстремальной. Все необходимые определения и
важные для доклада факты будут сообщены.
12 сентября 2015 (суббота), 11:00, ауд.304
Докладчик: Владимир Медведев (НМУ, ИПУ РАН)
Тема: Оператор Лапласа-Бельтрами и минимальные погружения.
