В осеннем семестре 2017-2018 года продолжит работу семинар «Когомологиские аспекты геометрии дифференциальных уравнений» под руководством А.Вербовецкого и И.Красильщика.
Семинар носит учебно-исследовательский характер с акцентом на исследовательскую составляющую. Предполагается знакомиться с новыми результатами в геометрии нелинейных дифференциальных уравнений (включая результаты участников) и их приложениями в современной математической физике.
Большое внимание будет уделяться нерешённым проблемам, которые, в частности, могут послужить темами курсовых и дипломных работ.
Программа ближайших заседаний семинара И.С.Красильщика по геометрии дифференциальных уравнений в Независимом университете.
25 октября 2017 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: М.Павлов
Тема: Интегрируемость исключительных систем гидродинамического типа
Аннотация:
In this talk we consider non-diagonalisable hydrodynamic type systems
integrable by the Extended Hodograph Method. We restrict our
consideration to non-diagonalisable hydrodynamic reductions of the
Mikhalev system. We show that families of these hydrodynamic type
systems are reducible to the heat hierarchy. Then we construct new
particular solutions for the Mikhalev system.
18 октября 2017 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: Raffaele Vitolo
Тема: The symbolic computation of integrability structures for PDEs
Аннотация:
A unified mathematical approach for the computation of integrability
structures for partial differential equations, i.e., Hamiltonian
operators, recursion operators for symmetries and cosymmetries,
symplectic operators, was introduced so far by Kersten, Krasil'shchik
and Verbovetsky (https://arxiv.org/abs/math/0304245). The symbolic
computation was carried out by Reduce programs that evolved into the
packages CDiff and CDE. A book on this subject will be published by
Springer quite soon. The talk will be a review of the book; we will both
recall the theory and show computational experiments on integrability
structures.
11 октября 2017 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: П.Бибиков
Тема: Неприводимые представления полупростых алгебраических групп с дифференциальной точки зрения
Аннотация:
In this talk we discuss an approach to the study of orbits of actions of
semisimple algebraic groups in their irreducible complex
representations, which is based on differential invariants on the one
hand, and on geometry of reductive homogeneous spaces on the other hand.
According to the Borel-Weil-Bott theorem, every irreducible
representation of semisimple Lie group is isomorphic to the action of
this group on the module of holomorphic sections of some one-dimensional
bundle over homogeneous space. Using this, we give a complete
description of the structure of the field of differential invariants for
this action and obtain a criterion which separates regular orbits.
In collaboration with Valentin Lychagin.
4 октября 2017 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: М.Д.Рооп
Тема: Затопленные струи и другие сингулярные решения уравнений Навье-Стокса
Аннотация:
Рассматривается движение несжимаемой жидкости в поле силы тяжести. Для
различных подалгебр алгебры симметрий построены инвариантные решения,
имеющие сингулярность в заданной неподвижной точке и на оси. В
частности, рассматриваются классические примеры затопленных струй:
Ландау, Бромана и Руденко. Рассматривается также применение
асимптотических методов для построения затопленных струй.
27 сентября 2017 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: А.Г.Кушнер
Тема: Термодинамика нефтяных потоков
Аннотация:
В докладе будет представлен метод расчёта и управления фильтрационными
потоками воды и нефти при разработке нефтяных месторождений на основе
двумерной модели Бакли-Леверетта. Для этого будут построены
асимптотические разложения по малому параметру решений соответствующей
системы дифференциальных уравнений.
Доклад является продолжением доклада В.В.Лычагина "Анализ нефтяных полей в модели Бакли-Леверетта" (6 сентября 2017) .
Результаты получены совместно с А.В.Ахметзяновым и В.В.Лычагиным. Компьютерные расчёты и визуализация выполнены Е.А.Ярошенко.
20 сентября 2017 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: А.Дуюнова
Тема: Дифференциальные инварианты уравнений Навье-Стокса в пространстве
Аннотация:
Рассматривается течение вязкой ньютоновской жидкости в поле действия
силы тяжести, описываемое системой уравнений Навье-Стокса. Найдены
алгебры симметрий и алгебры дифференциальных инвариантов данной системы
уравнений. Исследуется зависимость термодинамических состояний от
алгебры допустимых симметрий.
13 сентября 2017 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: И.С.Красильщик
Тема: Двумерные редукции уравнения u_yy = u_tx + u_y u_xx - u_x u_xy и их нелокальные симметрии
Аннотация:
We consider the 3D equation
u_yy = u_tx + u_y u_xx - u_x u_xy
and its 2D reductions:
(1) u_yy = (u_y + y) u_xx - u_x u_xy - 2 (which is equivalent to the Gibbons-Tsarev equation) and
(2) u_yy = (u_y + 2x) u_xx + (y - u_x) u_xy - u_x.
Using reduction of the known Lax pair for the 3D equation, we describe nonlocal symmetries of (1) and (2) and show that the Lie algebras of these symmetries are isomorphic to the Witt algebra.
Joint work with P. Holba, O. I. Morozov, and P. Vojc'ak. http://arxiv.org/abs/1707.07645
6 сентября 2017 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: В.В.Лычагин
Тема: Анализ нефтяных полей в модели Баклея-Леверетта
Аннотация:
Будет предложен метод решения системы уравнений Баклея-Леверетта и
основанный на нем метод оптимального управления
26 апреля 2017 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: О.И.Морозов
Тема: Деформации и расширения бесконечномерных алгебр Ли и интегрируемые нелинейные уравнения
Аннотация:
В докладе будет рассмотрена деформация тензорного произведения алгебры
усечённых многочленов и алгебры векторных полей на прямой, а также
некоторые расширения этой деформации, и будет показано, что формы
Маурера-Картана возникающих таким образом алгебр Ли порождают
представления Лакса для некоторых нелинейных дифференциальных уравнений.
12 апреля 2017 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: О.М.Худавердян (Manchester, UK)
Тема: Толстые морфизмы и высшие скобки Козюля
Аннотация:
For an arbitrary manifold M, we consider supermanifolds \Pi TM and \Pi
T^*M, where \Pi is the parity reversion functor. The space \Pi T^*M
possesses canonical odd Schouten bracket and space \Pi TM possess
canonical de Rham differential d. An arbitrary even function P on \Pi
T^*M such that [P,P]=0 induces a homotopy Poisson bracket on M, a
differential, d_P on \Pi T^*M, and higher Koszul brackets on \Pi TM.
(If P is fiberwise quadratic, then we arrive at standard structures of
Poisson geometry.) Using the language of Q-manifolds and in particular
of Lie algebroids, we study the interplay between canonical structures
and structures depending on P. Then using just recently invented theory
of thick morphisms we construct a non-linear map between the L_{\infty}
algebra of functions on \Pi TM with higher Koszul brackets and the Lie
algebra of functions on \Pi T^*M with the canonical odd Schouten
bracket.
This is the joint work with T.Voronov.
29 марта 2017 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: Красильщик И.С.
Тема: Нелокальные симметрии уравнений, интегрируемых по Лаксу: сравнительное исследование
Аннотация:
We consider four three-dimensional equations: (1) the rdDym equation
u_{ty} = u_x u_{xy} - u_y u_{xx}, (2) the 3D Pavlov equation u_{yy} =
u_{tx} + u_y u_{xx} - u_x u_{xy}; (3) the universal hierarchy equation
u_{yy} = u_t u_{xy} - u_y u_{tx}, and (4) the modified Veronese web
equation u_{ty} = u_t u_{xy} - u_y u_{tx}. For each equation, using the
know Lax pairs and expanding the latter in formal series in spectral
parameter, we construct two infinite-dimensional differential coverings
and give a full description of nonlocal symmetry algebras associated to
these coverings. For all the four pairs of coverings, the obtained Lie
algebras of symmetries manifest similar (but not the same) structures:
the are (semi) direct sums of the Witt algebra, the algebra of vector
fields on the line, and loop algebras; all of them contain a component
of finite grading. We also discuss actions of recursion operators on
shadows of nonlocal symmetries.
A joint work with H.Baran, O.Morozov, and P.Voj??k.
Full text in: http://arxiv.org/abs/1611.04938
22 марта 2017 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: М.Павлов
Тема: Многомерные законы сохранения и интегрируемые системы
Аннотация:
We introduce and investigate a new phenomenon in the Theory of
Integrable Systems - the concept of multi-dimensional conservation laws
for two- and three-dimensional integrable systems.
Existence of infinitely many local two-dimensional conservation laws is a well-known property of two-dimensional integrable systems.
We show that pairs of commuting two-dimensional integrable systems possess infinitely many three-dimensional conservation laws.
Examples: the Benney hydrodynamic chain, the Korteweg de Vries equation.
Simultaneously three-dimensional integrable systems (like the Kadomtsev-Petviashvili equation) have infinitely many three-dimensional quasi-local conservation laws.
We illustrate our approach considering the dispersionless limit of the Kadomtsev-Petviashvili equation and the Mikhalev equation.
Applications in three-dimensional case: the theory of shock waves, the Whitham averaging approach.
15 марта 2017 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: В.Оганесян
Тема: Матричные коммутирующие дифференциальные операторы
Аннотация:
Доклад будет посвящён теории коммутирующих скалярных и матричных
дифференциальных операторов. Будет рассказано о новых примерах скалярных
коммутирующих дифференциальных операторов ранга 2 и о явном виде их
общих собственных функций. Мы обсудим новые результаты в теории
матричных коммутирующих дифференциальных операторов ранга 2 и векторного
ранга (2,2). Будет приведён эффективный метод построения таких
операторов.
1 марта 2017 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: А.В.Самохин
Тема: Отражения солитона на вязком барьере и деградация сохраняющихся величин КдФ
Аннотация:
Если волны описываются уравнением
u_t = 2u u_x + u_xxx + \epsilon \chi_{a,b} u_xx,
где \chi_{a,b} - характеристическая функция интервала [a,b], то
пришедший справа солитон 6a^2 ch^{-2} (4a^3t + ax) частично отражается
на вязком барьере x \in [a,b] и частично проходит как солитон меньшей
скорости и амплитуды. Процесс в некоторой степени описывается так
называемыми балансовыми законами - эволюцией законов сохранения для КдФ.
22 февраля 2017 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: Raffaele Vitolo
Тема: Methods of tangent and cotangent coverings for Dubrovin-Novikov integrability operators
Аннотация:
The well-established method of tangent and cotangent covering for
searching integrability operators, like Hamiltonian, symplectic and
recursion operators, was introduced by Kersten, Krasil'shchik, and
Verbovetsky in 2003. The method consists in describing integrability
operators of a given PDE as linear functions of some odd variables which
are in the kernel of linearization or adjoint linearization of the PDE.
We apply the method to the search of Dubrovin-Novikov integrability
operators for hydrodynamic-type PDEs. We recover known results, like:
Tsarev's compatibility conditions between a hydrodynamic-type system and
a first-order local Dubrovin-Novikov Hamiltonian operator; a geometric
interpretation of nonlocalities in Ferapontov's nonlocal homogeneous
operators. We obtain new results, like a new system of PDEs that
expresses the compatibility of third-order Dubrovin-Novikov and a
hydrodynamic-type system, as well as new (integrable?) systems of that
type. We will discuss several interesting problems and conjectures that
are emerging from the interaction between the two theories.
15 февраля 2017 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: Ю.Л.Сачков
Тема: Множество разреза в (суб)римановой геометрии
8 февраля 2017 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: В.Н.Четвериков
Тема: Накрытия из дифференциальных уравнений и C-инвариантные распределения
Аннотация:
Накрытия над исследуемым дифференциальным уравнением строят при
вычислении его нелокальных симметрий и операторов рекурсии. В данном
докладе речь пойдёт о более простой задаче построения накрытий из
заданного уравнения и описанию накрываемых уравнений. Естественный путь
решения этой задачи - характеризация распределения, определённого слоями
накрытия. Будет показано, что данное распределение инвариантно
относительно распределения Картана (C-инвариантно) и интегрируемо в
бесконечномерном смысле. Обратно, всякое интегрируемое C-инвариантное
распределение на бесконечном продолжении уравнения определяет накрытие
из этого уравнения. Вертикальная составляющая столбца векторных полей,
задающих C-инвариантное распределение, представляет собой матричный
аналог эволюционного дифференцирования, а соответствующая производящая
матрица удовлетворяет матричному аналогу линеаризации уравнения.
4 января 2017 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: Ф.Ф.Воронов (Манчестер/Томск)
Тема: Микроформальная геометрия и её применения
Аннотация:
В докладе будет рассказано про новое понятие "микроформальных" (или
"толстых") морфизмов гладких (супер)многообразий, которое обобщает
обычные гладкие отображения. Эти новые морфизмы действуют на гладкие
функции операцией обратного образа, который, однако, будет нелинейным
преобразованием. (Более точно - формальный нелинейный дифференциальный
оператор.) Возникает формальная категория - "утолщение" обычной
категории (супер)многообразий. Конструкция возникла в связи с
гомотопическим аналогом пуассоновых структур, для которых она позволяет
строить L-бесконечность морфизмы. Другое применение - "сопряжённый
оператор" для нелинейного отображения векторных расслоений. Можно
определить также "квантовые микроформальные морфизмы", для которых
вышеописанное является классическим пределом.
Ссылки:
https://arxiv.org/abs/1409.6475
https://arxiv.org/abs/1411.6720
https://arxiv.org/abs/1506.02417
https://arxiv.org/abs/1512.04163
14 декабря 2016 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: Raffaele Vitolo (Lecce, Italy)
Тема: Bi-Hamiltonian structures of KdV type
Аннотация:
Combining an old idea of Olver and Rosenau with the classification of
second and third order homogeneous Hamiltonian operators we classify
compatible trios of two-component homogeneous Hamiltonian operators.
The trios yield pairs of compatible bi-Hamiltonian operators whose
structure is a direct generalization of the bi-Hamiltonian pair of the
KdV equation. The bi-Hamiltonian pairs give rise to multi-parametric
families of bi-Hamiltonian systems. We recover known examples and we
find new integrable systems whose central invariants are non-zero; this
shows that new examples are not Miura-trivial.
This is a joint work with Paolo Lorenzoni and Andrea Savoldi.
30 ноября 2016 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: М.Павлов
Тема: Новые интегрируемые дискретные системы
Аннотация:
We present a new reduction of the Benney system describing propagation
of long waves in fluid of finite depth. The previous model suggested by
V.E. Zakharov determines the piecewise-constant velocity profile, while
the new model determines the piecewise-linear velocity profile. V.E.
Zakharov demonstrated that his model can be derived from the vector
nonlinear Schrodinger equation by a dispersionless limit. We show that
the new model can be derived from new integrable discrete system by a
continuous limit.
23 ноября 2016 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: А.О.Ремизов
Тема: Особенности геодезических потоков в двумерных метриках переменной сигнатуры
Аннотация:
Доклад посвящён обзору недавних результатов об особенностях
геодезических потоков в гладких двумерных метриках переменной сигнатуры
(такие метрики мы условимся называть псевдоримановыми). В случае общего
положения существует кривая, на которой псевдориманова метрика
вырождается. Точки вырождения метрики являются сингулярными точками
соответствующего геодезического потока. Это приводит к тому, что,
вследствие нарушения стандартной теоремы существования и единственности,
геодезические не могут выходить из точки вырождения во всевозможных
направлениях, но лишь в определённых "допустимых" направлениях. В общем
случае число допустимых направлений конечно и почти во всех точках
кривой вырождения равно 1 или 3, а в отдельных точках кривой вырождения
- 2. Качественное поведение геодезических в точках вырождения
псевдориманой метрики также весьма сильно отличается от того, что бывает
в римановом случае. Обо всем этом будет рассказано в докладе.
16 ноября 2016 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: Д.Туницкий
Тема: О дифференциально-геометрических структурах, ассоциированных с уравнениями Монжа-Ампера
Аннотация:
Доклад посвящён дифференциально-геометрическим структурам, естественным
образом ассоциированным с гиперболическими и эллиптическими уравнениями
Монжа-Ампера в общем положении.
В частности, среди таких структур присутствуют аффинные связности, а также симметрические и кососимметрические 2-формы.
9 ноября 2016 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: Hilja Lisa Huru (Troms?, Norway)
Тема: Quantizations of Lie algebra representations
Аннотация:
This talk will be on categorical quantizations and braidings in some
specific monoidal categories. I will present some examples of
quantizations of algebras, which is changing the multiplication and the
commutativity of the algebras. Some focus will be on monoidal
categories of graded modules. We shall further explore quantizations of
Lie group actions, and of Lie algebras and Lie algebra action.
2 ноября 2016 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: Ю.Л.Сачков
Тема: Субриманова геометрия: кратчайшие, сферы, множества разреза
Аннотация:
Субриманова структура на гладком многообразии M есть векторное
распределение \Delta \subset TM с римановой метрикой g на распределении
\Delta.
Горизонтальные кривые суть липшицевы кривые в M, касающиеся распределения \Delta почти всюду. Если M связно, а алгебра Ли, порождённая распределением \Delta, задаёт все касательное расслоение TM, то любые точки в M соединимы горизонтальной кривой (теорема Рашевского-Чоу).
Длина горизонтальной кривой есть интеграл от длины её вектора скорости. Субримановым расстоянием (расстоянием Карно-Каратеодори) d(q_0, q_1) между точками q_0, q_1 \in M называется нижняя грань длин всех горизонтальных кривых, соединяющих q_0 с q_1. Кратчайшая есть горизонтальная кривая, длина которой равна расстоянию между её концами. Довольно слабые условия гарантируют существование кратчайшей между достаточно близкими точками M (теорема Филиппова). Если же субримановы шары компактны, то в условиях теоремы Рашевского-Чоу любые точки M соединимы кратчайшей.
Геодезическая есть горизонтальная кривая, малые дуги которой суть кратчайшие. Геодезические являются проекциями T^*M \to M траекторий некоторой естественной гамильтоновой системы на T^*M (принцип максимума Понтрягина).
В докладе будут затронуты следующие вопросы: - левоинвариантные субримановы структуры на группах Ли, - симметрийный метод поиска кратчайших, - примеры исследованных левоинвариантных субримановых геометрий (трёхмерные группы Ли, группа Энгеля, группа Картана), - ограничения существующих методов (неинтегрируемость по Лиувиллю плоских субримановых структур глубины больше трёх), - приложения в механике, робототехнике, обработке изображений.
26 октября 2016 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: Л.В.Богданов
Тема: SDYM equations on the self-dual background
Аннотация:
We introduce the technique combining the features of integration schemes
for SDYM equations and multidimensional dispersionless integrable
equations to get SDYM equations on the conformally self-dual background
and the corresponding hierarchy. Lax pair is introduced, generating
differential form for the hierarchy is defined, the dressing scheme is
developed. Some special cases and reductions are considered.
19 октября 2016 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: Д.В.Алексеевский
Тема: Уравнения 2-го порядка в частных производных с простой группой симметрий
5 октября 2016 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: А.И.Малахов
Тема: Проблема Ли и дифференциальные инварианты подгруппы группы Кремоны
Аннотация:
Мы обсудим решение проблемы Ли о точечной классификации обыкновенных
дифференциальных уравнений второго порядка y'' = F(x,y), а также новый
подход к изучению бесконечномерных подгрупп в группе Кремоны.
Подход основан на неожиданной связи между дифференциальными уравнениями
и алгебраической геометрией. А именно, рассмотрим лишь те
дифференциальные уравнения вида y'' = F(x,y), у которых правая часть
является рациональной функцией. Тогда группа точечных симметрий такого
класса дифференциальных уравнений является подгруппой в группе Кремоны.
Работа выполнена совместно с П.В.Бибиковым.
14 сентября 2016 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: И.С.Красильщик
Тема: Неинтегрируемые системы Пфаффа
Аннотация:
Будет обсуждаться статья A. Kumpera "Non-integrable Pfaffian systems",
http://arxiv.org/abs/1608.02871
4 мая 2016 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: О.И.Морозов
Тема: Деформированные когомологии псевдогрупп симметрий и накрытия дифференциальных уравнений
Аннотация:
В докладе будет рассказано о применении деформированных когомологий
псевдогрупп симметрий дифференциальных уравнений к задаче нахождения
дифференциальных накрытий. Примеры будут включать уравнение
Хохлова-Заболотской, уравнение Бойера-Финли и уравнение
Герджикова-Блашака.
20 апреля 2016 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: М.Павлов
Тема: Билагранжевы линеаризуемые системы
Аннотация:
Мы рассмотрим класс C-интегрируемых систем, допускающих билагранжево
представление.
13 апреля 2016 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: Д.Туницкий
Тема: О глобальной разрешимости одномерных нелинейных волновых уравнений
Аннотация:
Доклад посвящён глобальной разрешимости задачи Коши для одномерных
нелинейных волновых уравнений. Доказано, что в классе многозначных
решений эта задача имеет единственное максимальное решение. Это решение
обладает свойством полноты, которое аналогично соответствующему свойству
решений задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.
30 марта 2016 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: А.В.Самохин
Тема: О нелинейной суперпозиции ударных волн для уравнения Кортвега-де Фриза-Бюргерса
Аннотация:
Исследуется и численно моделируется нелинейная суперпозиция аналитически
заданных монотонных ударных волн - галилеево-инвариантных решений
уравнения Кортвега-де Фриза-Бюргерса. Начальный профиль в виде суммы
таких ударных волн с течением времени постепенно переходит в галилеево
инвариантное решение несколько более сложной структуры. Прослеживаются
этапы перестройки фазового портрета и характера особых точек
сопутствующей динамической системы.
16 марта 2016 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: С.Тычко
Тема: Симметрии уравнений гидродинамики и термодинамика
Аннотация:
Рассматриваются двумерные уравнения гидродинамики: уравнение Эйлера и
уравнение Навье-Стокса. С помощью алгебры симметрий этих уравнений
исследуются различные классы термодинамических соотношений между
плотностью, давлением, температурой и энтропией, которые сохраняются под
действием этих симметрий.
24 февраля 2016 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: В.Юмагужин
Тема: Дифференциальные инварианты и точные решения уравнений Эйнштейна и Эйнштейна-Максвелла
Аннотация:
В докладе будут представлены результаты работ [1] и [2].
Будет показано, что на произвольном решении уравнения Эйнштейна всякое собственное значение оператора Вейля определяет гиперболическое и эллиптическое распределения, а на решении общего положения уравнения Эйнштейна-Максвелла электромагнитный тензор определяет гиперболическое и эллиптическое распределения.
Будем называть решение уравнения Эйнштейна или Эйнштейна-Максвелла вполне геодезическим, если указанные распределения на нем вполне интегрируемы и их максимальные интегральные многообразия вполне геодезические.
Для каждого из этих уравнений в докладе будет вычислено семейство явных вполне геодезических решений, зависящих от констант, двух функций одной переменной и одной гармонической функции.
[1] V.Lychagin, V.Yumaguzhin, Differential invariants and exact solutions of the Einstein-Maxwell equation, Anal. Math. Phys., 2016, to appear.
[2] V.Lychagin, V.Yumaguzhin, Differential invariants and exact solutions of the Einstein equation, Anal. Math. Phys., 2016, to appear.
17 февраля 2016 (среда), 19:20, ауд.308
Докладчик: М.Павлов
Тема: Новый гамильтонов формализм и лагранжевы представления для интегрируемых систем гидродинамического типа
Аннотация:
New Hamiltonian formalism based on the theory of conjugate curvilinear
coordinate nets is established. All formulas are "mirrored" to
corresponding formulas in the Hamiltonian formalism constructed by
B.A.Dubrovin and S.P.Novikov (in a flat case) and E.V.Ferapontov (in a
non-flat case). In the "mirrored-flat" case the Lagrangian formulation
is found. Multi-Hamiltonian examples are presented. In particular
Egorov's case, generalizations of local Nutku-Olver's Hamiltonian
structure and corresponding Sheftel-Teshukov's recursion operator are
presented. A number of Hamiltonian structures of all odd orders is
found.
Reference: M.Pavlov, New Hamiltonian formalism and Lagrangian representations for integrable hydrodynamic type systems, http://arxiv.org/abs/nlin/0608029
16 декабря 2015 (среда), 19:20, ауд.303
Докладчик: П.Е.Пушкарь
Тема: Порождающие семейства в контактной топологии
Аннотация:
Я расскажу о порождающих семействах, контактной редукции и теоремах типа
Чеканова.
16 декабря 2015 (среда), 19:20, ауд.303
Докладчик: Gerard Helminck (Amsterdam)
Тема: Decompositions of the group G(2) and related integrable hierarchies
Аннотация:
The group G(2) of all invertible transformations of a Hilbert space
that differ from the identity an operator of the Hilbert-Schmidt class,
played a role in the work of Shale on symmetries for free boson fields.
In this talk we explain the role various decompositions of this group
plays in the construction of solutions of various integrable
hierarchies, both of KdV- and of Toda-type.
9 декабря 2015 (среда), 19:20, ауд.303
Докладчик: В.В.Лычагин
Тема: Invariants of projective PSL_2-actions and their application to recognition of fingerprints
Аннотация:
We study the field of rational differential invariants of the left
PSL_2(R)-action on the homogeneous space Diff(S^1) / PSL_2(R) and use
them to give an alternative description of the shape space and
fingerprints, introduced by Mumford and Sharon.
2 декабря 2015 (среда), 19:20, ауд.303
Докладчик: С.Минков
Тема: Построение операторов рекурсии для бездисперсионных интегрируемых систем (работа А.Сергеева)
Аннотация:
Будет обсуждаться работа Артура Сергеева
http://arxiv.org/abs/1501.01955, в которой предъявлен новый способ
построения пар Лакса по операторам рекурсии бездисперсионного уравнения
и сделано эмпирическое наблюдение, что из линейных (по спектральному
параметру) пар Лакса, наоборот, может быть извлечён оператор рекурсии.
Будут рассмотрены примеры уравнения Павлова, небесного уравнения и
уравнения Алонсо-Шабата, причём показано, что уже известные их пары
Лакса можно заменами сделать линейными по параметру. Несколько слов
будет сказано и о гамильтоновой структуре небесного уравнения.
25 ноября 2015 (среда), 19:20, ауд.303
Докладчик: М.Павлов
Тема: Как по интегрируемому трёхмерному квазилинейному уравнению второго
порядка (под интегрируемостью в данном случае понимается наличие
так называемой бездисперсионной пары Лакса) построить
интегрируемую гидродинамическую цепочку (под интегрируемостью в
данном случае понимается наличие бесконечного запаса законов
сохранения и гамильтоновой структуры или обращение в ноль всех
компонент тензора Хаантьеса)
Аннотация:
В качестве простейшего примера рассматривается бездисперсионный предел
уравнения Кадомцева-Петвиашвили и связанная с ним гидродинамическая
цепочка Бенни. Второй пример - это слабонелинейные уравнения, их пять
(контактно неэквивалентных), их класссификация дана Е.В.Ферапонтовым и
Дж.Моссом.
18 ноября 2015 (среда), 19:20, ауд.303
Докладчик: А.Кушнер
Тема: Уравнение Бакли-Леверетта интегрируемо в квадратурах
Аннотация:
В докладе будет показано как проинтегрировать уравнение Бакли-Леверетта,
возникающее в нефтяных задачах.
Для этого уравнения будет решена задача Коши и найден момент зарождения ударной волны.
11 ноября 2015 (среда), 19:20, ауд.303
Докладчик: И.С.Красильщик
Тема: Операторы рекурсии и бигамильтоновы структуры общего небесного уравнения
Аннотация:
Будет обсуждаться статья M.B.Sheftel, A.A.Malykh, and D.Yaz?c?
"Recursion operators and bi-Hamiltonian structure of the general
heavenly equation", http://arxiv.org/abs/1510.03666
28 октября 2015 (среда), 19:20, ауд.303
Докладчик: В.Рубцов
Тема: Структуры Монжа-Ампера и геометрия несжимаемых потоков
Аннотация:
We show how a symmetry reduction of the equations for incompressible
hydrodynamics in three dimensions leads naturally to a Monge-Amp?re
structure, and Burgers'-type vortices are a canonical class of solutions
associated with this structure. The mapping of such solutions, which are
characterised by a linear dependence of the third component of the
velocity on the coordinate defining the axis of rotation, to solutions
of the incompressible equations in two dimensions is also shown to be an
example of a symmetry reduction The Monge-Amp?re structure for
incompressible flow in two dimensions is shown to be hypersymplectic.
Joint work with Bertrand Banos and Ian Roulstone
http://arxiv.org/abs/1510.02327
14 октября 2015 (среда), 19:20, ауд.303
Докладчик: В.Н.Четвериков
Тема: Терминальное управление методом накрытий
Аннотация:
Задача терминального управления (point-to-point steering problem)
заключается в переводе системы из заданного начального состояния в
заданное конечное состояние. Предлагаемый поход основан на дополнении
исходной недоопределённой системы до определённой системы E. При этом
дополнительные уравнения следует выбирать так, чтобы конечным условиям
удовлетворяли все точки слоя некоторого накрытия из системы E в
какую-либо систему Y, а множество точек, удовлетворяющих начальным
условиям, было трансверсально слоям этого накрытия. Тогда решение задачи
терминального управления находится как решение двух связанных задач Коши
для систем E и Y.
Данный подход обобщает известный метод решения задачи терминального управления для плоских систем. Но в отличие от известного метода он позволяет искать решение в намного более широком классе функций, а значит, учитывать ограничения системы.
Кроме того, в докладе будут сформулированы и другие задачи теории управления, для решения которых могут быть использованы методы бесконечномерной геометрии.
7 октября 2015 (среда), 19:20, ауд.303
Докладчик: А.В.Самохин
Тема: Об уравнении Бюргерса на интервале с периодическими граничными условиями
Аннотация:
Asymptotics of the Burgers equation solutions on a finite interval with
a periodic perturbation on the boundary are studied and a number of
numeric illustrations is presented.
The equation describes a dissipative medium, so the initial constant
profile passes into a travelling wave with a decreasing amplitude. In
the case of a small viscosity the asymptotic profile looks like a saw
(with periodic breaks of the derivative), similar to a known Fay
solution on the half-line. Yet on an interval some new properties
occur. The form of the solution retains the sawtooth profile yet its
average over the interval differs from that on the half-line and depends
also on the perturbation amplitude. Interaction between two
perturbations of different frequencies is discussed, in particular the
doubling of the envelope frequency. The figures were generated
numerically using Maple PDETools package. It is worth noticing that
standard procedures may easily loose stability at the points of
derivative's discontinuity (e.g., at the tooth endpoint) leading to
multi-oscillations and loss of precision. This problem was dealt with
by adapting parameters of numeric simulations.
30 сентября 2015 (среда), 19:20, ауд.303
Докладчик: А.Вербовецкий
Тема: О лагранжевости симплектических дифференциальных уравнений
Аннотация:
Я расскажу теорему Хавкина (http://arxiv.org/abs/1210.0802) о том, что
всякое дифференциальное уравнение, обладающее симплектической
структурой, является подуравнением лагранжевого уравнения.
23 сентября 2015 (среда), 19:20, ауд.303
Докладчик: Е.М.Бениаминов
Тема: Калибровочные преобразования и галилеева инвариантность
модифицированного уравнения Крамерса для волновых процессов в фазовом
пространстве и квантовая механика
Аннотация:
В докладе обсуждаются исследования математических моделей диффузионного
рассеяния волн в фазовом пространстве в тепловой среде и связь этих
моделей с квантовой механикой. В работах автора строится обобщённое
уравнение Крамерса для описания процесса рассеяния волн в фазовом
пространстве. Показано, что в этих моделях при некоторых значениях
параметров модели квантово-механическое описание проявляется как
асимптотика после малого промежутка времени переходного процесса. В
связи с этим, предлагаемые модели могут рассматриваться как примеры, в
которых квантовые описания возникают как приближенные для некоторого
более точного описания процесса.
В этой работе показывается, что предлагаемые модели диффузионного рассеяния волн обладают свойством калибровочной инвариантности. Отсюда выводится, что соответствующие им процессы одинаково описываются во всех инерциальных системах координат, то есть инвариантны при преобразованиях Галилея. Таким образом, в представленной модели в экспериментах невозможно определить скорость движения системы относительно неподвижной тепловой среды.
Ссылки:
Beniaminov E.M. Scattering of Waves in the Phase Space, Quantum
Mechanics, and Irreversibility, EJTP 12, No.32 (2015) 43-60,
http://www.ejtp.com/articles/ejtpv12i32p43.pdf
Beniaminov E.M. Diffusion Scattering of Waves is a Model of Subquantum
Level, EJTP 11, No.30 (2014) 35-48,
http://www.ejtp.com/articles/ejtpv11i30p35.pdf
16 сентября 2015 (среда), 19:20, ауд.303
Докладчик: С.Игонин
Тема: On Darboux-B?cklund transformations for PDEs and Miura type transformations for differential-difference equations
Аннотация:
Recall that differential-difference equations are equations for
functions of an integer variable $n$ and a real variable $t$. Such
equations involve integer shifts of $n$ and derivatives with respect to
$t$. The well-known Toda lattice equation is a typical example.
In the first part of my talk, I will review some known results on
connections between differential-difference equations and
Darboux-B?cklund transformations of two-dimensional PDEs.
For a given PDE with a zero-curvature (Lax) representation, Darboux
transformations allow one to obtain new solutions for the PDE from known
solutions by solving some ODEs. (The resulting relation between known
and new solutions is a B?cklund transformation.)
Following the review paper
F.Khanizadeh, A.V.Mikhailov, Jing Ping Wang, Theor. Math. Phys. 177,
1606-1654 (2013), http://arxiv.org/abs/1305.0588
I will show how differential-difference equations arise from Darboux
transformations of PDEs. In particular, we will see how the Toda
lattice arises from Darboux transformations of the nonlinear Schr?dinger
equation.
Motivated by this construction, one defines the notion of Darboux-Lax
representations (DLRs) for differential-difference equations. DLRs play
the role of zero-curvature representations in the differential-difference
case. (This is also known.)
In the second part of my talk, I will present new results on Miura type
transformations (MTTs) for differential-difference equations (DDEs).
Namely, I will describe a method to construct MTTs for DDEs from DLRs of
DDEs. The method uses some Lie group actions associated with DLRs and is
applicable to parameter-dependent DLRs satisfying certain conditions.
The main idea behind this method is closely related to the results of
Drinfeld and Sokolov on MTTs for the partial differential KdV equation.
The second part of my talk is based on a joint work with George Berkeley
from the University of Leeds.
9 сентября 2015 (среда), 19:20, ауд.303
Докладчик: И.С.Красильщик
Тема: On nonlocal symmetries of the 3D rdDym equation
Аннотация:
Using the Lax representation with non-removable parameter, we construct
two hierarchies of nonlocal conservation laws for the 3D rdDym equation
$u_{ty} = u_x u_{xy} - u_y u_{xx}$ and describe the algebras of nonlocal
symmetries in the corresponding coverings.
A joint work with H.Baran, O.Morozov, and P.Voj??k
http://arxiv.org/abs/1507.00897
13 мая 2015 (среда), 19:20, ауд.303
Докладчик: С.Тычков
Тема: Инварианты решений уравнения ассоциативности
Аннотация:
Нами рассматривается уравнение ассоциативности
u_{yyy} + u_{xxx}u_{xyy} - u_{xxy}^2 = 0.
Найдена алгебра Ли симметрий этого уравнения. Доказана алгебраичность
действия этой алгебры. Описана алгебра дифференциальных инвариантов
решений уравнения ассоциативности. С помощью теоремы Ли-Бьянки найдены
некоторые решения уравнения ассоциативности.
6 мая заседания не будет
29 апреля 2015 (среда), 19:20, ауд.303
Докладчик: Д.В.Алексеевский
Тема: Введение а нейрогеометрию зрения. Часть 2
22 апреля 2015 (среда), 19:20, ауд.303
Докладчик: М.Павлов
Тема: Новое "промежуточное" уравнение, обобщающее уравнение ассоциативности
Аннотация:
Построена трёхкомпонентная система уравнений, которая:
15 апреля 2015 (среда), 19:20, ауд.303
Докладчик: И.С.Красильщик
Тема: Symmetry reductions of Lax integrable 3D systems
Аннотация
8 апреля 2015 (среда), 19:20, ауд.303
Докладчик: В.Медведев
Тема: Основные понятия диффеологии. Часть 2
1 апреля 2015 (среда), 19:20, ауд.303
Докладчик: П.Бибиков
Тема: О геометризации дифференциальных уравнений второго порядка, квадратичных по старшим производным
Аннотация:
В 1978 г. В.В.Лычагиным была предложена замечательная конструкция,
позволяющая геометризовать уравнения Монжа-Ампера второго порядка. Суть
это конструкции заключалась в представлении уравнений как ядер некоторых
нелинейных дифференциальных операторов, строящихся по т.н. эффективным
дифференциальным 2-формам, лежащим на распределении Картана в
пространстве 1-джетов. Преимуществами такого подхода к изучению
уравнений Монжа-Ампера являются, во-первых, возможность привлечения
геометрических методов для изучения этих уравнений, а во-вторых,
понижение порядка рассматриваемых объектов.
Представляется естественным обобщить конструкцию Лычагина на другие классы дифференциальных уравнений. В докладе будет сделана попытка такого обобщения на дифференциальные уравнения второго порядка, квадратичные по старшим производным. В первой части доклада мы поговорим об обыкновенных дифференциальных уравнениях (где удалось довести вычисления до явных ответов), а во второй - об уравнениях в частных производных (где окончательных ответов пока что не получено). При этом будет показано, как точечные инварианты таких уравнений связаны с симплектическими инвариантами грассманианов квадрик, а контактные - с квадриками на пространстве эффективных дифференциальных 2-форм.
25 марта 2015 (среда), 19:20, ауд.303
Докладчик: В.Четвериков
Тема: Анализ и синтез обратимых линейных дифференциальных операторов с одной независимой переменной
Аннотация:
Доклад посвящён исследованию обратимых линейных дифференциальных
операторов с одной независимой переменной. Актуальность задачи описания
таких операторов объясняется её связью с задачами преобразования и
классификации систем управления, в частности, с задачей проверки
плоскостности систем.
Каждый обратимый линейный дифференциальный оператор определяет серию спектральных последовательностей цепных комплексов. На основе исследования размерностей модулей этих спектральных последовательностей будет построено соответствие между обратимыми операторами и элементарно-геометрическими моделями, которые называются d-схемами квадратов. Обратимый оператор определяется своей d-схемой неоднозначно, но будут сформулированы математические структуры, которые необходимо задать для однозначного определения такого оператора, а также алгоритм его построения.
В качестве демонстрации применения полученного описания обратимых операторов будут получены условия плоскостности систем с двумерным управлением.
Наконец, будут рассмотрены возможные обобщения предлагаемого подхода на случай операторов в частных производных, дифференциальных операторов с запаздыванием и разностных операторов.
Ссылка:
Четвериков В.Н. Классификация и конструирование обратимых линейных
дифференциальных операторов на одномерном многообразии // Наука и
образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2014. N 7. С.
105-127.
http://dx.doi.org/10.7463/0714.0718107
18 марта 2015 (среда), 19:20, ауд.303
Докладчик: Д.В.Алексеевский
Тема: Введение а нейрогеометрию зрения
Аннотация:
Термин "нейрогеометрия" был предложени J.Petitot в 1990 году для раздела
нейронауки, занимающейся построением моделей различных структур мозга,
прежде всего связанных со зрением, на языке дифференциальной геометрии и
дифференциальных уравнений. Структуры описываются как сплошные среды с
локальной внутренней структурой, определяемой свойствами нейронов.
Подход базируется на принципе локальности действия зрительных нейронов,
возбуждение которых зависит от плотности энергии света I, падающего на
небольшую область сетчатки D ("рецептивное поле нейрона"). Многие
зрительные нейроны работают как линейные фильтры (обобщённые функции с
носителем D) - их возбуждение определяется интегралом от функции
интенсивности I по области D с некоторым весом ("рецептивным профилем
нейрона").
В докладе будет кратко описано строение и работа низших структур зрительной системы (early vision) - глаза, сетчатки, наружного коленчатого тела. Будет рассмотрена открытая D.Hubel and T.Wiesel удивительная архитектура примарной зрительной коры VI - поле piwheel'ов и система гиперколонок (Нобелевская премия 1990). Будут кратко изложены различные геометрические модели, описывающие эти структуры и их эволюцию (контактная модель Petitot, симплектическая модель Petitot-Citti-Satri, модель гиперколонок Bressloff-Cowan'a, модель эволюции поля пинвилов Wolf-Geisel'a). В заключение будет предложен синтез моделей Petitot-Citti-Sarti и Bressloff-Cowan, и применение этой модели к решению проблемы стабильности - инвариантности восприятия изображения относительно фиксационных движений глаз, открытых А.Ярбусом.
11 марта 2015 (среда), 19:20, ауд.303
Докладчик: В.Медведев
Тема: Основные понятия диффеологии
Аннотация:
Диффеология - это некоторое расширение дифференциальной геометрии. Имея
минимальный набор аксиом, диффеология позволяет работать просто, но
строго с объектами, которые обычно стараются избежать в дифференциальной
геометрии: фактор-многообразия (в том числе, нехаусдорфовы),
пространства функций, группы диффеоморфизмов, пространство слоёв слоения
и тп. Категория диффеологических пространств обладает многими приятными
качествами. Например, она является полной и кополной категорией, а
категория гладких конечномерных многообразий с границей в ней образует
полную подкатегорию. Все основные понятия дифференциальной геометрии
(гладкое многообразие, расслоения, тензоры, производные Ли и тп)
переносятся на диффеологические пространства. Я расскажу о том как это
можно сделать.
Доклад ожидает быть вполне элементарным: для его понимания необходимы только знание основ дифференциальной геометрии. Я постараюсь дать как можно больше примеров и иллюстраций основных объектов диффеологии и в то же время дать все основные определения.
Ссылки:
1) P.Iglesias-Zemmour, Diffeology, AMS, 2013, available on the net
2) M.Vincent, Diffeological differential geometry, Master thesis, Univ.
Copenhagen, 2008
http://www.math.ku.dk/english/research/top/paststudents/martinvincent.msthes
is.pdf
3) Y.Karshon, An Invitation to Diffeology, talk at Conf. Poisson 2014,
http://www.youtube.com/watch?v=UVomh_LRHw4
4 марта 2015 (среда), 19:20, ауд.303
Докладчик: Р.Полищук
Тема: Проблема энергии в теории тяготения Эйнштейна-Картана
Аннотация:
1. Уравнения Эйнштейна-Картана-Киббла-Шьямы записаны по аналогии с
уравнениями Максвелла и неабелевой квантовой теории поля в виде:
кодифференциал дифференциала любого тетрадного потенциала равен
сохраняющемуся тетрадному току.
2. Дан анализ дивергенциального члена лагранжиана Гильберта, отличающего
его от укороченного лагранжиана Гиббонса-Хокинга.
3. Предложена каноническая калибровка тетрады, задающей шесть
2-направлений экстремальной секционной римановой кривизны.
4. Дан интегральный эквивалент свёрнутых тождеств Бьянки в виде
нелокального интегрального закона сохранения.
5. Рассмотрены для примера тетрадные токи миров Шварцшильда и де
Ситтера.
25 февраля 2015 (среда), 19:20, ауд.303
Докладчик: В.Юмагужин
Тема: Дифференциальные инварианты на решениях системы уравнений адиабатического течения газа
Аннотация:
Доклад посвящён системе уравнений адиабатического течения газа в
n-мерном пространстве, n=1,2,3.
Характеристические ковекторы этой системы порождают на каждом её решении геометрическую структуру. Эта структура состоит из гиперплоскости и невырожденного конуса в каждом кокасательном пространстве к решению, пересекающихся только в нуле.
В докладе будут представлены некоторые дифференциальные инварианты этой структуры: векторное поле, метрика и линейная связность, обладающая в общем положении кручением.
В случае политропного течения газа будут представлены явные решения с линейной связностью без кручения.
17 февраля (вторник) в 17:00 в ауд.303 состоится мини-конференция (на английском языке)
«Интегрируемые уравнения».
Докладчики:
Vsevolod Adler (Chernogolovka)
Тема: On the combinatorics of several integrable hierarchies
Evgeny Ferapontov (Loughborough)
Тема: Dispersionless integrable systems in 3D and Einstein-Weyl geometry
(based on joint work with Boris Kruglikov)
Vladimir Sokolov (Chernogolovka)
Тема: Algebraic quantum Hamiltonians on the plane
Raffaele Vitolo (Lecce)
Тема: Projective-geometric aspects of homogeneous third-order Hamiltonian operators and applications to WDVV equations
Аннотации докладов можно найти на сайте http://gdeq.org/Mini-Workshop_on_Integrable_Equations
11 февраля 2015 (среда), 19:20, ауд.303
Докладчик: М.Павлов
Тема: Слабо-нелокальные однородные дифференциально-геометрические скобки Пуассона нечётных порядков
Аннотация:
Понятие локальных однородных дифференциально-геометрических скобок
первого порядка было введено Б.А.Дубровиным и С.П.Новиковым в 1983 году.
В 1984 году это понятие было расширено на произвольный порядок. В 1990
году Е.В.Ферапонтовым локальные однородные
дифференциально-геометрические скобки Пуассона первого порядка были
обобщены на слабо-нелокальный случай.
В данном докладе рассматривается обобщение локальных однородных дифференциально-геометрических скобок Пуассона произвольного нечётного порядка на слабо-нелокальный случай.
